Cardenal inaccesible

En teoría de conjuntos , un número cardinal es un cardinal fuertemente inaccesible si es incontable , regular y un cardinal límite fuerte . Un cardinal es un cardinal débilmente inaccesible si es incontable, regular y un cardinal límite débil .

Desde aproximadamente 1950, "cardinal inaccesible" ha significado típicamente "cardinal fuertemente inaccesible", mientras que antes significaba "cardinal débilmente inaccesible". Los cardinales débilmente inaccesibles fueron introducidos por Hausdorff (1908) . Los cardinales fuertemente inaccesibles fueron introducidos por Sierpiński y Tarski (1930) y Zermelo (1930) ; en este último se hacía referencia a ellos junto con${\displaystyle \aleph _{0}}$como Grenzzahlen ( " números límite"). ^{[ 1 ]}

Todo cardinal fuertemente inaccesible es también un cardinal débilmente inaccesible. La hipótesis del continuo generalizado implica que todos los cardinales débilmente inaccesibles son también fuertemente inaccesibles.

Las dos nociones de un cardinal inaccesible${\displaystyle \kappa }$describir una cardinalidad${\displaystyle \kappa }$que no se puede obtener como la cardinalidad de un resultado de operaciones típicas de teoría de conjuntos que involucran solo conjuntos de cardinalidad menor que${\displaystyle \kappa }$De ahí la palabra "inaccesible". Al exigir que los cardinales inaccesibles sean incontables, resultan ser muy grandes.

En particular, no es necesario que existan cardinales inaccesibles. Es decir, se cree que existen modelos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , incluso con el axioma de elección (ZFC), para los cuales no existen cardinales inaccesibles. ^{[ 2 ]} Por otro lado, también se cree que existen modelos de ZFC para los cuales sí existen cardinales fuertemente inaccesibles . El hecho de que ZFC pueda acomodar estos conjuntos grandes, pero no los requiera, proporciona una introducción a los axiomas de cardinales grandes . Véase también Modelos y consistencia .

La existencia de un cardinal fuertemente inaccesible es equivalente a la existencia de un universo de Grothendieck . Si${\displaystyle \kappa }$es un cardinal fuertemente inaccesible entonces la etapa de von Neumann${\displaystyle V_{\kappa }}$es un universo de Grothendieck. Por el contrario, si${\displaystyle U}$Si se trata de un universo de Grothendieck, entonces existe un cardinal fuertemente inaccesible.${\displaystyle \kappa }$de tal manera que${\displaystyle V_{\kappa }=U}$Como era de esperar dada su correspondencia con cardinales fuertemente inaccesibles, los universos de Grothendieck son muy bien cerrados bajo operaciones de teoría de conjuntos.

Un ordinal es un cardinal débilmente inaccesible si y solo si es un ordinal regular y es un límite de ordinales regulares. (Cero, uno y${\displaystyle \omega }$son ordinales regulares, pero no límites de ordinales regulares).

Desde algunas perspectivas , el requisito de que un cardinal débil o fuertemente inaccesible sea incontable es antinatural o innecesario. Aunque${\displaystyle \aleph _{0}}$es contable, es regular y es un cardinal límite fuerte. ${\displaystyle \aleph _{0}}$es también el cardinal regular de límite débil más pequeño. Suponiendo el axioma de elección, cualquier otro número cardinal infinito es regular o un cardinal de límite débil. Sin embargo, solo un número cardinal bastante grande puede ser ambas cosas. Dado que un cardinal${\displaystyle \kappa }$más grande que${\displaystyle \aleph _{0}}$es necesariamente incontable, si${\displaystyle \kappa }$También es regular y un límite cardinal débil entonces${\displaystyle \kappa }$debe ser un cardinal débilmente inaccesible.

Supongamos que${\displaystyle \kappa }$es un número cardinal. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con Elección (ZFC) implica que el${\displaystyle \kappa }$nivel del universo de Von Neumann${\displaystyle V_{\kappa }}$es un modelo de ZFC siempre${\displaystyle \kappa }$es fuertemente inaccesible. Además, ZF implica que el universo de Gödel${\displaystyle L_{\kappa }}$es un modelo de ZFC siempre${\displaystyle \kappa }$es débilmente inaccesible. Por lo tanto, ZF junto con "existe un cardinal débilmente inaccesible" implica que ZFC es consistente. Por consiguiente, los cardinales inaccesibles son un tipo de cardinal grande .

Si${\displaystyle V}$es un modelo estándar de ZFC y${\displaystyle \kappa }$es inaccesible en${\displaystyle V}$, entonces

1. ${\displaystyle V_{\kappa }}$es uno de los modelos previstos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ;
2. ${\displaystyle Def(V_{\kappa })}$es uno de los modelos previstos en la versión de Mendelson de la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel que excluye la elección global, reemplazando la limitación de tamaño por reemplazo y elección ordinaria;
3. y${\displaystyle V_{\kappa +1}}$es uno de los modelos previstos de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley .

Aquí,${\displaystyle Def(X)}$es el conjunto de${\displaystyle \Delta _{0}}$-subconjuntos definibles de${\displaystyle X}$(véase universo construible ). Vale la pena señalar que la primera afirmación puede debilitarse:${\displaystyle \kappa }$no necesita ser inaccesible, ni siquiera un número cardinal, para que${\displaystyle V_{\kappa }}$ser un modelo estándar de ZF (ver más abajo ).

Suponer${\displaystyle V}$es un modelo de ZFC. O bien${\displaystyle V}$no contiene nada fuerte inaccesible o, tomando${\displaystyle \kappa }$ser el más pequeño fuerte inaccesible en${\displaystyle V}$,${\displaystyle V_{\kappa }}$es un modelo estándar de ZFC que no contiene inaccesibles fuertes. Por lo tanto, la consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC+"no hay inaccesibles fuertes". De manera similar, o${\displaystyle V}$no contiene inaccesible débil o, tomando${\displaystyle \kappa }$ser el ordinal más pequeño que es débilmente inaccesible en relación con cualquier submodelo estándar de${\displaystyle V}$, entonces${\displaystyle L_{\kappa }}$Es un modelo estándar de ZFC que no contiene inaccesibles débiles. Por lo tanto, la consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC + "no hay inaccesibles débiles". Esto demuestra que ZFC no puede probar la existencia de un cardinal inaccesible, por lo que ZFC es consistente con la no existencia de cardinales inaccesibles.

La cuestión de si ZFC es consistente con la existencia de un cardinal inaccesible es más sutil. La demostración esbozada en el párrafo anterior de que la consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC + "no hay un cardinal inaccesible" puede formalizarse en ZFC. Sin embargo, suponiendo que ZFC sea consistente, ninguna demostración de que la consistencia de ZFC implique la consistencia de ZFC + "hay un cardinal inaccesible" puede formalizarse en ZFC. Esto se deduce del segundo teorema de incompletitud de Gödel , que muestra que si ZFC + "hay un cardinal inaccesible" es consistente, entonces no puede probar su propia consistencia. Dado que ZFC + "hay un cardinal inaccesible" sí prueba la consistencia de ZFC, si ZFC demostrara que su propia consistencia implica la consistencia de ZFC + "hay un cardinal inaccesible", entonces esta última teoría podría probar su propia consistencia, lo cual es imposible si es consistente.

Hay argumentos a favor de la existencia de cardinales inaccesibles que no pueden formalizarse en ZFC. Uno de esos argumentos, presentado por Hrbáček y Jech (1999 , p. 279) , es que la clase de todos los ordinales de un modelo particular ${\displaystyle M}$de la teoría de conjuntos sería en sí misma un cardinal inaccesible si existiera un modelo más amplio de teoría de conjuntos que se extendiera${\displaystyle M}$y preservando el conjunto de potencias de los elementos de${\displaystyle M}$.

Hay muchos axiomas importantes en la teoría de conjuntos que afirman la existencia de una clase propia de cardinales que satisfacen un predicado de interés. En el caso de inaccesibilidad, el axioma correspondiente es la afirmación de que para cada cardinal${\displaystyle \mu }$, hay un cardinal inaccesible${\displaystyle \kappa }$que es estrictamente más grande,${\displaystyle \mu <\kappa }$Por lo tanto, este axioma garantiza la existencia de una torre infinita de cardinales inaccesibles (y ocasionalmente puede denominarse axioma de cardinal inaccesible). Como ocurre con la existencia de cualquier cardinal inaccesible, el axioma de cardinal inaccesible es indemostrable a partir de los axiomas de ZFC. Suponiendo ZFC, el axioma de cardinal inaccesible es equivalente al axioma de universo de Grothendieck y Verdier : todo conjunto está contenido en un universo de Grothendieck . Los axiomas de ZFC junto con el axioma de universo (o equivalentemente el axioma de cardinal inaccesible) se denotan ZFCU (que no debe confundirse con ZFC con urelementos ). Este sistema axiomático es útil para demostrar, por ejemplo, que toda categoría tiene una incrustación de Yoneda apropiada .

Este es un axioma cardinal grande relativamente débil ya que equivale a decir que${\displaystyle \infty }$es 1-inaccesible en el lenguaje de la siguiente sección, donde${\displaystyle \infty }$denota el ordinal menos alto que no está en${\displaystyle V}$, es decir, la clase de todos los ordinales en su modelo.

El término "${\displaystyle \alpha }$-cardenal inaccesible" es ambiguo y diferentes autores usan definiciones no equivalentes. Una definición es que un cardenal${\displaystyle \kappa }$se llama${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$-inaccesible , para cualquier ordinal${\displaystyle \alpha }$, si${\displaystyle \kappa }$es inaccesible y para cada ordinal${\displaystyle \beta <\alpha}$, el conjunto de${\displaystyle \beta }$-inaccesibles menos de${\displaystyle \kappa }$es ilimitado en${\displaystyle \kappa }$(y por lo tanto de cardinalidad${\displaystyle \kappa }$, desde${\displaystyle \kappa }$es regular). En este caso, los cardinales 0-inaccesibles son los mismos que los cardinales fuertemente inaccesibles. Otra posible definición es que un cardinal${\displaystyle \kappa }$se llama${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$-débilmente inaccesible si${\displaystyle \kappa }$es regular y para cada ordinal${\displaystyle \beta <\alpha}$, el conjunto de${\displaystyle \beta }$-débilmente inaccesibles menos de${\displaystyle \kappa }$es ilimitado en${\displaystyle \kappa }$En este caso, los cardinales 0-débilmente inaccesibles son los cardinales regulares y los cardinales 1-débilmente inaccesibles son los cardinales débilmente inaccesibles.

El${\displaystyle \alpha }$Los cardinales inaccesibles también pueden describirse como puntos fijos de funciones que cuentan los inaccesibles inferiores. Por ejemplo, denotemos por${\displaystyle \psi _ {0}(\lambda)}$el${\displaystyle \lambda }$^el cardinal inaccesible, entonces los puntos fijos de${\displaystyle \psi _{0}}$son los cardinales 1-inaccesibles. Entonces, dejando${\displaystyle \psi _{\beta }(\lambda )}$ser el${\displaystyle \lambda }$^el${\displaystyle \beta }$-cardinal inaccesible, los puntos fijos de${\displaystyle \psi _{\beta }}$son los${\displaystyle (\beta +1)}$-cardinales inaccesibles (los valores${\displaystyle \psi _{\beta +1}(\lambda )}$. Si${\displaystyle \alpha }$es un ordinal límite, un${\displaystyle \alpha }$-inaccesible es un punto fijo de cada${\displaystyle \psi _{\beta }}$para${\displaystyle \beta <\alpha}$(el valor${\displaystyle \psi _{\alpha }(\lambda )}$es el${\displaystyle \lambda }$⁽ dicho cardinal). Este proceso de tomar puntos fijos de funciones que generan cardinales sucesivamente mayores se encuentra comúnmente en el estudio de números cardinales grandes .

El término hiperinaccesible es ambiguo y tiene al menos tres significados incompatibles. Muchos autores lo usan para referirse a un límite regular de cardinales fuertemente inaccesibles (1-inaccesible). Otros autores lo usan para referirse a que${\displaystyle \kappa }$es${\displaystyle \kappa }$-inaccesible. (Nunca podrá ser${\displaystyle \kappa +1}$-inaccesible.) Ocasionalmente se usa para referirse al cardenal Mahlo .

El término${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$-hiperinaccesible también es ambiguo. Algunos autores lo usan para significar${\displaystyle \alpha }$-inaccesible . Otros autores utilizan la definición de que para cualquier ordinal${\displaystyle \alpha }$, un cardenal${\displaystyle \kappa }$es${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$-hiperinaccesible si y solo si${\displaystyle \kappa }$es hiperinaccesible y para cada ordinal${\displaystyle \beta <\alpha}$, el conjunto de${\displaystyle \beta }$-hiperinaccesibles menos que${\displaystyle \kappa }$es ilimitado en${\displaystyle \kappa }$.

Los cardinales hiperinaccesibles, etc., pueden definirse de forma similar, y como de costumbre, este término es ambiguo.

Utilizando "débilmente inaccesible" en lugar de "inaccesible", se pueden hacer definiciones similares para "débilmente inaccesible".${\displaystyle \alpha }$-inaccesible", "débilmente hiperinaccesible" y "débilmente${\displaystyle \alpha }$-hiperinaccesible".

Los cardinales de Mahlo son inaccesibles, hiperinaccesibles, hiperhiperinaccesibles, ... y así sucesivamente.

En primer lugar, un cardenal${\displaystyle \kappa }$es inaccesible si y solo si${\displaystyle \kappa }$tiene la siguiente propiedad de reflexión : para todos los subconjuntos${\ Displaystyle U \ subconjunto V _ {\ kappa}}$, existe${\displaystyle \alpha <\kappa}$de tal manera que${\displaystyle (V_{\alpha },\in,U\cap V_{\alpha })}$es una subestructura elemental de${\displaystyle (V_{\kappa},\in,U)}$. (De hecho, el conjunto de tales${\displaystyle \alpha }$está cerrado sin límites en${\displaystyle \kappa }$.) Por lo tanto,${\displaystyle \kappa }$es${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$- indescriptible para todos${\displaystyle n\geq 0}$Por otro lado, no necesariamente existe un orden.${\displaystyle \alpha >\kappa }$de tal manera que${\displaystyle V_{\kappa }}$y si esto es cierto, entonces${\displaystyle \kappa }$debe ser el${\displaystyle \kappa }$cardinal inaccesible. ^{[ 3 ]}

En ZF se puede demostrar que${\displaystyle V}$tiene una propiedad de reflexión algo más débil, donde la subestructura${\displaystyle (V_{\alpha },\in,U\cap V_{\alpha })}$Solo se requiere que sea "elemental" con respecto a un conjunto finito de fórmulas. En última instancia, la razón de este debilitamiento es que, mientras que la relación de satisfacción de la teoría del modelo${\displaystyle \vDash }$puede definirse, la verdad semántica misma (es decir,${\displaystyle \vDash _{V}}$) no puede, debido al teorema de Tarski .

En segundo lugar, bajo ZFC se puede demostrar el teorema de categoricidad de Zermelo , que establece que${\displaystyle \kappa }$es inaccesible si y solo si${\displaystyle (V_{\kappa},\in)}$es un modelo de ZFC de segundo orden .

En este caso, por la propiedad de reflexión anterior, existe${\displaystyle \alpha <\kappa}$de tal manera que${\displaystyle (V_{\alpha },\in )}$es un modelo estándar de ZFC ( de primer orden ). Por lo tanto, la existencia de un cardinal inaccesible es una hipótesis más fuerte que la existencia de un modelo transitivo de ZFC.

Inaccesibilidad de${\displaystyle \kappa }$es un${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$propiedad sobre${\displaystyle V_{\kappa }}$, ^{[ 4 ]} mientras que un cardenal${\displaystyle \pi }$ser inaccesible (en algún modelo dado de${\displaystyle \mathrm {ZF} }$que contiene${\displaystyle \pi }$) es${\displaystyle \Pi _{1}}$. ^{[ 5 ]}

En ZF sin el axioma de elección , podemos definir qué significa ser fuertemente inaccesible. Un ordinal κ es fuertemente inaccesible si y solo si ω < κ y para todo α < κ, para cada función de V _α a κ, existe β < κ tal que la imagen de la función es un subconjunto de β. ^{[ 6 ]}

De manera similar, un ordinal κ es débilmente inaccesible si y solo si ω < κ y para todo α < κ, para cada función de α ⁺ a κ, existe β < κ tal que la imagen de la función es un subconjunto de β. Aquí α ⁺ es el cardinal sucesor (es decir, el número de Hartogs ) de α.

• Cardenal mundano , una noción más débil
• Cardenal Mahlo , una noción más fuerte
• Conjunto de club
• Modelo interior
• Universo de Von Neumann
• Universo construible