Característica de Euler

La característica de Euler se puede definir para grafos planos conexos mediante la misma${\displaystyle \ V-E+F\ }$fórmula como para superficies poliédricas, donde F es el número de caras en el gráfico, incluyendo la cara exterior.

La característica de Euler de cualquier grafo plano conexo G es 2. Esto se demuestra fácilmente por inducción sobre el número de caras determinado por G , comenzando con un árbol como caso base. Para árboles ,${\displaystyle \ E=V-1\ }$y${\displaystyle \ F=1~.}$Si G tiene C componentes (grafos desconectados), el mismo argumento por inducción sobre F muestra que${\displaystyle \ V-E+FC=1~.}$Uno de los pocos artículos de Cauchy sobre teoría de grafos también demuestra este resultado.

Mediante proyección estereográfica, el plano se transforma en la 2-esfera, de modo que un grafo conexo se transforma en una descomposición poligonal de la esfera, que tiene característica de Euler  2. Este punto de vista está implícito en la demostración de Cauchy de la fórmula de Euler que se presenta a continuación.

Existen numerosas demostraciones de la fórmula de Euler. Una de ellas, presentada por Cauchy en 1811, se aplica a cualquier poliedro convexo y, de forma más general, a cualquier poliedro cuyo límite sea topológicamente equivalente a una esfera y cuyas caras sean topológicamente equivalentes a discos.

Elimine una cara de la superficie poliédrica. Al separar las aristas de la cara faltante, deforme todo lo demás en un grafo plano de puntos y curvas, de tal manera que el perímetro de la cara faltante se coloque externamente, rodeando el grafo obtenido, como se ilustra en el primero de los tres grafos para el caso especial del cubo. (La suposición de que la superficie poliédrica es homeomorfa a la esfera al principio es lo que hace esto posible). Después de esta deformación, las caras regulares generalmente ya no son regulares. El número de vértices y aristas ha permanecido igual, pero el número de caras se ha reducido en  1. Por lo tanto, demostrar la fórmula de Euler para el poliedro se reduce a demostrar${\displaystyle \ V-E+F=1\ }$para este objeto plano y deformado.

Si hay una cara con más de tres lados, dibuje una diagonal, es decir, una curva que atraviese la cara y conecte dos vértices que aún no estén conectados. Cada nueva diagonal agrega una arista y una cara y no cambia el número de vértices, por lo que no cambia la cantidad.${\displaystyle \ V-E+F~.}$(Es necesario suponer que todas las caras son discos para demostrar, mediante el teorema de la curva de Jordan, que esta operación incrementa el número de caras en uno). Continúe añadiendo aristas de esta manera hasta que todas las caras sean triangulares.

Aplique repetidamente cualquiera de las dos transformaciones siguientes, manteniendo la invariante de que el límite exterior sea siempre un ciclo simple :

1. Elimine un triángulo con solo un lado adyacente al exterior, como se ilustra en el segundo gráfico. Esto disminuye el número de lados y caras en uno cada uno y no cambia el número de vértices, por lo que conserva${\displaystyle \ V-E+F~.}$
2. Elimine un triángulo con dos aristas compartidas por el exterior de la red, como se ilustra en el tercer gráfico. Cada eliminación de triángulo elimina un vértice, dos aristas y una cara, por lo que se conserva${\displaystyle \ V-E+F~.}$

Estas transformaciones reducen finalmente el grafo planar a un único triángulo. (Sin el invariante de ciclo simple, eliminar un triángulo podría desconectar los triángulos restantes, invalidando el resto del argumento. Un orden de eliminación válido es un ejemplo elemental de un proceso de vaciado ).

En este punto el triángulo solitario tiene${\displaystyle \ V=3\ ,}$${\displaystyle \ E=3\ ,}$y${\displaystyle \ F=1\ ,}$de modo que${\displaystyle \ V-E+F=1~.}$Dado que cada uno de los dos pasos de transformación anteriores conservó esta cantidad, hemos demostrado${\displaystyle \ V-E+F=1\ }$para el objeto plano deformado que demuestra${\displaystyle \ V-E+F=2\ }$para el poliedro. Esto demuestra el teorema.

Para pruebas adicionales, véase Eppstein (2013). ^{[ 4 ]} En Proofs and Refutations de Lakatos (1976) se utilizan como ejemplos múltiples pruebas, incluyendo sus fallos y limitaciones. ^{[ 5 ]}

De forma más general, para cualquier espacio topológico , podemos definir el n -ésimo número de Betti b _n como el rango del n -ésimo grupo de homología singular . La característica de Euler se puede definir entonces como la suma alternada

${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots .}$

Esta cantidad está bien definida si los números de Betti son todos finitos y si son cero más allá de un cierto índice n ₀ . Para los complejos simpliciales, esta no es la misma definición que en el párrafo anterior, pero un cálculo de homología muestra que las dos definiciones darán el mismo valor para ${\displaystyle \chi }$.

Para una variedad lisa, compacta y orientada sin límites,${\displaystyle X}$, uno define

${\displaystyle \chi (X)=I(\Delta,\Delta)}$

El número de intersecciones autoorientadas de la diagonal de${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \Delta }$, adentro${\displaystyle X\times X.}$

La homología es un invariante topológico y, además, un invariante homotópico : dos espacios topológicos homotópicamente equivalentes tienen grupos de homología isomorfos . Por consiguiente, la característica de Euler también es un invariante homotópico.

Por ejemplo, cualquier espacio contráctil (es decir, una homotopía equivalente a un punto) tiene homología trivial, lo que significa que el número de Betti 0 es 1 y los demás 0. Por lo tanto, su característica de Euler es 1. Este caso incluye el espacio euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$de cualquier dimensión, así como la bola unitaria sólida en cualquier espacio euclidiano : el intervalo unidimensional, el disco bidimensional, la bola tridimensional, etc.

Por ejemplo, cualquier poliedro convexo es homeomorfo a la bola tridimensional , por lo que su superficie es homeomorfa (y por lo tanto homotópicamente equivalente) a la esfera bidimensional , que tiene característica de Euler  2. Esto explica por qué la superficie de un poliedro convexo tiene característica de Euler 2.

Si M y N son dos espacios topológicos cualesquiera, entonces la característica de Euler de su unión disjunta es la suma de sus características de Euler, ya que la homología es aditiva bajo la unión disjunta:

${\displaystyle \chi (M\sqcup N)=\chi (M)+\chi (N).}$

De forma más general, si M y N son subespacios de un espacio mayor X , entonces también lo son su unión e intersección. En algunos casos, la característica de Euler obedece a una versión del principio de inclusión-exclusión :

${\displaystyle \chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (M\cap N).}$

Esto es cierto en los siguientes casos:

• si M y N son un par excisivo . En particular, si los interiores de M y N dentro de la unión aún cubren la unión. ^{[ 6 ]}
• Si X es un espacio localmente compacto y se utilizan características de Euler con soportes compactos , no se necesitan suposiciones sobre M o N.
• Si X es un espacio estratificado cuyos estratos son todos de dimensión par, el principio de inclusión-exclusión se cumple si M y N son uniones de estratos. Esto se aplica en particular si M y N son subvariedades de una variedad algebraica compleja . ^{[ 7 ]}

En general, el principio de inclusión-exclusión es falso. Un contraejemplo se da tomando X como la recta real , M un subconjunto que consta de un punto y N el complemento de M.

Si X es un complejo CW finito y A es un subcomplejo, entonces

${\displaystyle \chi (X)=\chi (A)+\chi (X/A)-1.}$

La fórmula podría escribirse de forma más concisa para la característica de Euler reducida: la suma alternada de rangos de grupos de homología reducidos.

Para dos n -variedades cerradas conectadas${\displaystyle M,N}$uno puede obtener un nuevo colector conectado${\displaystyle M\mathbin {\#} N}$a través de la operación de suma conectada . La característica de Euler está relacionada por la fórmula ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \chi (M\mathbin {\#} N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (S^{n}).}$

Además, la característica de Euler de cualquier espacio producto M × N es

${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).}$

Utilizando esto y la fórmula para espacios cociente, se obtiene

${\displaystyle {\hat {\chi }}(M\wedge N)={\hat {\chi }}(M)\cdot {\hat {\chi }}(N),}$

dónde${\displaystyle {\sombrero {\chi }}}$es la característica de Euler reducida, y${\displaystyle M\wedge N}$es el producto estrella .

Estas propiedades de suma y multiplicación también se encuentran en la cardinalidad de los conjuntos . De esta manera, la característica de Euler puede considerarse una generalización de la cardinalidad; véase.

De manera similar, para un espacio de recubrimiento de k hojas${\displaystyle {\tilde {M}}\to M,}$uno tiene

${\displaystyle \chi ({\tilde {M}})=k\cdot \chi (M).}$

De manera más general, para un espacio de recubrimiento ramificado , la característica de Euler del recubrimiento se puede calcular a partir de lo anterior, con un factor de corrección para los puntos de ramificación, lo que produce la fórmula de Riemann-Hurwitz .

La propiedad del producto se cumple de forma mucho más general, para fibras con ciertas condiciones.

Si${\displaystyle p\colon E\to B}$es una fibración con fibra F, con la base B conectada por caminos , y la fibración es orientable sobre un campo K, entonces la característica de Euler con coeficientes en el campo K satisface la propiedad del producto: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \chi (E)=\chi (F)\cdot \chi (B).}$

Esto incluye los espacios producto y los espacios recubridores como casos especiales, y puede demostrarse mediante la secuencia espectral de Serre en la homología de una fibración.

Para los haces de fibra, esto también puede entenderse en términos de un mapa de transferencia.${\displaystyle \tau \colon H_{*}(B)\to H_{*}(E)}$– tenga en cuenta que esto es un levantamiento y va "en la dirección equivocada" – cuya composición con el mapa de proyección${\displaystyle p_{*}\colon H_{*}(E)\to H_{*}(B)}$es la multiplicación por la clase de Euler de la fibra: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle p_{*}\circ \tau =\chi (F)\cdot 1.}$

La característica de Euler se puede calcular fácilmente para superficies generales encontrando una poligonización de la superficie (es decir, una descripción como un complejo CW ) y utilizando las definiciones anteriores.

Es común construir balones de fútbol uniendo pentágonos y hexágonos regulares, con tres caras que se encuentran en cada vértice. Si se utilizan pentágonos P y hexágonos H , entonces hay${\displaystyle F=P+H\ }$ rostros,${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}\left(5P+6H\right)}$ vértices y${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}\left(5P+6H\right)}$ bordes. La característica de Euler es, por lo tanto,

${\displaystyle V-E+F={\tfrac {1}{3}}\left(5P+6H\right)-{\tfrac {1}{2}}\left(5P+6H\right)+P+H={\tfrac {1}{6}}P.}$

Debido a que la esfera tiene característica de Euler  2, se deduce que${\displaystyle P=12}$. Es decir, un balón de fútbol construido de esta manera siempre tiene 12  pentágonos. El número de hexágonos puede ser cualquier entero no negativo excepto  1. ^{[ 11 ]} Este resultado es aplicable a los fullerenos y a los poliedros de Goldberg .

En concreto, los balones de fútbol suelen fabricarse con 12 paneles pentagonales y 20 hexagonales. El resultado es una geometría esférica de icosaedro truncado. Un ejemplo es el Adidas Telstar .

La esfera n -dimensional tiene grupos de homología singulares iguales a

${\displaystyle H_{k}(\mathrm {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&{\text{if }}k=0{\text{ or }}k=n,\\\{0\}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

Por lo tanto, tiene número de Betti  1 en dimensiones  0 y n , y todos los demás números de Betti son  0. Su característica de Euler es entonces χ = 1 + (−1) ⁿ ;  es decir,  0 si n es impar , o  2 si n es par .

El espacio proyectivo real n -dimensional es el cociente de la n- esfera por la aplicación antipodal . De ello se deduce que su característica de Euler es exactamente la mitad de la de la esfera correspondiente , es decir , 0 o 1.   

El toro n -dimensional es el espacio producto de n  círculos. Su característica de Euler es  0 por la propiedad del producto. De forma más general, cualquier variedad compacta paralelizable , incluyendo cualquier grupo de Lie compacto , tiene característica de Euler  0. ^{[ 12 ]}

La característica de Euler de cualquier variedad cerrada de dimensión impar también es  0. ^{[ 13 ]} El caso de los ejemplos orientables es un corolario de la dualidad de Poincaré . Esta propiedad se aplica de manera más general a cualquier espacio estratificado compacto cuyos estratos tengan todos dimensión impar. También se aplica a variedades cerradas de dimensión impar no orientables, a través del recubrimiento doble orientable de dos a uno .