2 41 politopo

En geometría de 8 dimensiones , el 2 ₄₁ es un 8-politopo uniforme , construido dentro de la simetría del grupo E ₈ .

Su símbolo de Coxeter es 2 ₄₁ , que describe su diagrama bifurcado de Coxeter-Dynkin , con un solo anillo en el extremo de las secuencias de 2 nodos.

El 2 ₄₁ rectificado se construye mediante puntos en los bordes medios del 2 _41. El 2 ₄₁ birectificado se construye mediante puntos en los centros de las caras triangulares del 2 ₄₁ , y es el mismo que el 1 ₄₂ rectificado .

Estos politopos son parte de una familia de 255 (2 · ⁸  − 1) politopos uniformes convexos en 8 dimensiones, compuestos de facetas de politopo uniformes , definidas por todas las permutaciones de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin :.

El 2 ₄₁ está compuesto de 17.520 facetas (240 2 ₃₁ politopos y 17.280 7-símplices ), 144.960 6-caras (6.720 2 ₂₁ politopos y 138.240 6-símplices ), 544.320 5-caras (60.480 2 ₁₁ y 483.840 5-símplices ), 1.209.600 4-caras ( 4-símplices ), 1.209.600 celdas ( tetraedros ), 483.840 caras ( triángulos ), 69.120 aristas y 2160 vértices . Su figura de vértice es un 7-demicubo .

Este politopo es una faceta de la teselación uniforme, 2 ₅₁ con diagrama de Coxeter-Dynkin :

• EL Elte lo denominó V ₂₁₆₀ (por sus 2160 vértices) en su lista de politopos semirregulares de 1912. ^[1]
• Coxeter lo llama 2 ₄₁ por su diagrama bifurcado de Coxeter-Dynkin, con un solo anillo en el extremo de la secuencia de 2 nodos.
• Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton (Acronym Bay) - 240-17280 polizetton facetado (Jonathan Bowers) ^[2]

Los 2160 vértices se pueden definir de la siguiente manera:

16 permutaciones de (±4,0,0,0,0,0,0,0) de ( 8-ortoplex )

1120 permutaciones de (±2,±2,±2,±2,0,0,0,0) de ( 8-ortoplex trirectificado )

1024 permutaciones de (±3,±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1) con un número impar de signos menos

Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones.

La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin :.

Al eliminar el nodo de la rama corta queda el 7-símplex :Hay 17280 de estas facetas.

Al quitar el nodo en el extremo de la rama de 4 longitudes, queda el 2 ₃₁ ,Hay 240 de estas facetas. Están centradas en las posiciones de los 240 vértices del politopo 4 ₂₁ .

La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el 7-demicubeo , 1 ₄₁ ,.

Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación del espejo y las proporciones de los órdenes del grupo de Coxeter . ^[3]

Las proyecciones de polígonos de Petrie tienen 12, 18 o 30 lados según las simetrías E6, E7 y E8 (respectivamente). Se muestran todos los 2160 vértices, pero las formas de simetría inferior tienen posiciones proyectadas superpuestas, que se muestran como vértices de diferentes colores. A modo de comparación, también se muestra un grupo de Coxeter B6.

El 2 ₄₁ rectificado es una rectificación del politopo 2 ₄₁ , con vértices posicionados en los bordes medios del 2 ₄₁ .

• Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton rectificado para polizetton facetado 240-17280 rectificado (conocido como robay para abreviar) ^{[4] [5]}

Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones, definido por vectores raíz del grupo de Coxeter E ₈ .

La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin :.

Al eliminar el nodo de la rama corta se obtiene el 7-símplex rectificado :.

Al quitar el nodo en el extremo de la rama de 4 longitudes se obtiene el rectificado 2 ₃₁ ,.

Al quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes, queda el demicubo 7 , 1 ₄₁.

La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto produce el prisma 6-símplex rectificado ..

Las proyecciones de polígonos de Petrie tienen 12, 18 o 30 lados según las simetrías E6, E7 y E8 (respectivamente). Se muestran todos los 2160 vértices, pero las formas de simetría inferior tienen posiciones proyectadas superpuestas, que se muestran como vértices de diferentes colores. A modo de comparación, también se muestra un grupo de Coxeter B6.

• Lista de politopos E8

• Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen
• HSM Coxeter , Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Klitzing, Richard. "Polizetta uniforme 8D".x3o3o3o *c3o3o3o3o - bahía, o3x3o3o *c3o3o3o3o - robay