Filtro elíptico

Un filtro elíptico (también conocido como filtro de Cauer , en honor a Wilhelm Cauer , o filtro de Zolotarev , en honor a Yegor Zolotarev ) es un filtro de procesamiento de señales con comportamiento de rizado ecualizado (equiripple) tanto en la banda de paso como en la banda de rechazo . La cantidad de rizado en cada banda se puede ajustar de forma independiente, y ningún otro filtro de igual orden puede tener una transición de ganancia más rápida entre la banda de paso y la banda de rechazo , para los valores de rizado dados (ya sea que el rizado esté ecualizado o no). Alternativamente, se puede renunciar a la capacidad de ajustar de forma independiente el rizado de la banda de paso y la banda de rechazo, y en su lugar diseñar un filtro que sea lo más insensible posible a las variaciones de los componentes.

Cuando la ondulación en la banda de rechazo se aproxima a cero, el filtro se convierte en un filtro Chebyshev de tipo I. Cuando la ondulación en la banda de paso se aproxima a cero, el filtro se convierte en un filtro Chebyshev de tipo II y, finalmente, cuando ambos valores de ondulación se aproximan a cero, el filtro se convierte en un filtro Butterworth .

La ganancia de un filtro elíptico de paso bajo en función de la frecuencia angular ω viene dada por:

${\displaystyle G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}}$

donde R _n es la función racional elíptica de orden n (a veces conocida como función racional de Chebyshev) y

${\displaystyle \omega _{0}}$ es la frecuencia de corte

${\displaystyle \epsilon }$es el factor de propagación

${\displaystyle \xi }$es el factor de selectividad

El valor del factor de rizado especifica el rizado de la banda de paso, mientras que la combinación del factor de rizado y el factor de selectividad especifica el rizado de la banda de rechazo.

• En la banda de paso, la función racional elíptica varía entre cero y uno. Por lo tanto, la ganancia de la banda de paso variará entre 1 y${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$.
• En la banda de rechazo, la función racional elíptica varía entre el infinito y el factor de discriminación.${\displaystyle L_{n}}$que se define como:

${\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,}$

Por lo tanto, la ganancia de la banda de rechazo variará entre 0 y${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}}$.

• En el límite de${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$La función racional elíptica se convierte en un polinomio de Chebyshev y, por lo tanto, el filtro se convierte en un filtro de Chebyshev de tipo I , con factor de rizado ε.
• Dado que el filtro de Butterworth es una forma límite del filtro de Chebyshev, se deduce que en el límite de${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$,${\displaystyle \omega _ {0}\rightarrow 0}$y${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$de tal manera que${\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1}$El filtro se convierte en un filtro Butterworth.
• En el límite de${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$,${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$y ${\displaystyle \omega _ {0}\rightarrow 0}$de tal manera que${\displaystyle \xi \omega _ {0}=1}$y${\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha }$, el filtro se convierte en un filtro Chebyshev tipo II con ganancia

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}$

Los ceros de la ganancia de un filtro elíptico coincidirán con los polos de la función racional elíptica, que se derivan en el artículo sobre funciones racionales elípticas .

Los polos de la ganancia de un filtro elíptico se pueden derivar de una manera muy similar a la derivación de los polos de la ganancia de un filtro Chebyshev de tipo I. Para simplificar, supongamos que la frecuencia de corte es igual a la unidad. Los polos${\displaystyle (\omega _ {pm})}$de la ganancia del filtro elíptico serán los ceros del denominador de la ganancia. Usando la frecuencia compleja${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$Esto significa que:

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,}$

Definición${\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi)}$donde cd() es la función coseno elíptica de Jacobi y, utilizando la definición de las funciones racionales elípticas, se obtiene:

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0\,}$

dónde${\displaystyle K=K(1/\xi )}$y${\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n})}$. Resolviendo para w

${\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}}}$

donde los múltiples valores de la función inversa cd() se hacen explícitos usando el índice entero m .

Los polos de la función de ganancia elíptica son entonces:

${\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,}$

Como ocurre con los polinomios de Chebyshev, esto puede expresarse en forma explícitamente compleja ( Lutovac y otros, 2001 , § 12.8).

${\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}}$

${\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}}$

${\displaystyle c=1-\zeta _ {n}^{2}+x_ {i}^{2}\zeta _ {n}^{2}/\xi ^{2}}$

dónde${\displaystyle \zeta _{n}}$es una función de${\displaystyle n,\,\epsilon }$y${\displaystyle \xi }$y${\displaystyle x_{m}}$son los ceros de la función racional elíptica.${\displaystyle \zeta _{n}}$es expresable para todo n en términos de funciones elípticas de Jacobi, o algebraicamente para algunos órdenes, especialmente los órdenes 1, 2 y 3. Para los órdenes 1 y 2 tenemos

${\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}}$

${\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}}$

dónde

${\displaystyle t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}$

La expresión algebraica para${\displaystyle \zeta _{3}}$es bastante complejo (véase Lutovac y otros (2001 , § 12.8.1) ).

La propiedad de anidamiento de las funciones racionales elípticas se puede utilizar para construir expresiones de orden superior para${\displaystyle \zeta _{n}}$:

${\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right)}$

dónde${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi )}$.

Véase Lutovac y et al. (2001 , § 12.11, 13.14) .

Los filtros elípticos generalmente se especifican requiriendo un valor particular para la ondulación de la banda de paso, α _p , la ondulación de la banda de rechazo, α _s, y la nitidez del corte. Estos especifican un orden mínimo n para la función elíptica racional que describe el comportamiento del filtro. Específicamente, consideremos un filtro que deja pasar frecuencias por debajo de ω _p y rechaza frecuencias por encima de ω _s , y definamos la función auxiliar$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\right)^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\right)^{2}}}}}}$$Para restringir la ganancia de la banda de paso a [1- G _p , 1] y la ganancia de la banda de rechazo a [0, 1- G _s ] , el orden n debe satisfacer ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&n\geq {\frac {\log {\left(16{\frac {G_{s}}{G_{p}}}\right)}}{-\log(u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13})}}\\&{\text{Where:}}\\&Gs=10^{\alpha _{s/10}}-1\\&Gp=10^{\alpha _{p/10}}-1\\\end{aligned}}}$$Esa ecuación surge de una aproximación a la función integral elíptica completa K; una formulación exacta es ^{[ 2 ].}$${\displaystyle n\geq {\frac {K\left({\sqrt {1-\tau _{1}^{2}}}\right)K(\tau _{2})}{K(\tau _{1})K\left({\sqrt {1-\tau _{2}^{2}}}\right)}}}$$dónde$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&={\sqrt {\frac {G_{p}}{G_{s}}}}\\\tau _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\end{aligned}}}$$Otra consideración de diseño es la sensibilidad de la función de ganancia a los valores de los componentes electrónicos utilizados para construir el filtro. Esta sensibilidad es inversamente proporcional al factor de calidad ( factor Q ) de los polos de la función de transferencia del filtro . El factor Q de un polo se define como:

${\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}$

y es una medida de la influencia del polo en la función de ganancia. Para un filtro elíptico, sucede que, para un orden dado, existe una relación entre el factor de rizado y el factor de selectividad que minimiza simultáneamente el factor Q de todos los polos en la función de transferencia:

${\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}$

Esto da como resultado un filtro que es mínimamente insensible a las variaciones de los componentes, pero se pierde la capacidad de especificar de forma independiente las ondulaciones de la banda de paso y la banda de rechazo. Para dichos filtros, a medida que aumenta el orden, la ondulación en ambas bandas disminuirá y la tasa de corte aumentará. Si se decide utilizar un filtro elíptico de Q mínimo para lograr una ondulación mínima particular en las bandas del filtro junto con una tasa de corte particular, el orden necesario generalmente será mayor que el orden que se necesitaría de otro modo sin la restricción de Q mínimo. Una imagen del valor absoluto de la ganancia se verá muy similar a la imagen de la sección anterior excepto que los polos están dispuestos en un círculo en lugar de una elipse. No estarán espaciados uniformemente y habrá ceros en el eje ω, a diferencia del filtro Butterworth , cuyos polos están dispuestos en un círculo espaciado uniformemente sin ceros.

Aquí se muestra una imagen del filtro elíptico junto a otros tipos de filtros comunes obtenidos con el mismo número de coeficientes:

Como se puede apreciar en la imagen, los filtros elípticos son más nítidos que todos los demás, pero muestran ondulaciones en todo el ancho de banda.

Las bandas de rechazo de filtros elípticos son esencialmente filtros de Chebyshev con ceros de transmisión donde los ceros de transmisión están dispuestos de manera que producen una banda de rechazo de rizado uniforme. Dado esto, es posible convertir una ecuación característica de filtro de Chebyshev,${\displaystyle K(s)}$que contiene los ceros de reflexión de Chebyshev en el numerador y ningún cero de transmisión en el denominador, a un filtro elíptico${\displaystyle K(s)}$que contiene los ceros de reflexión elíptica en el numerador y los ceros de transmisión elíptica en el denominador, creando iterativamente ceros de transmisión a partir del inverso escalado de los ceros de reflexión de Chebyshev, y luego restableciendo una banda de paso de Chebyshev de ondulación uniforme a partir de los ceros de transmisión, y repitiendo hasta que las iteraciones no produzcan más cambios significativos.${\displaystyle K(s)}$. ^{[ 3 ]} El factor de escala utilizado,${\displaystyle \Omega _{c}}$, es la relación de frecuencia de corte de la banda de rechazo a la banda de paso y también se conoce como el inverso del "factor de selectividad". ^{[ 1 ]} Dado que los diseños elípticos generalmente se especifican a partir de los requisitos de atenuación de la banda de rechazo,${\displaystyle \Omega _{c}}$, se pueden derivar de las ecuaciones que establecen el orden mínimo, n, arriba.

el${\displaystyle \omega _{s}/\omega _{p}}$relación,${\displaystyle \Omega _{c}}$puede derivarse trabajando el problema de orden mínimo, n , anterior hacia atrás desde n para encontrar${\displaystyle \Omega _{c}}$. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\text{ number of poles (order of the filter)}}\\\alpha _{p}{\text{ and }}\alpha _{s}&={\text{pass band and stop band attenuation, respectively}}\\\omega _{p}{\text{ and }}\omega _{s}&={\text{pass band and stop band frequencies, respectively}}\\D&={\frac {G_{s}}{G_{p}}}={\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={\text{ real root of above equation}}\\k&={\text{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned}}}$

Los polinomios característicos,${\displaystyle K(s)}$calculado a partir de${\displaystyle \Omega _{c}}$y los requisitos de atenuación, pueden luego traducirse a los polinomios de la función de transferencia,${\displaystyle G(s)}$con la traducción clásica,${\displaystyle G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}$dónde${\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1.}$y${\displaystyle A_{p}}$ es la ondulación de la banda de paso. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Ejemplo sencillo

Diseñar un filtro elíptico con una ondulación de banda de paso de 1  dB de 0 a 1 rad/seg y una ondulación de banda de rechazo de 40  dB de al menos 1,25 rad/seg a${\displaystyle \infty }$.

Aplicando los cálculos anteriores para el valor de n antes de aplicar la función ceil() , se encuentra que n es 4.83721900 redondeado al siguiente entero, 5, al aplicar la función ceil() , lo que significa que se requiere un filtro elíptico de 5 polos para cumplir con los requisitos de diseño especificados. Aplicando los cálculos anteriores para${\displaystyle \Omega _{c}}$era necesario diseñar una banda de rechazo con  una atenuación de exactamente 40 dB,${\displaystyle \Omega _{c}}$se encuentra que es 1,2186824.

La función de inversión escalada polinómica se puede realizar trasladando cada raíz, s , a${\displaystyle \Omega _{c}/s}$, lo cual se puede lograr fácilmente invirtiendo el polinomio y escalándolo por${\displaystyle \Omega _{c}}$, como se muestra.

${\displaystyle {\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned}}}$

Los pasos de diseño elíptico son los siguientes: ^{[ 3 ]}

1. Diseñar filtros Chebyshev con una  ondulación de banda de paso de 1 dB.
2. Invierte todos los ceros de reflexión sobre${\displaystyle \Omega _{c}}$para crear ceros de transmisión
3. Cree una banda de paso de rizado uniforme a partir de los ceros de transmisión utilizando el proceso descrito en los ceros de transmisión de Chebyshev.
4. Repita los pasos 2 y 3 hasta que tanto la banda de paso como la banda de rechazo ya no varíen de forma apreciable. Normalmente, entre 15 y 25 iteraciones producen diferencias en los coeficientes del orden de 1e-15.

Para ilustrar los pasos, las siguientes ecuaciones K(s) comienzan con una K(s) de Chebyshev estándar y luego iteran a través del proceso. Se observan diferencias visibles en las tres primeras iteraciones. Al llegar a las 18 iteraciones, las diferencias en K(s) se vuelven insignificantes. Las iteraciones pueden interrumpirse cuando el cambio en los coeficientes K(s) sea suficientemente pequeño como para cumplir con los requisitos de precisión de diseño. Todas las siguientes iteraciones de K(s) se han normalizado de tal manera que${\displaystyle |K(j)|=1}$Sin embargo, este paso puede posponerse hasta la última iteración, si se desea.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{\text{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{\text{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{\text{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{\text{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}$

Para encontrar el${\displaystyle G(s)}$función de transferencia, haga lo siguiente. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

Para obtener${\displaystyle G(s)}$Desde el semiplano izquierdo, factoriza el numerador y el denominador para obtener las raíces usando un algoritmo de búsqueda de raíces . Descarta todas las raíces del semiplano derecho del denominador, reduce a la mitad las raíces repetidas en el numerador y reconstruye.${\displaystyle G(s)}$con las raíces restantes. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Generalmente, normalizar${\displaystyle |G(s)|}$a 1 en${\displaystyle s=0}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned}}}$

Para confirmar que el ejemplo${\displaystyle G(s)}$es correcto, el gráfico de${\displaystyle G(s)}$a lo largo de${\displaystyle j\omega }$Se muestra a continuación con una ondulación de banda de paso de 1  dB, una frecuencia de corte de 1 rad/seg y una atenuación de banda de parada de 40  dB que comienza en 1,21868 rad/seg.

Los filtros elípticos de orden par implementados con elementos pasivos, típicamente inductores, capacitores y líneas de transmisión, con terminaciones de igual valor en cada lado, no pueden implementarse con la función de transferencia elíptica tradicional sin el uso de bobinas acopladas, lo cual puede no ser deseable o factible. Esto se debe a la incapacidad física de acomodar los ceros de reflexión y transmisión de Chebyshev de orden par que dan como resultado valores de la matriz de dispersión S12 que exceden el valor de S12 en${\displaystyle \omega =0}$y los valores finitos de S12 que existen en${\displaystyle \omega =\infty }$. Si no es factible diseñar el filtro con una de las terminaciones aumentada o disminuida para acomodar la banda de paso S12, entonces la función de transferencia elíptica debe modificarse para mover el cero de reflexión de orden par más bajo a${\displaystyle \omega =0}$y la transmisión de orden par más alta de cero a${\displaystyle \omega =\infty }$manteniendo la respuesta de rizado uniforme de la banda de paso y la banda de rechazo. ^{[ 5 ]}

La modificación necesaria implica mapear cada polo y cero de la función de transferencia elíptica de manera que el cero de reflexión de frecuencia más baja se mapee a cero, el cero de transmisión de frecuencia más alta se mapee a${\displaystyle \infty }$y los polos y ceros restantes según sea necesario para mantener la banda de paso y la banda de rechazo de rizado uniforme. El cero de reflexión de frecuencia más baja se puede encontrar factorizando el${\displaystyle K(s)}$numerador, y el cero de transmisión de frecuencia más alta se puede encontrar factorizando el${\displaystyle K(s)}$denominador.

Para trasladar los ceros de reflexión, se aplica la siguiente ecuación a todos los polos y ceros de${\displaystyle K(s)}$. ^{[ 5 ]} Si bien en teoría, las operaciones de traducción pueden realizarse en cualquiera de los dos${\displaystyle K(s)}$o${\displaystyle G(s)}$, los ceros de reflexión deben extraerse de${\displaystyle K(s)}$, por lo que generalmente es más eficiente realizar las operaciones de traducción en${\displaystyle K(s)}$.

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2}}}}}$

Dónde:

${\displaystyle R_{i}}$es el cero o polo de la función elíptica original

${\displaystyle R_{i}'}$es el cero o polo mapeado para la función de transferencia de orden par modificada.

${\displaystyle \omega _{LO}}$es el cero de reflexión de frecuencia más baja en la banda de paso.

El signo del componente imaginario de${\displaystyle R_{i}'}$está determinado por el signo del original${\displaystyle R_{i}}$.

Para trasladar los ceros de transmisión, se aplica la siguiente ecuación a todos los polos y ceros de${\displaystyle K(s)}$. ^{[ 5 ]} Si bien en teoría, las operaciones de traducción pueden realizarse en cualquiera de los dos${\displaystyle K(s)}$o${\displaystyle G(s)}$, si los ceros de reflexión deben extraerse de${\displaystyle K(s)}$, puede ser más eficiente realizar las operaciones de traducción en${\displaystyle K(s)}$.

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2}}}}}$

Dónde:

${\displaystyle R_{i}}$es el cero o polo de la función elíptica original

${\displaystyle R_{i}'}$es el cero o polo mapeado para la función de transferencia de orden par modificada.

${\displaystyle \omega _{HI}}$es el cero de transmisión de frecuencia más alta en la banda de paso.

El signo del componente imaginario de${\displaystyle R_{i}'}$está determinado por el signo del original${\displaystyle R_{i}}$. Si se opera en${\displaystyle G(s)}$el signo del componente real de${\displaystyle R_{i}'}$debe ser negativo para cumplir con el requisito del semiplano izquierdo.

Es importante señalar que todas las aplicaciones requieren traducciones tanto de paso como de parada. Los diplexores de red pasivos, por ejemplo, solo requieren traducciones de banda de parada de orden par y funcionan de manera más eficiente con bandas de paso de orden par sin traducir. ^{[ 5 ]}

Cuando${\displaystyle G(s)}$Una vez completado, se crea una función de transferencia de ondulación uniforme con valores de matriz de dispersión para S12 de 1.${\displaystyle \omega =0}$y 0 en${\displaystyle \omega =\infty }$, que puede implementarse con redes pasivas terminadas de forma igual.

La ilustración a continuación muestra un filtro elíptico de octavo orden modificado para admitir redes pasivas terminadas de orden par mediante la reubicación del cero de reflexión de frecuencia más baja de una frecuencia finita a 0 y el cero de transmisión de frecuencia más alta a${\displaystyle \infty }$manteniendo una respuesta en frecuencia de banda de paso y banda de rechazo con ondulación uniforme .

El${\displaystyle \Omega _{c}}$y el cálculo del orden en el párrafo de construcción elíptica anterior son solo para filtros elípticos no modificados. Aunque incluso las modificaciones del orden no tienen efecto en la atenuación de la banda de paso o de la banda de rechazo, se esperan pequeños errores en el orden y${\displaystyle \Omega _{c}}$cálculos. Por lo tanto, es importante aplicar modificaciones de orden par después de todos${\displaystyle K(s)}$Las iteraciones se completan si se desea preservar las atenuaciones de la banda de paso y de parada. Si la función elíptica modificada de orden par se crea a partir de una${\displaystyle \Omega _{c}}$requisito, el real${\displaystyle \Omega _{c}}$será ligeramente más grande que el diseño${\displaystyle \Omega _{c}}$. Asimismo, un cálculo de orden, n , puede dar como resultado un valor menor que el orden realmente requerido.

Un filtro de reloj de arena es un caso especial de filtro donde los ceros de reflexión son el recíproco de los ceros de transmisión alrededor de una frecuencia de atenuación de corte normalizada de 3,01  dB de 1 rad/seg, lo que resulta en que todos los polos del filtro residen en el círculo unitario . ^{[ 6 ]} La implementación elíptica de reloj de arena tiene una ventaja sobre un filtro de Chebyshev inverso en que la banda de paso es más plana, y tiene una ventaja sobre los filtros elípticos tradicionales en que el retardo de grupo tiene un pico menos pronunciado en la frecuencia de corte.

• Daniels, Richard W. (1974). Métodos de aproximación para el diseño de filtros electrónicos . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
• Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Diseño de filtros para el procesamiento de señales con MATLAB y Mathematica . Nueva Jersey, EE. UU.: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.