variedad Fano

En geometría algebraica , una variedad de Fano , introducida por Gino Fano ( Fano 1934 , 1942 ) , es una variedad algebraica que generaliza ciertos aspectos de las intersecciones completas de hipersuperficies algebraicas cuya suma de grados es, como máximo, igual a la dimensión total del espacio proyectivo ambiente . Dichas intersecciones completas tienen importantes aplicaciones en geometría y teoría de números , ya que suelen admitir puntos racionales , un caso elemental del cual es el teorema de Chevalley-Warning . Las variedades de Fano proporcionan una generalización abstracta de estos ejemplos básicos para los que las cuestiones de racionalidad a menudo siguen siendo tratables. 

Formalmente, una variedad de Fano es una variedad completa X cuyo fibrado anticanónico K _X ^* es amplio . En esta definición, se podría suponer que X es suave sobre un cuerpo, pero el programa del modelo mínimo también ha llevado al estudio de variedades de Fano con varios tipos de singularidades, como singularidades terminales o klt . Recientemente, se han aplicado técnicas de geometría diferencial al estudio de variedades de Fano sobre los números complejos , y se ha tenido éxito en la construcción de espacios de módulos de variedades de Fano y en la demostración de la existencia de métricas de Kähler-Einstein en ellas a través del estudio de la K-estabilidad de las variedades de Fano .

• El ejemplo fundamental de las variedades de Fano son los espacios proyectivos : el fibrado de líneas anticanónico de P ⁿ sobre un cuerpo k es O ( n +1), que es muy amplio (sobre los números complejos, su curvatura es n+1 veces la forma simpléctica de Fubini-Study ).
• Sea D una subvariedad suave de codimensión 1 en P ⁿ . La fórmula de adjunción implica que K _D = ( K _X + D )| _D = (−( n +1) H + deg( D ) H )| _D , donde H es la clase de un hiperplano. Por lo tanto, la hipersuperficie D es de Fano si y solo si deg( D ) < n +1.
• De manera más general, una intersección completa y suave de hipersuperficies en un espacio proyectivo n -dimensional es de Fano si y solo si la suma de sus grados es como máximo n .
• El espacio proyectivo ponderado P ( a ₀ ,..., a _n ) es una variedad de Fano singular ( klt ). Este es el esquema proyectivo asociado a un anillo de polinomios graduados cuyos generadores tienen grados a ₀ ,..., a _n . Si este está bien formado, en el sentido de que ningún n de los números a tiene un factor común mayor que 1, entonces cualquier intersección completa de hipersuperficies tal que la suma de sus grados sea menor que a ₀ +...+ a _n es una variedad de Fano.
• Toda variedad proyectiva de característica cero que sea homogénea bajo un grupo algebraico lineal es una variedad de Fano.

La existencia de algún fibrado lineal amplio en X es equivalente a que X sea una variedad proyectiva , por lo que una variedad de Fano siempre es proyectiva. Para una variedad de Fano X sobre los números complejos, el teorema de anulación de Kodaira implica que los grupos de cohomología de haces${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$de la estructura del haz desaparece para${\displaystyle j>0}$. En particular, el género Todd${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}})=\sum (-1)^{j}h^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$automáticamente es igual a 1. El${\displaystyle j=1,2}$Los casos de esta afirmación evanescente también nos dicen que la primera clase de Chern induce un isomorfismo.${\displaystyle c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$.

Según la solución de Yau a la conjetura de Calabi , una variedad compleja lisa admite métricas de Kähler de curvatura de Ricci positiva si y solo si es de Fano. Por lo tanto , el teorema de Myers nos dice que el recubrimiento universal de una variedad de Fano es compacto y, por lo tanto, solo puede ser un recubrimiento finito. Sin embargo, acabamos de ver que el género de Todd de una variedad de Fano debe ser igual a 1. Dado que esto también se aplicaría al recubrimiento universal de la variedad, y dado que el género de Todd es multiplicativo bajo recubrimientos finitos, se deduce que cualquier variedad de Fano es simplemente conexa .

Un hecho mucho más sencillo es que cada variedad de Fano tiene dimensión Kodaira −∞.

Campana y Kollár - Miyaoka - Mori demostraron que una variedad de Fano suave sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es racionalmente conexa por cadenas ; es decir, cualesquiera dos puntos cerrados pueden conectarse por una cadena de curvas racionales . ^{[ 1 ]} Kollár-Miyaoka-Mori también demostraron que las variedades de Fano suaves de una dimensión dada sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero forman una familia acotada, lo que significa que están clasificadas por los puntos de un número finito de variedades algebraicas. ^{[ 2 ]} En particular, solo hay un número finito de clases de deformación de variedades de Fano de cada dimensión. En este sentido, las variedades de Fano son mucho más especiales que otras clases de variedades como las variedades de tipo general .

La siguiente discusión trata sobre variedades de Fano suaves sobre los números complejos.

Una curva de Fano es isomorfa a la línea proyectiva .

Una superficie de Fano también se denomina superficie de del Pezzo . Toda superficie de del Pezzo es isomorfa a P ¹ × P ¹ o al plano proyectivo ampliado en como máximo ocho puntos, que deben estar en posición general. Como resultado, todas son racionales .

En dimensión 3, existen variedades de Fano complejas suaves que no son racionales, por ejemplo, variedades cúbicas de dimensión 3 en P ⁴ (por Clemens - Griffiths ) y variedades cuárticas de dimensión 3 en P ⁴ (por Iskovskikh - Manin ). Iskovskih ( 1977 , 1978 , 1979 ) clasificó las variedades de Fano suaves de dimensión 3 con segundo número de Betti 1 en 17 clases, y Mori & Mukai (1981) clasificaron las suaves con segundo número de Betti al menos 2, encontrando 88 clases de deformación. Un resumen detallado de la clasificación de las variedades de Fano suaves de dimensión 3 se da en Iskovskikh & Prokhorov (1999) . 

• Tabla periódica de formas: un proyecto para clasificar todas las variedades de Fano en tres, cuatro y cinco dimensiones.

• Fanografía : una herramienta para estudiar visualmente la clasificación de las variedades Fano tridimensionales.

• Fano, Gino (1934), "Sulle varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli", Proc. Internacional. Congreso de Matemáticos (Bolonia), 4, Zanichelli , págs . 115-119 
• Fano, Gino (1942), "Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve-sezioni canoniche" , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 202–211 , doi : 10.1007/BF02565618 , ISSN 0010-2571 , SEÑOR 0006445 , S2CID 123641847   
• Iskovskih, VA (1977), "Variedades de Fano tridimensionales. I", Math. USSR Izv. , 11 (3): 485– 527, doi : 10.1070/IM1977v011n03ABEH001733 , ISSN 0373-2436 , MR 0463151  
• Iskovskih, VA (1978), "Fano 3-folds II", Math. USSR Izv. , 12 (3): 469– 506, Bibcode : 1978IzMat..12..469I , doi : 10.1070/im1978v012n03abeh001994 , MR 0463151 
• Iskovskih, VA (1979), "Modelos anticanónicos de variedades algebraicas tridimensionales" , Problemas actuales en matemáticas, vol. 12 (en ruso) , VINITI, Moscú, págs. 59–157 , MR 0537685  
  • Iskovskikh, VA (1980). "Modelos anticanónicos de variedades algebraicas tridimensionales" . Journal of Soviet Mathematics . 13 (6): 745– 814. doi : 10.1007/BF01084563 . S2CID 119602399 . 
• Iskovskikh, VA; Prokhorov, Yu. G. (1999), "Variedades de Fano", en AN Parshin; IR Shafarevich (eds.), Geometría algebraica, V. Encyclopedia Math. Sci., 47 , Springer-Verlag , pp. 1– 247, ISBN  3-540-61468-0, MR 1668579 
• Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180 
• Kulikov, Vik.S. (2001) [1994], "Variedad Fano" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Mori, Shigefumi ; Mukai, Shigeru (1981), "Clasificación de variedades de Fano de dimensión 3 con B ₂ ≥2", Manuscripta Mathematica , 36 (2): 147–162 , doi : 10.1007/BF01170131 , ISSN 0025-2611 , MR 0641971 , S2CID 189831516   
• Mori, Shigefumi; Mukai, Shigeru (2003), "Errata:" Clasificación de Fano triple con B ₂ ≥2 "", Manuscripta Mathematica , 110 (3): 407, doi : 10.1007/s00229-002-0336-2 , ISSN 0025-2611 , MR 1969009 , S2CID 121266346