Hispanopedia WikiEn geometría de 8 dimensiones , el 1 42 es un 8-politopo uniforme , construido dentro de la simetría del grupo E 8 .
Su símbolo de Coxeter es 1 42 , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo en el extremo de las secuencias de 1 nodo.
El 1 42 rectificado se construye mediante puntos en los bordes medios del 1 42 y es el mismo que el 2 41 birrectificado y el 4 21 cuadrirrectificado .
Estos politopos son parte de una familia de 255 (2 8 − 1) politopos uniformes convexos en 8 dimensiones, formados por facetas de politopos uniformes y figuras de vértices , definidos por todas las combinaciones no vacías de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin : . 
1 42 politopo
El 1 42 está compuesto por 2400 facetas: 240 politopos 1 32 y 2160 7-demicubes ( 1 41 ). Su figura de vértice es un 7-símplex birectificado .
Este politopo, junto con el demiocteracto , puede teselar el espacio de 8 dimensiones, representado por el símbolo 1 52 , y el diagrama de Coxeter-Dynkin: .
Nombres alternativos
- EL Elte (1912) excluyó este politopo de su lista de politopos semirregulares, porque tiene más de dos tipos de 6-caras, pero según su esquema de nomenclatura se llamaría V 17280 por sus 17280 vértices. [ 1 ]
- Coxeter lo denominó 1 42 por su diagrama bifurcado de Coxeter-Dynkin , con un solo anillo en el extremo de la rama de 1 nodo.
- Diacositetraconta-dischiliahectohexaconta-zetton (acrónimo: bif) – 240-2160 polizetton facetado (Jonathan Bowers) [ 2 ]
Coordenadas
Los 17280 vértices se pueden definir como permutaciones de signo y ubicación de:
Todas las combinaciones de signos (32): (280 × 32 = 8960 vértices)
- (4, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 0)
La mitad de las combinaciones de signos (128): ((1 + 8 + 56) × 128 = 8320 vértices)
- (2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
- (5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
- (3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1)
La longitud de la arista es 2 √ 2 en este conjunto de coordenadas, y el radio del politopo es 4 √ 2 .
Construcción
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin : .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 2, queda el 7-demicube , 1 41 , .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 4, queda el 1 32 , .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto hace que el 7-símplex birectificado sea , 0 42 , .
Visto en una matriz de configuración , el recuento de elementos se puede derivar mediante la eliminación de simetrías y las proporciones de los órdenes del grupo de Coxeter . [ 3 ]
Proyecciones
Se muestran proyecciones ortográficas para las subsimetrías de E 8 : E 7 , E 6 , B 8 , B 7 , B 6 , B 5 , B 4 , B 3 , B 2 , A 7 , y A 5 planos de Coxeter , así como dos planos de simetría más de orden 20 y 24. Los vértices se muestran como círculos, coloreados según su número de superposición en cada plano proyectivo en orden creciente: rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, púrpura, magenta, rojo-violeta.
Politopos y panales relacionados
Politopo rectificado 1 42
El politopo rectificado 1 42 recibe su nombre por ser una rectificación del politopo 1 42 , con vértices situados en los puntos medios de las aristas del 1 42. También se le puede denominar politopo 0 421, con el anillo en el centro formado por 3 ramas de longitud 4, 2 y 1.
Nombres alternativos
- 0 421 politopo
- Politopo birectificado 2 41
- Politopo cuadrirrectificado 4 21
- Diacositetraconta-dischiliahectohexaconta-zetton rectificado como un polizetton facetado rectificado 240-2160 (acrónimo: buffy) (Jonathan Bowers) [ 4 ]
Construcción
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin : .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 1, queda el 7-símplex birectificado ,
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 2, se obtiene el cubo birectificado de 7 lados , .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 3, se obtiene el rectificado 1 32 , .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto crea el prisma duoprístico triangular de 5 celdas , .
Visto en una matriz de configuración , el recuento de elementos se puede derivar mediante la eliminación de simetrías y las proporciones de los órdenes del grupo de Coxeter . [ 3 ]
Proyecciones
Se muestran proyecciones ortográficas para las subsimetrías de los planos de Coxeter B 6 , B 5 , B 4 , B 3 , B 2 , A 7 , y A 5 . Los vértices se muestran como círculos, coloreados según su número de superposición en cada plano proyectivo en orden creciente: rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, púrpura, magenta, rojo-violeta.
(Los planos para E 8 : E 7 , E 6 , B 8 , B 7 , [24] no se muestran por ser demasiado grandes para visualizarlos, pero las proyecciones en los planos de Coxeter de E 7 y E 6 se pueden ver en el politopo E8 § Gráficos y E 6 en la tabla principal anterior).
Véase también
Notas
Referencias
- HSM Coxeter , Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
- Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6
- (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 8D (polyzetta) con acrónimos" .o3o3o3x *c3o3o3o3o - bif, o3o3x3o *c3o3o3o3o - buffy
- 8-politopos
- E8 (matemáticas)