Simetría de las segundas derivadas

En matemáticas , la simetría de las segundas derivadas (también llamada igualdad de las derivadas parciales mixtas ) es el hecho de que intercambiar el orden de las derivadas parciales de una función multivariable$${\displaystyle f\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}$$ no cambia el resultado si se cumplen algunas condiciones de continuidad (ver más abajo); es decir, las derivadas parciales de segundo orden satisfacen las identidades$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right).}$$ En otras palabras, la matriz de las derivadas parciales de segundo orden, conocida como matriz hessiana , es una matriz simétrica .

Las condiciones suficientes para que se cumpla la simetría vienen dadas por el teorema de Schwarz , también llamado teorema de Clairaut o teorema de Young . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

En el contexto de las ecuaciones diferenciales parciales , se la conoce como la condición de integrabilidad de Schwarz .

En símbolos, la simetría puede expresarse como:

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\qquad {\text{o}}\qquad {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x\,\partial y}}\ =\ {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y\,\partial x}}.}$$

Otra notación es:

$${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f\qquad {\text{o}}\qquad f_{yx}=f_{xy}.}$$

En términos de la composición del operador diferencial D _i que toma la derivada parcial con respecto a x _i :

$${\displaystyle D_{i}\circ D_{j}=D_{j}\circ D_{i}.}$$

De esta relación se deduce que el anillo de operadores diferenciales con coeficientes constantes , generado por el D _i , es conmutativo ; pero esto solo es cierto para operadores sobre un dominio de funciones suficientemente diferenciables. Es fácil comprobar la simetría aplicada a los monomios , de modo que se pueden tomar los polinomios en el x _i como dominio. De hecho, las funciones suaves constituyen otro dominio válido.

En términos de la derivada total, la segunda derivada de una función dos veces diferenciable${\displaystyle f\colon X\to Y}$en un punto${\displaystyle p\in X}$es un mapa lineal $${\displaystyle D^{2}f_{p}\colon X\to {\mathcal {L}}(X,Y)}$$ Dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$es el espacio vectorial normado de aplicaciones lineales de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$. Al descurrificarlo , puede identificarse con una forma bilineal de${\displaystyle X\times X}$a${\displaystyle Y}$. La simetría de las segundas derivadas entonces dice que esta simétrica, es decir,${\displaystyle D^{2}f_{p}(u)(v)=D^{2}f_{p}(v)(u)}$a pesar de${\displaystyle u,v\in X}$. Configuración${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$ser los vectores base estándar${\displaystyle \mathbf {e} _ {i}}$y${\displaystyle \mathbf {e} _ {j}}$recupera la versión de derivadas parciales. De manera más general, siempre que${\displaystyle f}$es${\displaystyle r}$-veces diferenciable su derivada en un punto${\displaystyle p}$es simétrico${\displaystyle r}$-forma lineal${\displaystyle D^{r}f_{p}\colon X^{\otimes r}\to Y}$.

El resultado sobre la igualdad de derivadas parciales mixtas bajo ciertas condiciones tiene una larga historia. La lista de demostraciones propuestas fallidas comenzó con la de Euler , publicada en 1740, ^{[ 3 ]} aunque ya en 1721 Bernoulli había asumido implícitamente el resultado sin justificación formal. ^{[ 4 ]} Clairaut también publicó una demostración propuesta en 1740, sin otros intentos hasta finales del siglo XVIII. A partir de entonces, durante un período de 70 años, se propusieron varias demostraciones incompletas. La demostración de Lagrange (1797) fue mejorada por Cauchy (1823), pero asumía la existencia y continuidad de las derivadas parciales.${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$y${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$[ ^{5 ]} Otros intentos fueron realizados por P. Blanchet (1841), Duhamel (1856), Sturm (1857), Schlömilch (1862) y Bertrand (1864). Finalmente ^, en 1867, Lindelöf analizó sistemáticamente todas las demostraciones anteriores defectuosas y pudo presentar un contraejemplo específico donde las derivadas mixtas no eran iguales. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Seis años después, Schwarz logró dar la primera demostración rigurosa. ^{[ 8 ]} Posteriormente, Dini contribuyó al encontrar condiciones más generales que las de Schwarz. Finalmente, Jordan encontró en 1883 una versión más clara y general que aún se encuentra en la mayoría de los libros de texto. Laurent (1885), Peano (1889 y 1893), J. Edwards (1892), P. Haag (1893), J. K. Whittemore (1898), Vivanti (1899) y Pierpont (1905) publicaron variantes menores de demostraciones anteriores . Se lograron nuevos avances entre 1907 y 1909 cuando E. W. Hobson y W. H. Young encontraron demostraciones con condiciones más débiles que las de Schwarz y Dini. En 1918, Carathéodory dio una demostración diferente basada en la integral de Lebesgue . ^{[ 7 ]}

En análisis matemático , el teorema de Schwarz (o teorema de Clairaut sobre la igualdad de parciales mixtos ) ^{[ 9 ],} que lleva el nombre de Alexis Clairaut y Hermann Schwarz , establece que para una función${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$definido en un conjunto${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, si${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$es un punto tal que algún vecindario de${\displaystyle \mathbf {p} }$está contenido en${\displaystyle \Omega }$y${\displaystyle f}$tiene derivadas parciales segundas continuas en ese entorno de${\displaystyle \mathbf {p} }$, entonces para todo i y j en${\displaystyle \{1,2\ldots ,\,n\},}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}f(\mathbf {p} )={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}f(\mathbf {p} ).}$$

Las derivadas parciales de esta función conmutan en ese punto.

Existe una versión de este teorema donde${\displaystyle f}$Solo se requiere que sea dos veces diferenciable en ese punto.${\displaystyle \mathbf {p} }$.

Una manera fácil de establecer este teorema (en el caso donde${\displaystyle n=2}$,${\displaystyle i=1}$, y${\displaystyle j=2}$, lo que implica fácilmente el resultado en general) es aplicando el teorema de Green al gradiente de${\displaystyle f.}$

Una demostración elemental para funciones en subconjuntos abiertos del plano es la siguiente (mediante una simple reducción, el caso general del teorema de Schwarz se reduce fácilmente al caso planar). ^{[ 10 ]} Sea${\displaystyle f(x,y)}$sea ​​una función diferenciable en un rectángulo abierto${\displaystyle \Omega }$que contiene un punto${\displaystyle (a,b)}$y supongamos que${\displaystyle df}$es continuo con continuo${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$y${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$encima${\displaystyle \Omega .}$Definir

$${\displaystyle {\begin{aligned}u{\left(h,\,k\right)}&=f\left(a{+}h,\,b{+}k\right)-f\left(a{+}h,\,b\right),\\v{\left(h,\,k\right)}&=f\left(a{+}h,\,b{+}k\right)-f\left(a,\,b{+}k\right),\\w{\left(h,\,k\right)}&=f\left(a{+}h,\,b{+}k\right)-f\left(a{+}h,\,b\right)-f\left(a,\,b{+}k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{aligned}}}$$

Estas funciones están definidas para${\displaystyle \left|h\right|,\left|k\right|<\varepsilon }$, dónde${\displaystyle \varepsilon >0}$y${\displaystyle \left[a{-}\varepsilon ,\,a{+}\varepsilon \right]\times \left[b{-}\varepsilon ,\,b{+}\varepsilon \right]}$está contenido en${\displaystyle \Omega .}$

Por el teorema del valor medio , para h y k distintos de cero fijos,${\displaystyle \theta }$,${\displaystyle \theta '}$,${\displaystyle \phi }$,${\displaystyle \phi '}$se puede encontrar en el intervalo abierto${\displaystyle (0,1)}$con

$${\displaystyle {\begin{aligned}w{\left(h,\,k\right)}&=u{\left(h,\,k\right)}-u{\left(0,\,k\right)}=h\,\partial _{x}u{\left(\theta h,\,k\right)}\\[0.5ex]&=h\left[\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b{+}k\right)}-\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b\right)}\right]\\[0.5ex]&=hk\,\partial _{y}\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b{+}\theta ^{\prime }k\right)}\\[1ex]w{\left(h,\,k\right)}&=v{\left(h,\,k\right)}-v{\left(h,\,0\right)}=k\,\partial _{y}v\left(h,\,\phi k\right)\\[0.5ex]&=k\left[\partial _{y}f{\left(a{+}h,\,b{+}\phi k\right)}-\partial _{y}f{\left(a,\,b{+}\phi k\right)}\right]\\[0.5ex]&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f{\left(a{+}\phi ^{\prime }h,\,b{+}\phi k\right)}.\end{aligned}}}$$

Desde${\displaystyle h,\,k\neq 0}$, la primera igualdad que aparece a continuación se puede dividir por${\displaystyle hk}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}hk\,\partial _{y}\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b{+}\theta ^{\prime }k\right)}&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f{\left(a{+}\phi ^{\prime }h,\,b{+}\phi k\right)},\\\partial _{y}\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b{+}\theta ^{\prime }k\right)}&=\partial _{x}\partial _{y}f{\left(a{+}\phi ^{\prime }h,\,b{+}\phi k\right)}.\end{aligned}}}$$

Alquiler${\displaystyle h,\,k}$tienden a cero en la última igualdad, las suposiciones de continuidad en${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$y${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$ahora implican que

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f\left(a,\,b\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}f\left(a,\,b\right).}$$

Esta explicación es un método clásico sencillo que se encuentra en muchos libros de texto, por ejemplo en Burkill, Apostol y Rudin. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

Aunque la derivación anterior es elemental, el enfoque también puede verse desde una perspectiva más conceptual para que el resultado sea más evidente. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} De hecho, los operadores de diferencia${\displaystyle \Delta _{x}^{t},\,\,\Delta _{y}^{t}}$desplazamiento y${\displaystyle \Delta _{x}^{t}f,\,\,\Delta _{y}^{t}f}$tienden a${\displaystyle \partial _{x}f,\,\,\partial _{y}f}$como${\displaystyle t}$tiende a 0, con una afirmación similar para operadores de segundo orden. ^{[ a ]} ​​Aquí, para${\displaystyle z}$un vector en el plano y${\displaystyle u}$un vector direccional${\displaystyle {\tbinom {1}{0}}}$o${\displaystyle {\tbinom {0}{1}}}$, el operador de diferencia se define por

$${\displaystyle \Delta _{u}^{t}f(z)={f(z+tu)-f(z) \over t}.}$$

Por el teorema fundamental del cálculo para${\displaystyle C^{1}}$funciones${\displaystyle f}$en un intervalo abierto${\displaystyle I}$con${\displaystyle (a,b)\subset I}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f^{\prime }(x)\,dx=f(b)-f(a).}$$

Por eso

$${\displaystyle \left|f(b)-f(a)\right|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}\left|f^{\prime }(c)\right|.}$$

Esta es una versión generalizada del teorema del valor medio . Recordemos que la discusión elemental sobre máximos o mínimos para funciones de valor real implica que si${\displaystyle f}$es continuo en${\displaystyle [a,b]}$y diferenciable en${\displaystyle (a,b)}$, entonces hay un punto${\displaystyle c}$en${\displaystyle (a,b)}$de tal manera que

$${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f^{\prime }(c).}$$

Para funciones con valores vectoriales con${\displaystyle V}$un espacio normado de dimensión finita, no hay un análogo de la igualdad anterior, de hecho falla. Pero dado que${\displaystyle \inf f^{\prime }\leq f^{\prime }(c)\leq \sup f^{\prime }}$, la desigualdad anterior es un sustituto útil. Además, utilizando el emparejamiento del dual de${\displaystyle V}$Con su norma dual, se obtiene la siguiente desigualdad:

$${\displaystyle \left\|f(b)-f(a)\right\|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}\left\|f^{\prime }(c)\right\|.}$$

Estas versiones del teorema del valor medio se discuten en Rudin, Hörmander y otros lugares. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

Para${\displaystyle f}$a${\displaystyle C^{2}}$función en un conjunto abierto en el plano, definimos${\displaystyle D_{1}=\partial _{x}}$y${\displaystyle D_{2}=\partial _{y}}$Además, para${\displaystyle t\neq 0}$colocar

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}^{t}f(x,y)&={\frac {f(x{+}t,\,y)-f(x,y)}{t}},\\\Delta _{2}^{t}f(x,y)&={\frac {f(x,\,y{+}t)-f(x,y)}{t}}.\end{aligned}}}$$

Entonces para${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$En el conjunto abierto, el teorema generalizado del valor medio se puede aplicar dos veces:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|&\leq \sup _{0\leq s\leq 1}\left|\Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},\,y_{0}{+}ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\\[1ex]&\leq \sup _{0\leq r,s\leq 1}\left|D_{1}D_{2}f(x_{0}{+}tr,\,y_{0}{+}ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|.\end{aligned}}}$$

De este modo${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})}$tiende a${\displaystyle D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})}$como${\displaystyle t}$tiende a 0. El mismo argumento muestra que${\displaystyle \Delta _{2}^{t}\Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})}$tiende a${\displaystyle D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})}$Por lo tanto, dado que los operadores de diferencias conmutan, también lo hacen los operadores diferenciales parciales.${\displaystyle D_{1}}$y${\displaystyle D_{2}}$, como se afirma. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

Observación. Mediante dos aplicaciones del teorema clásico del valor medio,

$${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f{\left(x_{0}{+}t\theta ,\,y_{0}{+}t\theta ^{\prime }\right)}}$$

para algunos${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \theta ^{\prime }}$en${\displaystyle (0,1)}$Así, la primera demostración elemental puede reinterpretarse utilizando operadores de diferencias. Por el contrario, en lugar de utilizar el teorema generalizado del valor medio en la segunda demostración, podría emplearse el teorema clásico del valor medio.

Las propiedades de las integrales de Riemann repetidas de una función continua F en un rectángulo compacto [ a , b ] × [ c , d ] se establecen fácilmente. ^{[ 26 ]} La continuidad uniforme de F implica inmediatamente que las funciones${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy}$y${\displaystyle h(y)=\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx}$son continuas. ^{[ 27 ]} De ello se deduce que

$${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx\,dy;}$$

Además, es inmediato que la integral iterada es positiva si F es positiva. ^{[ 28 ]} La igualdad anterior es un caso simple del teorema de Fubini , que no involucra teoría de la medida . Titchmarsh (1939) lo demuestra de manera directa usando sumas de aproximación de Riemann correspondientes a subdivisiones de un rectángulo en rectángulos más pequeños.

Para demostrar el teorema de Clairaut, supongamos que f es una función diferenciable en un conjunto abierto U , para la cual existen y son continuas las segundas derivadas parciales mixtas f _yx y f _xy . Utilizando el teorema fundamental del cálculo dos veces,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f_{yx}(x,y)\,dx\,dy&=\int _{c}^{d}\left(f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y)\right)\,dy\\[1ex]&=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).\end{aligned}}}$$

Similarmente

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f_{xy}(x,y)\,dy\,dx&=\int _{a}^{b}\left(f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c)\right)\,dx\\[1ex]&=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).\end{aligned}}}$$

Las dos integrales iteradas son, por lo tanto, iguales. Por otro lado, dado que f _xy ( x , y ) es continua, la segunda integral iterada se puede realizar integrando primero sobre x y luego sobre y . Pero entonces la integral iterada de f _yx − f _xy en [ a , b ] × [ c , d ] debe anularse. Sin embargo, si la integral iterada de una función continua F se anula para todos los rectángulos, entonces F debe ser idénticamente cero; porque de lo contrario F o − F sería estrictamente positivo en algún punto y, por lo tanto, por continuidad en un rectángulo, lo cual no es posible. Por lo tanto, f _yx − f _xy debe anularse idénticamente, de modo que f _yx = f _xy en todas partes. ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

Una condición más débil que la continuidad de las segundas derivadas parciales (que está implícita en la última) que basta para asegurar la simetría es que todas las derivadas parciales sean diferenciables . ^{[ 34 ]} Otro fortalecimiento del teorema, en el que se afirma la existencia de la derivada parcial mixta permutada, fue proporcionado por Peano en una breve nota de 1890 en Mathesis :

Si${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$se define en un conjunto abierto${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{2}}$;${\displaystyle \partial _{1}f(x,\,y)}$y${\displaystyle \partial _{2,1}f(x,\,y)}$existen en todas partes${\displaystyle E}$;${\displaystyle \partial _{2,1}f}$es continuo en${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)\in E}$y si${\displaystyle \partial _{2}f(x,\,y_{0})}$existe en un barrio de${\displaystyle x=x_{0}}$, entonces${\displaystyle \partial _{1,2}f}$existe en${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)}$y${\displaystyle \partial _{1,2}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)=\partial _{2,1}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)}$. ^{[ 35 ]}

La teoría de las distribuciones (funciones generalizadas) elimina los problemas analíticos con la simetría. La derivada de una función integrable siempre puede definirse como una distribución, y la simetría de las derivadas parciales mixtas siempre se cumple como una igualdad de distribuciones. El uso de la integración formal por partes para definir la diferenciación de distribuciones traslada la cuestión de la simetría a las funciones de prueba , que son suaves y ciertamente satisfacen esta simetría. En más detalle (donde f es una distribución, escrita como un operador sobre funciones de prueba, y φ es una función de prueba), $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(D_{1}D_{2}f\right)[\phi ]&=-\left(D_{2}f\right)\left[D_{1}\phi \right]=-\left(D_{1}f\right)\left[D_{2}\phi \right]\\&=f\left[D_{2}D_{1}\phi \right]=f\left[D_{1}D_{2}\phi \right]\\&=\left(D_{2}D_{1}f\right)[\phi ].\end{aligned}}}$$

Otro enfoque, que define la transformada de Fourier de una función, consiste en observar que en dichas transformadas las derivadas parciales se convierten en operadores de multiplicación que conmutan de forma mucho más evidente. ^{[ a ]}

El requisito de continuidad no es esencial. Para que las segundas derivadas parciales sean conmutativas en un punto, basta con que la función sea dos veces diferenciable en ese punto, en el sentido del cálculo multivariable. ^{[ 36 ]} Es decir: las primeras derivadas parciales de la función deben ser diferenciables en ese punto. Esto, sin embargo, difiere de la mera existencia de las segundas derivadas parciales. La continuidad de las segundas derivadas parciales es una condición suficiente común (pero no necesaria) para garantizar la dos veces diferenciabilidad en este sentido.

Un ejemplo de no simetría es la función (debido a Peano ) ^{[ 37 ] [ 38 ]}

Esto se puede visualizar mediante la forma polar.${\displaystyle f(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))={\frac {r^{2}\sin(4\theta )}{4}}}$; es continua en todas partes, pero sus derivadas en (0, 0) no se pueden calcular algebraicamente. Más bien, el límite de los cocientes de diferencias muestra que${\displaystyle f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0}$, por lo tanto el gráfico${\displaystyle z=f(x,y)}$tiene un plano tangente horizontal en (0, 0) y las derivadas parciales${\displaystyle f_{x},f_{y}}$existen y son continuas en todas partes. Sin embargo, las segundas derivadas parciales no son continuas en (0, 0) , y la simetría falla. De hecho, a lo largo del eje x la derivada y es${\displaystyle f_{y}(x,0)=x}$, y entonces: $${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f_{y}(\varepsilon ,0)-f_{y}(0,0)}{\varepsilon }}=1.}$$

En contraste, a lo largo del eje y la derivada x${\displaystyle f_{x}(0,y)=-y}$, y entonces${\displaystyle f_{xy}(0,0)=-1}$. Eso es,${\displaystyle f_{yx}\neq f_{xy}}$en (0, 0) , aunque existen derivadas parciales mixtas, y en todos los demás puntos se mantiene la simetría.

La función anterior, escrita en coordenadas polares, se puede expresar como $${\displaystyle f(r,\,\theta )={\frac {r^{2}\sin {4\theta }}{4}},}$$

Esto demuestra que la función oscila cuatro veces al recorrer una vez un bucle arbitrariamente pequeño que contiene el origen. Por lo tanto, intuitivamente, el comportamiento local de la función en (0, 0) no puede describirse como una forma cuadrática, y la matriz hessiana, por consiguiente, no es simétrica.

En general, el intercambio de operaciones límite no tiene por qué conmutar . Dadas dos variables cerca de (0, 0) y dos procesos límite en $${\displaystyle f(h,\,k)-f(h,\,0)-f(0,\,k)+f(0,\,0)}$$

correspondiente a hacer h → 0 primero, y a hacer k → 0 primero. Puede importar, al observar los términos de primer orden, cuál se aplica primero. Esto lleva a la construcción de ejemplos patológicos en los que las segundas derivadas no son simétricas. Este tipo de ejemplo pertenece a la teoría del análisis real donde el valor puntual de las funciones importa. Cuando se considera como una distribución, los valores de la segunda derivada parcial pueden cambiar en un conjunto arbitrario de puntos siempre que tenga medida de Lebesgue 0. Dado que en el ejemplo el Hessiano es simétrico en todas partes excepto (0, 0) , no hay contradicción con el hecho de que el Hessiano, visto como una distribución de Schwartz , es simétrico.

Consideremos los operadores diferenciales de primer orden D _i como operadores infinitesimales en el espacio euclidiano . Es decir, D _i genera, en cierto sentido, el grupo uniparamétrico de traslaciones paralelas al eje x _i . Estos grupos conmutan entre sí, y por lo tanto, los generadores infinitesimales también lo hacen; el corchete de Lie

Esta propiedad es su reflexión. En otras palabras, la derivada de Lie de una coordenada con respecto a otra es cero.

El teorema de Clairaut-Schwarz es el hecho clave necesario para demostrar que para cada${\displaystyle C^{\infty }}$forma diferencial (o al menos dos veces diferenciable)${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$, la segunda derivada exterior desaparece:${\displaystyle d^{2}\omega$ :=d(d\omega )=0} . Esto implica que toda forma exacta diferenciable (es decir, una forma${\displaystyle \alpha }$de tal manera que${\displaystyle \alpha =d\omega }$por alguna forma${\displaystyle \omega }$) está cerrado (es decir,${\displaystyle d\alpha =0}$), desde${\displaystyle d\alpha =d(d\omega )=0}$. ^{[ 39 ]}

A mediados del siglo XVIII, la teoría de las formas diferenciales se estudió por primera vez en el caso más simple de 1-formas en el plano, es decir${\displaystyle A\,dx+B\,dy}$, dónde${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son funciones en el plano. El estudio de las 1-formas y los diferenciales de funciones comenzó con los trabajos de Clairaut en 1739 y 1740. En esa etapa, sus investigaciones se interpretaron como formas de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias . Formalmente, Clairaut demostró que una 1-forma${\displaystyle \omega =A\,dx+B\,dy}$en un rectángulo abierto está cerrado, es decir${\displaystyle d\omega =0}$, si y solo${\displaystyle \omega }$tiene la forma${\displaystyle df}$para alguna función${\displaystyle f}$en el disco. La solución para${\displaystyle f}$se puede escribir mediante la fórmula integral de Cauchy

$${\displaystyle f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(x,y)\,dy;}$$

mientras que si${\displaystyle \omega =df}$, la propiedad cerrada${\displaystyle d\omega =0}$es la identidad${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$. (En lenguaje moderno, esta es una versión del lema de Poincaré .) ^{[ 40 ]}

• "Derivada parcial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]