Topología de circuitos (eléctricos)

La teoría de grafos se ha utilizado en el análisis de redes lineales pasivas casi desde el momento en que se formularon las leyes de Kirchhoff. El propio Gustav Kirchhoff , en 1847, utilizó grafos como representación abstracta de una red en su análisis de bucles de circuitos resistivos. ^{[ 14 ]} Este enfoque se generalizó posteriormente a circuitos RLC, reemplazando las resistencias por impedancias. En 1873, James Clerk Maxwell proporcionó el dual de este análisis con el análisis de nodos. ^{[ 15 ] [ 16 ]} Maxwell también es responsable del teorema topológico que establece que el determinante de la matriz de admitancia de nodos es igual a la suma de todos los productos de admitancia de árboles. En 1900, Henri Poincaré introdujo la idea de representar un grafo mediante su matriz de incidencia , ^{[ 17 ]} fundando así el campo de la topología algebraica . En 1916, Oswald Veblen aplicó la topología algebraica de Poincaré al análisis de Kirchhoff. ^{[ 18 ]} Veblen también es responsable de la introducción del árbol de expansión para ayudar a elegir un conjunto compatible de variables de red. ^{[ 19 ]}

La catalogación exhaustiva de grafos de red aplicados a circuitos eléctricos comenzó con Percy MacMahon en 1891 (con un artículo divulgativo para ingenieros en The Electrician en 1892), quien limitó su estudio a combinaciones en serie y en paralelo. MacMahon denominó a estos grafos cadenas de yugo. ^{[ nota 1 ]} Ronald M. Foster, en 1932, clasificó los grafos según su nulidad o rango y proporcionó diagramas de todos aquellos con un número reducido de nodos. Este trabajo surgió de un estudio anterior realizado por Foster en colaboración con George Campbell en 1920 sobre repetidores telefónicos de cuatro puertos y produjo 83.539 grafos distintos. ^{[ 20 ]}

Durante mucho tiempo, la topología en la teoría de circuitos eléctricos se centró únicamente en redes pasivas lineales. Los desarrollos más recientes de dispositivos y circuitos semiconductores han requerido nuevas herramientas topológicas para abordarlos. El enorme aumento en la complejidad de los circuitos ha llevado al uso de la combinatoria en la teoría de grafos para mejorar la eficiencia del cálculo computacional. ^{[ 19 ]}

Las redes se clasifican comúnmente según el tipo de elementos eléctricos que las componen. En un diagrama de circuito, estos tipos de elementos se representan específicamente, cada uno con su propio símbolo. Las redes resistivas son redes de un solo tipo de elemento, compuestas únicamente por elementos R. Del mismo modo, las redes capacitivas o inductivas son de un solo tipo de elemento. Los circuitos RC , RL y LC son redes simples de dos tipos de elementos. El circuito RLC es la red más simple de tres tipos de elementos. La red en escalera LC , comúnmente utilizada para filtros de paso bajo, puede tener muchos elementos, pero es otro ejemplo de una red de dos tipos de elementos. ^{[ 21 ]}

Por el contrario, la topología se ocupa únicamente de la relación geométrica entre los elementos de una red, no del tipo de elementos en sí. El núcleo de una representación topológica de una red es el grafo de la red. Los elementos se representan como las aristas del grafo. Una arista se dibuja como una línea que termina en puntos o pequeños círculos de los que pueden emanar otras aristas (elementos). En el análisis de circuitos, las aristas del grafo se denominan ramas . Los puntos se denominan vértices del grafo y representan los nodos de la red. Los términos nodo y vértice pueden utilizarse indistintamente al hablar de grafos de redes. La figura 2.2 muestra una representación gráfica del circuito de la figura 2.1. ^{[ 22 ]}

Los grafos utilizados en el análisis de redes suelen ser, además, grafos dirigidos , para capturar la dirección del flujo de corriente y voltaje, y grafos etiquetados , para capturar la unicidad de las ramas y los nodos. Por ejemplo, un grafo formado por un cuadrado de ramas seguiría siendo el mismo grafo topológico si se intercambiaran dos ramas, a menos que estas estuvieran etiquetadas de forma única. En los grafos dirigidos, los dos nodos a los que se conecta una rama se denominan nodo de origen y nodo de destino. Normalmente, estos se indican mediante una flecha dibujada en la rama. ^{[ 23 ]}

La incidencia es una de las propiedades básicas de un grafo. Una arista conectada a un vértice se denomina incidente sobre ese vértice. La incidencia de un grafo se puede representar mediante una matriz llamada matriz de incidencia. De hecho, la matriz de incidencia es una representación matemática alternativa del grafo que prescinde de cualquier tipo de dibujo. Las filas de la matriz corresponden a los nodos y las columnas a las ramas. Los elementos de la matriz son cero, si no hay incidencia, o uno, si hay incidencia entre el nodo y la rama. La dirección en los grafos dirigidos se indica mediante el signo del elemento. ^{[ 19 ] [ 24 ]}

Dos grafos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante deformación. La deformación puede incluir operaciones de traslación , rotación y reflexión ; flexión y estiramiento de las ramas; y cruce o nudo de las ramas. Dos grafos que son equivalentes mediante deformación se denominan congruentes . ^{[ 25 ]}

En el campo de las redes eléctricas, se consideran dos transformaciones adicionales que dan como resultado grafos equivalentes que no producen grafos congruentes. La primera es el intercambio de ramas conectadas en serie. Esta es la dual del intercambio de ramas conectadas en paralelo, que se puede lograr mediante deformación sin necesidad de una regla especial. La segunda se refiere a grafos divididos en dos o más partes separadas , es decir, un grafo con dos conjuntos de nodos que no tienen ramas incidentes a un nodo en cada conjunto. Dos de estas partes separadas se consideran un grafo equivalente a uno donde las partes se unen combinando un nodo de cada una en un solo nodo. De igual manera, un grafo que se puede dividir en dos partes separadas dividiendo un nodo en dos también se considera equivalente. ^{[ 26 ]}

Un árbol es un grafo en el que todos los nodos están conectados, ya sea directa o indirectamente, por ramas, pero sin formar bucles cerrados. Dado que no hay bucles cerrados, no hay corrientes en un árbol. En el análisis de redes, nos interesan los árboles de expansión , es decir, los árboles que conectan todos los nodos del grafo de la red. En este artículo, por árbol de expansión se entiende un árbol sin calificar , a menos que se indique lo contrario. Un grafo de red dado puede contener varios árboles diferentes. Las ramas que se eliminan de un grafo para formar un árbol se llaman enlaces ; las ramas que permanecen en el árbol se llaman ramitas . Para un grafo con n nodos, el número de ramas en cada árbol, t , debe ser:

${\displaystyle t=n-1\ }$

Una relación importante para el análisis de circuitos es:

${\displaystyle b=\ell +t\ }$

donde b es el número de ramas en el grafo y ℓ es el número de enlaces eliminados para formar el árbol. ^{[ 27 ]}

El objetivo del análisis de circuitos es determinar todas las corrientes y tensiones de rama en la red. Estas variables de red no son todas independientes. Las tensiones de rama están relacionadas con las corrientes de rama mediante la función de transferencia de los elementos que las componen. Por lo tanto, una solución completa de la red puede expresarse únicamente en términos de corrientes de rama o solo en términos de tensiones de rama. Tampoco son todas las corrientes de rama independientes entre sí. El número mínimo de corrientes de rama requerido para una solución completa es l . Esto se debe a que se eliminan l enlaces de un árbol y, por consiguiente, no puede haber corrientes en él. Dado que las ramas restantes del árbol tienen corriente cero, no pueden ser independientes de las corrientes de los enlaces. Las corrientes de rama elegidas como conjunto de variables independientes deben ser un conjunto asociado a los enlaces del árbol: no se pueden elegir l ramas arbitrariamente. ^{[ 28 ]}

En términos de voltajes de rama, se puede obtener una solución completa de la red con t voltajes de rama. Esto es consecuencia del hecho de que cortocircuitar todas las ramas de un árbol resulta en un voltaje cero en todas partes. Por lo tanto, los voltajes de enlace no pueden ser independientes de los voltajes de rama del árbol. ^{[ 29 ]}

Un enfoque de análisis común consiste en calcular las corrientes de bucle en lugar de las corrientes de rama. Las corrientes de rama se obtienen entonces en función de las corrientes de bucle. Nuevamente, el conjunto de corrientes de bucle no puede elegirse arbitrariamente. Para garantizar un conjunto de variables independientes, las corrientes de bucle deben ser aquellas asociadas con un conjunto determinado de bucles. Este conjunto de bucles consiste en aquellos bucles formados al reemplazar un solo enlace de un árbol dado del grafo del circuito que se va a analizar. Dado que reemplazar un solo enlace en un árbol forma exactamente un bucle único, el número de corrientes de bucle así definidas es igual a l . El término bucle en este contexto no es el mismo que el significado habitual de bucle en la teoría de grafos. El conjunto de ramas que forman un bucle dado se denomina conjunto de enlaces . ^{[ nota 2 ]} El conjunto de ecuaciones de red se forma igualando las corrientes de bucle a la suma algebraica de las corrientes de rama del conjunto de enlaces. ^{[ 30 ]}

Es posible elegir un conjunto de corrientes de bucle independientes sin referencia a los árboles y conjuntos de enlaces. Una condición suficiente, pero no necesaria, para elegir un conjunto de bucles independientes es asegurar que cada bucle elegido incluya al menos una rama que no haya sido incluida previamente por bucles ya elegidos. Una elección particularmente sencilla es la utilizada en el análisis de mallas , en la que todos los bucles se eligen como mallas. ^{[ nota 3 ]} El análisis de mallas solo se puede aplicar si es posible mapear el grafo en un plano o una esfera sin que ninguna de las ramas se cruce. Dichos grafos se denominan grafos planares . La capacidad de mapear en un plano o una esfera son condiciones equivalentes. Cualquier grafo finito mapeado en un plano se puede reducir hasta que se mapee en una pequeña región de una esfera. Por el contrario, una malla de cualquier grafo mapeado en una esfera se puede estirar hasta que el espacio dentro de ella ocupe casi toda la esfera. El grafo completo entonces ocupa solo una pequeña región de la esfera. Esto es lo mismo que el primer caso, por lo tanto, el grafo también se mapeará en un plano. ^{[ 31 ]}

Existe un método para elegir variables de red con voltajes que es análogo y dual al método de corriente de bucle. Aquí, el voltaje asociado a pares de nodos son las variables primarias y los voltajes de rama se calculan en función de ellas. En este método también, se debe elegir un árbol particular del grafo para asegurar que todas las variables sean independientes. El dual del conjunto de enlaces es el conjunto de corte . Un conjunto de enlaces se forma permitiendo que todos los enlaces del grafo, excepto uno, estén en circuito abierto. Un conjunto de corte se forma permitiendo que todas las ramas del árbol, excepto una, estén en cortocircuito. El conjunto de corte consta de la rama del árbol que no fue cortocircuitada y cualquiera de los enlaces que no son cortocircuitados por las otras ramas del árbol. Un conjunto de corte de un grafo produce dos subgrafos disjuntos , es decir, corta el grafo en dos partes, y es el conjunto mínimo de ramas necesario para hacerlo. El conjunto de ecuaciones de red se forma igualando los voltajes de los pares de nodos a la suma algebraica de los voltajes de rama del conjunto de corte. ^{[ 32 ]} El dual del caso especial del análisis de mallas es el análisis nodal . ^{[ 33 ]}

La nulidad, N , de un grafo con s partes separadas y b ramas se define por:

${\displaystyle N=b-n+s\ }$

La nulidad de un grafo representa el número de grados de libertad de su conjunto de ecuaciones de red. Para un grafo planar, la nulidad es igual al número de mallas en el grafo. ^{[ 34 ]}

El rango, R, de un grafo se define por:

${\displaystyle R=ns\ }$

El rango desempeña el mismo papel en el análisis nodal que la nulidad en el análisis de mallas. Es decir, proporciona el número de ecuaciones de voltaje nodal necesarias. El rango y la nulidad son conceptos duales y se relacionan mediante: ^{[ 35 ]}

${\displaystyle R+N=b\ }$

Una vez elegido un conjunto de variables geométricamente independientes, el estado de la red se expresa en función de estas. El resultado es un conjunto de ecuaciones lineales independientes que deben resolverse simultáneamente para hallar los valores de las variables de la red. Este conjunto de ecuaciones puede expresarse en formato matricial, lo que da lugar a una matriz de parámetros característica de la red. Las matrices de parámetros adoptan la forma de una matriz de impedancia si las ecuaciones se han formulado mediante un análisis de mallas, o de una matriz de admitancia si se han formulado mediante un análisis de nodos. ^{[ 36 ]}

Estas ecuaciones pueden resolverse de varias maneras bien conocidas. Un método es la eliminación sistemática de variables . ^{[ 37 ]} Otro método implica el uso de determinantes . Este método se conoce como la regla de Cramer y proporciona una expresión directa para la variable desconocida en términos de determinantes. Esto resulta útil porque proporciona una expresión compacta para la solución. Sin embargo, para redes que no sean las más triviales, este método requiere un mayor esfuerzo de cálculo cuando se trabaja manualmente. ^{[ 38 ]}

Dos grafos son duales cuando la relación entre ramas y pares de nodos en uno es la misma que la relación entre ramas y bucles en el otro. El dual de un grafo se puede encontrar completamente mediante un método gráfico . ^{[ 39 ]}

El dual de un grafo es otro grafo. Para un árbol dado en un grafo, el conjunto complementario de ramas (es decir, las ramas que no están en el árbol) forman un árbol en el grafo dual. El conjunto de ecuaciones de bucles de corriente asociadas con los conjuntos de enlaces del grafo y árbol originales es idéntico al conjunto de ecuaciones de pares de nodos de voltaje asociadas con los conjuntos de corte del grafo dual. ^{[ 40 ]}

La siguiente tabla enumera conceptos duales en topología relacionados con la teoría de circuitos. ^{[ 41 ]}

El dual de un árbol a veces se denomina laberinto . ^{[ nota 4 ]} Consiste en espacios conectados por enlaces del mismo modo que el árbol consta de nodos conectados por ramas. ^{[ 42 ]}

No se pueden formar duales para todos los grafos. La dualidad requiere que cada conjunto de enlaces tenga un conjunto de corte dual en el grafo dual. Esta condición se cumple si y solo si el grafo se puede mapear a una esfera sin que ninguna rama se cruce. Para ver esto, observe que se requiere un conjunto de enlaces para "unir" un grafo en dos partes y su dual, el conjunto de corte, se requiere para dividir un grafo en dos partes. El grafo de una red finita que no se mapea a una esfera requerirá un toro n -ésimo . Un conjunto de enlaces que pasa por un agujero en un toro no logrará unir el grafo en dos partes. En consecuencia, el grafo dual no se dividirá en dos partes y no contendrá el conjunto de corte requerido. Por lo tanto, solo los grafos planares tienen duales. ^{[ 43 ]}

Tampoco se pueden formar duales para redes que contengan inductancias mutuas, ya que no existe un elemento capacitivo correspondiente. Se pueden desarrollar circuitos equivalentes que sí tengan duales, pero el dual no se puede formar directamente a partir de una inductancia mutua. ^{[ 44 ]}

Las operaciones sobre un conjunto de ecuaciones de red tienen un significado topológico que puede ayudar a visualizar lo que está sucediendo. La eliminación del voltaje de un nodo de un conjunto de ecuaciones de red corresponde topológicamente a la eliminación de ese nodo del grafo. Para un nodo conectado a otros tres nodos, esto corresponde a la conocida transformación Y-Δ . La transformación puede extenderse a un mayor número de nodos conectados y entonces se conoce como la transformación de malla estrellada . ^{[ 45 ]}

La inversa de esta transformación es la transformación Δ-Y, que corresponde analíticamente a la eliminación de una corriente de malla y topológicamente a la eliminación de una malla. Sin embargo, la eliminación de una corriente de malla cuya malla tiene ramas en común con un número arbitrario de otras mallas no dará como resultado, en general, un grafo realizable. Esto se debe a que el grafo de la transformación de la estrella general es un grafo que no se mapea sobre una esfera (contiene polígonos estrellados y, por lo tanto, múltiples cruces). El dual de dicho grafo no puede existir, pero es el grafo necesario para representar una eliminación de malla generalizada. ^{[ 45 ]}

En la representación gráfica convencional de circuitos, no existe una forma de representar explícitamente los acoplamientos inductivos mutuos, como los que se producen en un transformador , y dichos componentes pueden dar lugar a un gráfico desconectado con más de una parte separada. Para facilitar el análisis, un gráfico con múltiples partes puede combinarse en un único gráfico unificando un nodo de cada parte en un solo nodo. Esto no afecta al comportamiento teórico del circuito, por lo que el análisis realizado sigue siendo válido. Sin embargo, en la práctica, implementar un circuito de esta manera supondría una diferencia, ya que destruiría el aislamiento entre las partes. Un ejemplo sería un transformador conectado a tierra tanto en el lado primario como en el secundario. El transformador sigue funcionando como tal con la misma relación de tensión, pero ya no puede utilizarse como transformador de aislamiento . ^{[ 46 ]}

Las técnicas más recientes en teoría de grafos permiten abordar los componentes activos, que también resultan problemáticos en la teoría convencional. Estas nuevas técnicas también permiten abordar los acoplamientos mutuos. ^{[ 47 ]}

Existen dos enfoques básicos para abordar los acoplamientos mutuos y los componentes activos. En el primero de ellos, Samuel Jefferson Mason introdujo en 1953 los grafos de flujo de señales . ^{[ 48 ]} Los grafos de flujo de señales son grafos dirigidos ponderados. Los utilizó para analizar circuitos que contienen acoplamientos mutuos y redes activas. El peso de una arista dirigida en estos grafos representa una ganancia, como la que posee un amplificador. En general, los grafos de flujo de señales, a diferencia de los grafos dirigidos regulares descritos anteriormente, no se corresponden con la topología de la disposición física de los componentes. ^{[ 47 ]}

El segundo enfoque consiste en extender el método clásico para que incluya acoplamientos mutuos y componentes activos. Se han propuesto varios métodos para lograrlo. En uno de ellos, se construyen dos grafos: uno que representa las corrientes en el circuito y otro que representa las tensiones. Los componentes pasivos tendrán ramas idénticas en ambos árboles, pero los componentes activos podrían no tenerlas. El método se basa en la identificación de árboles de expansión comunes a ambos grafos. Chen propuso en 1965 un método alternativo para extender el enfoque clásico que requiere solo un grafo. ^{[ nota 5 ]} El método de Chen se basa en un árbol con raíz . ^{[ 47 ]}

Hipergrafos

Otra forma de extender la teoría clásica de grafos para componentes activos es mediante el uso de hipergrafos . Algunos componentes electrónicos no se representan de forma natural mediante grafos. El transistor tiene tres puntos de conexión, pero una rama de grafo normal solo puede conectarse a dos nodos. Los circuitos integrados modernos tienen muchas más conexiones. Este problema se puede solucionar utilizando hipergrafos en lugar de grafos regulares. ^{[ 49 ]}

En una representación convencional, los componentes se representan mediante aristas, cada una de las cuales conecta con dos nodos. En un hipergrafo, los componentes se representan mediante hiperaristas que pueden conectar con un número arbitrario de nodos. Las hiperaristas tienen tentáculos que las conectan con los nodos. La representación gráfica de una hiperarista puede ser un recuadro (en comparación con la arista, que es una línea) y las representaciones de sus tentáculos son líneas que van desde el recuadro hasta los nodos conectados. En un hipergrafo dirigido, los tentáculos llevan etiquetas determinadas por la etiqueta de la hiperarista. Un grafo dirigido convencional puede considerarse como un hipergrafo con hiperaristas, cada una de las cuales tiene dos tentáculos. Estos dos tentáculos se denominan origen y destino y generalmente se indican con una flecha. En un hipergrafo general con más tentáculos, se requerirá un etiquetado más complejo. ^{[ 50 ]}

Los hipergrafos se pueden caracterizar mediante sus matrices de incidencia. Un grafo regular que contiene solo componentes de dos terminales tendrá exactamente dos entradas distintas de cero en cada fila. Cualquier matriz de incidencia con más de dos entradas distintas de cero en cualquier fila representa un hipergrafo. El número de entradas distintas de cero en una fila es el rango de la rama correspondiente, y el rango más alto de la rama es el rango de la matriz de incidencia. ^{[ 51 ]}

El análisis de redes clásico desarrolla un conjunto de ecuaciones de red cuyas variables son homogéneas en corriente (análisis de bucles) o en voltaje (análisis de nodos). El conjunto de variables así encontrado no es necesariamente el mínimo necesario para formar un conjunto de ecuaciones independientes. Puede haber una diferencia entre el número de variables en un análisis de bucles y un análisis de nodos. En algunos casos, el número mínimo posible puede ser menor que cualquiera de estos si se relaja el requisito de homogeneidad y se permite una mezcla de variables de corriente y voltaje. Un resultado de Kishi y Katajini en 1967 ^{[ nota 6 ]} es que el número mínimo absoluto de variables requerido para describir el comportamiento de la red viene dado por la distancia máxima ^{[ nota 7 ]} entre dos bosques de expansión cualesquiera ^{[ nota 8 ]} del grafo de la red. ^{[ 47 ]}

La teoría de grafos se puede aplicar a la síntesis de redes . La síntesis de redes clásica realiza la red requerida en una de varias formas canónicas . Ejemplos de formas canónicas son la realización de una impedancia de punto de excitación mediante la red en escalera canónica de Cauer o la forma canónica de Foster, o la realización de una admitancia de Brune a partir de sus funciones reales positivas . Los métodos topológicos, por otro lado, no parten de una forma canónica dada. Más bien, la forma es el resultado de la representación matemática. Algunas formas canónicas requieren inductancias mutuas para su realización. Un objetivo principal de los métodos topológicos de síntesis de redes ha sido eliminar la necesidad de estas inductancias mutuas. Un teorema derivado de la topología establece que una realización de una impedancia de punto de excitación sin acoplamientos mutuos es mínima si y solo si no hay bucles de inductores o de condensadores. ^{[ 52 ]}

La teoría de grafos es más potente en la síntesis de redes cuando los elementos de la red pueden representarse mediante números reales (redes de un solo tipo de elemento, como las redes resistivas) o estados binarios (como las redes de conmutación). ^{[ 47 ]}

Quizás la primera red con un grafo infinito que se estudió fue la red en escalera utilizada para representar líneas de transmisión , desarrollada, en su forma final, por Oliver Heaviside en 1881. Ciertamente, todos los primeros estudios de redes infinitas se limitaron a estructuras periódicas como escaleras o cuadrículas con los mismos elementos repetidos una y otra vez. No fue hasta finales del siglo XX que se dispuso de herramientas para analizar redes infinitas con una topología arbitraria. ^{[ 53 ]}

Las redes infinitas son en gran medida de interés solo teórico y constituyen un pasatiempo para los matemáticos. Las redes infinitas que no están sujetas a restricciones del mundo real pueden presentar propiedades muy poco físicas. Por ejemplo, las leyes de Kirchhoff pueden fallar en algunos casos, y se pueden definir escaleras de resistencias infinitas con una impedancia de punto de excitación que depende de la terminación en el infinito. Otra propiedad poco física de las redes infinitas teóricas es que, en general, disiparán potencia infinita a menos que se les impongan restricciones adicionales a las leyes de red habituales, como las leyes de Ohm y Kirchhoff. Sin embargo, existen algunas aplicaciones prácticas. El ejemplo de la línea de transmisión pertenece a una clase de problemas prácticos que pueden modelarse mediante elementos infinitesimales (el modelo de elementos distribuidos ). Otros ejemplos son la transmisión de ondas a un medio continuo, los problemas de campos de borde y la medición de la resistencia entre puntos de un sustrato o en un pozo. ^{[ 54 ]}

Las redes transfinitas extienden aún más la idea de redes infinitas. Un nodo en un extremo de una red infinita puede tener otra rama conectada a él que conduce a otra red. Esta nueva red puede ser, a su vez, infinita. Por lo tanto, se pueden construir topologías que tengan pares de nodos sin un camino finito entre ellos. Estas redes de redes infinitas se denominan redes transfinitas. ^{[ 55 ]}