Conjetura del cetrero

En la teoría de la medida geométrica , la conjetura de Falconer , llamada así por Kenneth Falconer , es un problema sin resolver que concierne a los conjuntos de distancias euclidianas entre puntos en espacios compactos de dimensión . Intuitivamente, establece que un conjunto de puntos que es grande en su dimensión de Hausdorff debe determinar un conjunto de distancias que es grande en medida . Más precisamente, si es un conjunto compacto de puntos en un espacio euclidiano de dimensión , cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente mayor que , entonces la conjetura establece que el conjunto de distancias entre pares de puntos en debe tener una medida de Lebesgue distinta de cero . ^[1]${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización d/2}$${\estilo de visualización S}$

Falconer (1985) demostró que los conjuntos de Borel con dimensión de Hausdorff mayor que tienen conjuntos de distancias con medida distinta de cero. ^[2] Motivó este resultado como una generalización multidimensional del teorema de Steinhaus , un resultado previo de Hugo Steinhaus que demuestra que cada conjunto de números reales con medida distinta de cero debe tener un conjunto de diferencias que contenga un intervalo de la forma para algún . ^[3] También puede verse como un análogo continuo del problema de distancias distintas de Erdős , que establece que los grandes conjuntos finitos de puntos deben tener un gran número de distancias distintas. ^[4]${\estilo de visualización (d+1)/2}$${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

Erdoğan (2005) demostró que los conjuntos compactos de puntos cuya dimensión de Hausdorff es mayor que tienen conjuntos de distancias con medida distinta de cero; para valores grandes de esto se aproxima al umbral de la dimensión de Hausdorff dado por la conjetura de Falconer. ^[5] Para puntos en el plano euclidiano , los conjuntos de Borel de dimensión de Hausdorff mayor que 5/4 (o con ) tienen conjuntos de distancias con medida distinta de cero y, más fuertemente, tienen un punto tal que la medida de Lebesgue de las distancias desde el conjunto hasta este punto es positiva. ^[6] Para el límite mejor conocido es según una preimpresión de Du, Ou, Ren y Zhang ^{[7] [8]}${\displaystyle {\frac {d}{2}}+{\frac {1}{3}}}$${\estilo de visualización d}$${\displaystyle {\frac {d}{2}}+{\frac {1}{4}}}$${\estilo de visualización d=2}$${\displaystyle d>3}$${\displaystyle {\frac {d}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8d+4}}}$

Una variante de la conjetura de Falconer establece que, para los puntos del plano, un conjunto compacto cuya dimensión de Hausdorff sea mayor o igual a uno debe tener un conjunto distanciador de dimensión de Hausdorff uno. Esto se desprende de los resultados sobre la medida para conjuntos de dimensión de Hausdorff mayor que 5/4. Para un conjunto plano compacto con dimensión de Hausdorff al menos uno, el conjunto distanciador debe tener dimensión de Hausdorff al menos 1/2. ^[9]

Demostrar una cota estrictamente mayor que 1/2 para la dimensión del conjunto de distancias en el caso de conjuntos planos compactos con dimensión de Hausdorff al menos uno equivaldría a resolver varias otras conjeturas sin resolver. Entre ellas se incluyen una conjetura de Paul Erdős sobre la existencia de subanillos de Borel de los números reales con dimensión fraccionaria de Hausdorff, y una variante del problema de conjuntos de Kakeya sobre la dimensión de Hausdorff de conjuntos tales que, para cada dirección posible, existe un segmento de línea cuya intersección con el conjunto tiene una dimensión de Hausdorff alta. ^[10] Estas conjeturas fueron resueltas por Bourgain.

Para funciones de distancia no euclidianas en el plano definido por normas poligonales, el análogo de la conjetura de Falconer es falso: existen conjuntos de dimensión de Hausdorff dos cuyos conjuntos de distancia tienen medida cero. ^{[11] [12]}