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espacio de ocho dimensiones

El espacio de ocho dimensiones (8D) es una secuencia de n números reales (cuando n = 8) que puede entenderse como una ubicación en el espacio n - dimensional . A menudo, estos e...

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El espacio de ocho dimensiones (8D) es una secuencia de n números reales (cuando n = 8) que puede entenderse como una ubicación en el espacio n - dimensional . A menudo, estos espacios se estudian como espacios vectoriales , sin ninguna noción de distancia. El espacio euclidiano de ocho dimensiones es un espacio de ocho dimensiones equipado con la métrica euclidiana .

En términos más generales, el término puede referirse a un espacio vectorial de ocho dimensiones sobre cualquier cuerpo , como un espacio vectorial complejo de ocho dimensiones , que tiene 16 dimensiones reales. También puede referirse a una variedad de ocho dimensiones , como una 8-esfera , o a diversas construcciones geométricas.

Geometría

8-politopo

Un politopo en ocho dimensiones se llama 8-politopo. Los más estudiados son los politopos regulares , de los cuales solo hay tres en ocho dimensiones : el 8-símplex , el 8-cubo y el 8-ortoplexo . Una familia más amplia son los 8-politopos uniformes , construidos a partir de dominios de simetría fundamentales de reflexión, cada dominio definido por un grupo de Coxeter . Cada politopo uniforme se define por un diagrama de Coxeter-Dynkin anillado . El 8-demicube es un politopo único de la familia D8 , y los politopos 421 , 241 y 142 pertenecen a la familia E8 .

7-esferas

La 7-esfera o hiperesfera en ocho dimensiones es la superficie de siete dimensiones equidistante de un punto, por ejemplo, el origen. Tiene el símbolo S 7 , con definición formal para la 7-esfera con radio r de S7={incógnita∈R8:‖incógnita‖=r}.{\displaystyle S^{7}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{8}:\|x\|=r\right\}.}

El volumen del espacio delimitado por esta 7-esfera es V8=π424R8{\displaystyle V_{8}\,={\frac {\pi ^{4}}{24}}\,R^{8}} lo cual es 4,05871 × r 8 , o 0,01585 del cubo de 8 que contiene la esfera de 7.

Problema del número de besos

El problema del número de besos se ha resuelto en ocho dimensiones, gracias a la existencia del politopo 4 21 y su red asociada . El número de besos en ocho dimensiones es 240 .

Octoniones

Los octoniones son un álgebra de división normada sobre los números reales, la más grande de este tipo. Matemáticamente se pueden especificar mediante 8-tuplas de números reales, formando así un espacio vectorial de 8 dimensiones sobre los reales, donde la suma de vectores es la suma en el álgebra. Un álgebra normada es aquella cuyo producto satisface

‖incógnitay‖≤‖incógnita‖‖y‖{\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\|y\|}

para todo x e y en el álgebra. Un álgebra de división normada debe además ser de dimensión finita y tener la propiedad de que todo vector distinto de cero tiene un inverso multiplicativo único. El teorema de Hurwitz prohíbe que tal estructura exista en dimensiones distintas de 1, 2, 4 u 8.

Bicuaterniones

Los cuaterniones complejizadosdo⊗H{\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }Los bicuaterniones son un álgebra de ocho dimensiones que se remonta al trabajo de William Rowan Hamilton en la década de 1850. Esta álgebra es equivalente (es decir, isomorfa ) al álgebra de Clifford.doℓ2(do){\displaystyle C\ell _{2}(\mathbb {C} )}y el álgebra de Pauli . También se ha propuesto como una herramienta práctica o pedagógica para realizar cálculos en relatividad especial , y en ese contexto se la conoce como Álgebra del espacio físico (que no debe confundirse con el álgebra del espacio-tiempo , que es de 16 dimensiones).

Referencias

  • HSM Coxeter :
    • HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
  • Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6Wiley::Kaleidoscopes: Escritos selectos de HSM Coxeter. Archivado el 11 de julio de 2016 en Wayback Machine.
    • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • Tabla de los números de besos más altos conocidos hasta la fecha, mantenida por Gabriele Nebe y Neil Sloane (límites inferiores).
  • Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003), Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría , AK Peters, Ltd., ISBN 1-56881-134-9. ( Revisar ).
  • Duplij , Steven [en ucraniano] ; Siegel , Warren; Bagger, Jonathan, eds. (2005), Enciclopedia concisa de supersimetría y estructuras no conmutativas en matemáticas y física , Berlín, Nueva York: Springer , ISBN 978-1-4020-1338-6(Segunda edición)