Integración Lebesgue-Stieltjes

En el análisis de la teoría de la medida y ramas afines de las matemáticas , la integración de Lebesgue-Stieltjes generaliza tanto la integración de Riemann-Stieltjes como la de Lebesgue , conservando las numerosas ventajas de la primera en un marco de la teoría de la medida más general. La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral de Lebesgue ordinaria con respecto a una medida conocida como medida de Lebesgue-Stieltjes, que puede asociarse a cualquier función de variación acotada en la recta real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida de Borel regular , y, a la inversa, toda medida de Borel regular en la recta real es de este tipo.

Las integrales de Lebesgue-Stieltjes , que reciben su nombre de Henri Leon Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes , también se conocen como integrales de Lebesgue-Radon o simplemente integrales de Radon , en honor a Johann Radon , a quien se debe gran parte de la teoría. Suelen tener aplicaciones en probabilidad y procesos estocásticos , así como en ciertas ramas del análisis , incluida la teoría del potencial .

Definición

La integral de Lebesgue-Stieltjes

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

se define cuando $f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$ es Borel - medible y acotado y $g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$ es de variación acotada en $[a, b]$ y continua por la derecha, o cuando $f$ es no negativa y $g$ es monótona y continua por la derecha . Para empezar, supongamos que $f$ es no negativa y $g$ es monótona, no decreciente y continua por la derecha. Definimos $w$ $(($ $s$ $,$ $t$ $]) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ y $w$ $({$ $a$ $}) = 0$ . (Alternativamente, la construcción funciona para $g$ continua por la izquierda, $w$ $([$ $s$ $,$ $t$ $)) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ y $w$ $({$ $b$ $}) = 0$ .)

Según el teorema de extensión de Carathéodory , existe una medida de Borel única $μ g$ en $[a, b]$ que coincide con $w$ en cada intervalo $I$ . La medida $μ g$ surge de una medida exterior (de hecho, una medida exterior métrica ) dada por

{\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\

el ínfimo tomado sobre todas las cubiertas de $E$ por una cantidad numerable de intervalos semiabiertos. Esta medida a veces se llama ^{[ 1 ]} la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada con $g$ .

La integral de Lebesgue-Stieltjes

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

se define como la integral de Lebesgue de $f$ con respecto a la medida $μ$ $g$ de la forma habitual. Si $g$ no es creciente, entonces definimos

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),

Esta última integral se define mediante la construcción precedente.

Si $g$ es de variación acotada, entonces es posible escribir

g(x)=g_{1}(x)-g_{2}(x)

donde $g 1 (x) = V x a g$ es la variación total de $g$ en el intervalo $[a, x]$ , y $g 2 (x) = g 1 (x) - g (x)$ . Tanto $g 1$ como $g 2$ son monótonas no decrecientes.

Ahora bien, si $f$ es acotada, la integral de Lebesgue-Stieltjes de $f$ con respecto a $g$ se define por

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),

donde las dos últimas integrales están bien definidas por la construcción precedente.

Daniell integral

Un enfoque alternativo ( Hewitt y Stromberg 1965 ) consiste en definir la integral de Lebesgue-Stieltjes como la integral de Daniell que extiende la integral usual de Riemann-Stieltjes. Sea $g$ una función no decreciente continua por la derecha en $[a, b]$ , y definamos $I (f)$ como la integral de Riemann-Stieltjes.

I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

para todas las funciones continuas $f$ . El funcional $I$ define una medida de Radon en $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . Este funcional puede extenderse a la clase de todas las funciones no negativas estableciendo

{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\

Para las funciones medibles de Borel, se tiene

{\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),

y ambos lados de la identidad definen entonces la integral de Lebesgue-Stieltjes de $h$ . La medida exterior $μ g$ se define mediante

\mu _{g}(A):={\overline {I}}(\chi _{A})={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})

donde $χ A$ es la función indicadora de $A.$

Los integradores de variación acotada se tratan como se indicó anteriormente, descomponiéndolos en variaciones positivas y negativas.

Ejemplo

Supongamos que $γ$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $R$ $2$ es una curva rectificable en el plano y $ρ$ $:$ $R$ $2$ $\to [0, \infty)$ es medible de Borel. Entonces podemos definir la longitud de $γ$ con respecto a la métrica euclidiana ponderada por ρ como

\int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),

dónde $\ell (t)$ es la longitud de la restricción de $γ$ a $[a, t]$ . A esto a veces se le llama la $ρ$ -longitud de $γ$ . Esta noción es bastante útil para diversas aplicaciones: por ejemplo, en terreno fangoso la velocidad a la que una persona puede moverse puede depender de la profundidad del lodo. Si $ρ$ $($ $z$ $)$ denota el inverso de la velocidad de marcha en o cerca de $z$ , entonces la $ρ$ -longitud de $γ$ es el tiempo que tomaría recorrer $γ$ . El concepto de longitud extremal utiliza esta noción de la $ρ$ -longitud de curvas y es útil en el estudio de mapeos conformes .

Integración por partes

Se dice que una función $f$ es "regular" en un punto $a$ si existen los límites por la derecha y por la izquierda $f$ $($ $a$ $+)$ y $f$ $($ $a-$ $)$ , y la función toma en $a$ el valor promedio.

f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.

Dadas dos funciones $U$ y $V$ de variación finita, si en cada punto al menos una de $U$ o $V$ es continua o $U$ y $V$ son ambas regulares, entonces se cumple una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue-Stieltjes: ^{[ 2 ]}

\int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <a<b<\infty .

Aquí, las medidas de Lebesgue-Stieltjes relevantes están asociadas con las versiones continuas por la derecha de las funciones $U$ y $V$ ; es decir, ${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$ y de manera similar ${\tilde {V}}(x).$ El intervalo acotado $(a, b)$ puede sustituirse por un intervalo no acotado $(-\infty, b)$ , $(a, \infty)$ o $(-\infty, \infty),$ siempre que $U$ y $V$ tengan variación finita en dicho intervalo. También pueden utilizarse funciones de valores complejos.

Un resultado alternativo, de gran importancia en la teoría del cálculo estocástico, es el siguiente. Dadas dos funciones $U$ y $V$ de variación finita, ambas continuas por la derecha y con límites por la izquierda (son funciones càdlàg ), entonces

U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},

donde $Δ U t = U (t) - U (t -)$ . Este resultado puede considerarse un precursor del lema de Itô y resulta útil en la teoría general de la integración estocástica. El término final es $Δ U (t)Δ V (t) = d [U, V],$ que surge de la covariación cuadrática de $U$ y $V$ . (El resultado anterior puede entonces considerarse un resultado relacionado con la integral de Stratonovich ).

Conceptos relacionados

Integración de Lebesgue

Cuando $g (x) = x$ $para todo x$ real , entonces $μ g$ es la medida de Lebesgue , y la integral de Lebesgue-Stieltjes de $f$ con respecto a $g$ es equivalente a la integral de Lebesgue de $f$ .

Integración de Riemann-Stieltjes y teoría de la probabilidad

Donde $f$ es una función continua de valor real de una variable real y $v$ es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue-Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes , en cuyo caso a menudo escribimos

\int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)

para la integral de Lebesgue-Stieltjes, dejando implícita la medida $μ v$ . Esto es particularmente común en la teoría de la probabilidad cuando $v$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria de valor real $X$ , en cuyo caso

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].

( Para obtener más detalles sobre cómo abordar estos casos, consulte el artículo sobre la integración de Riemann-Stieltjes ).

Notas

↑ Halmos (1974), Sec. 15
↑ Hewitt, Edwin (mayo de 1960). "Integración por partes para integrales de Stieltjes". The American Mathematical Monthly . 67 (5): 419– 423. doi : 10.2307/2309287 . JSTOR 2309287 .

Véase también

Henstock-Kurzweil-Stiltjes Integral

Referencias

Halmos, Paul R. (1974), Teoría de la medida , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
Hewitt, Edwin ; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag.
Saks, Stanisław (1937) Teoría de la integral.
Shilov, GE y Gurevich, BL, 1978. Integral, medida y derivada: un enfoque unificado , traducción de Richard A. Silverman. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.

[1] Halmos (1974), Sec. 15

[2] Hewitt, Edwin (mayo de 1960). "Integración por partes para integrales de Stieltjes". The American Mathematical Monthly . 67 (5): 419– 423. doi : 10.2307/2309287 . JSTOR 2309287 .

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