Conjetura de Farrell-Jones

En matemáticas, la conjetura de Farrell-Jones , ^{[ 1 ]} llamada así por F. Thomas Farrell y Lowell E. Jones , afirma que ciertos mapas de ensamblaje son isomorfismos . Estos mapas se dan como ciertos homomorfismos .

La motivación reside en el interés por el objetivo de los mapas de ensamblaje; este puede ser, por ejemplo, la K-teoría algebraica de un anillo de grupo.

${\displaystyle K_{n}(RG)}$

o la teoría L de un anillo de grupo

${\displaystyle L_{n}(RG),}$

donde G es algún grupo .

Las fuentes de los mapas de ensamblaje son la teoría de homología equivariante evaluada en el espacio clasificador de G con respecto a la familia de subgrupos virtualmente cíclicos de G. Por lo tanto, suponiendo que la conjetura de Farrell-Jones sea cierta, es posible restringir los cálculos a subgrupos virtualmente cíclicos para obtener información sobre objetos complicados como${\displaystyle K_{n}(RG)}$o${\displaystyle L_{n}(RG)}$.

La conjetura de Baum-Connes formula una afirmación similar, para la K-teoría topológica de grupos reducidos.${\displaystyle C^{*}}$-álgebras${\displaystyle K_{n}^{top}(C_{*}^{r}(G))}$.

Se puede encontrar para cualquier anillo${\displaystyle R}$teorías de homología equivariante${\displaystyle KR_{*}^{?},LR_{*}^{?}}$satisfactorio

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\{\cdot \})\cong K_{n}(R[G])}$respectivamente${\displaystyle LR_{n}^{G}(\{\cdot \})\cong L_{n}(R[G]).}$

Aquí${\displaystyle R[G]}$denota el anillo del grupo .

La conjetura de Farrell-Jones en teoría K para un grupo G establece que el mapa${\displaystyle p:E_{VCYC}(G)\rightarrow \{\cdot \}}$induce un isomorfismo en la homología

${\displaystyle KR_{*}^{G}(p):KR_{*}^{G}(E_{VCYC}(G))\rightarrow KR_{*}^{G}(\{\cdot \})\cong K_{*}(R[G]).}$

Aquí${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$denota el espacio de clasificación del grupo G con respecto a la familia de subgrupos virtualmente cíclicos, es decir, un complejo G -CW cuyos grupos de isotropía son virtualmente cíclicos y para cualquier subgrupo virtualmente cíclico de G el conjunto de puntos fijos es contraíble .

La conjetura de Farrell-Jones basada en la teoría L es análoga.

El cálculo de los K-grupos algebraicos y los L-grupos de un anillo de grupo${\displaystyle R[G]}$está motivado por obstrucciones que viven en esos grupos (véase, por ejemplo, la obstrucción de finitud de Wall , la obstrucción quirúrgica , la torsión de Whitehead ). Así pues, supongamos que un grupo${\displaystyle G}$satisface la conjetura de Farrell-Jones para la K-teoría algebraica. Supongamos además que ya hemos encontrado un modelo.${\displaystyle X}$para el espacio de clasificación de subgrupos virtualmente cíclicos:

${\displaystyle \emptyset =X^{-1}\subset X^{0}\subset X^{1}\subset \ldots \subset X}$

Elegir${\displaystyle G}$-empujes y aplicarles la secuencia de Mayer-Vietoris :

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$${\displaystyle \rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

Esta secuencia se simplifica a:

${\displaystyle \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(R[H_{j}])\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(RH_{j})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$${\displaystyle \rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-2}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

Esto significa que si algún grupo satisface una cierta conjetura de isomorfismo, se puede calcular su K-teoría algebraica (L-teoría) solo conociendo la K-teoría algebraica (L-teoría) de grupos virtualmente cíclicos y conociendo un modelo adecuado para${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$.

La clase de grupos que satisface la conjetura fibrada de Farrell-Jones contiene los siguientes grupos.

• grupos virtualmente cíclicos (definición)
• grupos hiperbólicos (véase ^{[ 2 ]} )
• Grupos CAT(0) (ver ^{[ 3 ]} )
• grupos resolubles (véase ^{[ 4 ]} )
• grupos de clases de mapeo (ver ^{[ 5 ]} )

Además, la clase tiene las siguientes propiedades de herencia:

• Cerrado bajo productos finitos de grupos.
• Cerrado bajo la toma de subgrupos.

Fijar una teoría de homología equivariante${\displaystyle H_{*}^{?}}$Se podría decir que un grupo G satisface la conjetura de isomorfismo para una familia de subgrupos.${\displaystyle F}$, si y solo si el mapa inducido por la proyección${\displaystyle E_{F}(G)\rightarrow \{\cdot \}}$induce un isomorfismo en la homología:

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{F}(G))\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \})}$

El grupo G satisface la conjetura de isomorfismo fibrado para la familia de subgrupos F si y solo si para cualquier homomorfismo de grupos${\displaystyle \alpha :H\rightarrow G}$El grupo H satisface la conjetura de isomorfismo para la familia

${\displaystyle \alpha ^{*}F:=\{H'\leq H|\alpha (H)\in F\}}$.

Uno se da cuenta inmediatamente de que en esta situación${\displaystyle H}$también satisface la conjetura de isomorfismo fibrado para la familia${\displaystyle \alpha ^{*}F}$.