Teoremas fundamentales de la economía del bienestar

Hay dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar . El primero establece que en equilibrio económico , un conjunto de mercados completos , con información completa y en competencia perfecta , será óptimo de Pareto (en el sentido de que ningún intercambio adicional mejoraría la situación de una persona sin empeorar la de otra). Los requisitos para la competencia perfecta son los siguientes: ^{[ 1 ]}

1. No existen externalidades y cada actor dispone de información perfecta .
2. Las empresas y los consumidores dan por sentados los precios (ningún agente económico ni grupo de agentes tiene poder de mercado ).

El teorema se considera a veces una confirmación analítica del principio de la " mano invisible " de Adam Smith , según el cual los mercados competitivos garantizan una asignación eficiente de los recursos . Sin embargo, no hay garantía de que el resultado óptimo de Pareto del mercado sea equitativo , ya que existen muchas posibles asignaciones eficientes de Pareto de los recursos que difieren en su deseabilidad (por ejemplo, una persona puede poseerlo todo y los demás nada). ^{[ 2 ]}

El segundo teorema establece que cualquier óptimo de Pareto puede sostenerse como un equilibrio competitivo para un conjunto inicial de dotaciones. Esto implica que cualquier resultado óptimo de Pareto deseado puede sostenerse; la eficiencia de Pareto puede lograrse con cualquier redistribución de la riqueza inicial. Sin embargo, los intentos de corregir la distribución pueden introducir distorsiones, por lo que la optimalidad total podría no ser alcanzable con la redistribución. ^{[ 3 ]}

Los teoremas pueden visualizarse gráficamente para una economía de intercambio puro simple mediante el diagrama de la caja de Edgeworth .

En principio, existen dos versiones comunes de los teoremas fundamentales: una relativa a una economía de intercambio en la que las dotaciones se dan de forma exógena, y otra relativa a una economía en la que se produce. La economía de producción es más general e implica supuestos adicionales. Todos los supuestos se basan en el libro de texto estándar de microeconomía para estudiantes de posgrado. ^{[ 36 ]}

Los teoremas fundamentales no garantizan, por lo general, la existencia ni la unicidad de los equilibrios.

El primer teorema fundamental se cumple bajo condiciones generales. ^{[ 39 ]} Una formulación formal es la siguiente: Si las preferencias no se satisfacen localmente, y si${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} ,\mathbf {p} )}$es un equilibrio de precios con transferencias, entonces la asignación${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$es óptimo de Pareto. Un equilibrio en este sentido se relaciona únicamente con una economía de intercambio o presupone que las empresas son eficientes en términos de asignación y productividad, lo cual puede demostrarse que se deriva de mercados de factores y producción perfectamente competitivos. ^{[ 39 ]}

Dado un conjunto${\displaystyle G}$de tipos de bienes con los que trabajamos en el espacio vectorial real sobre${\displaystyle G}$,${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$y utilice negrita para las variables vectoriales. Por ejemplo, si${\displaystyle G=\lbrace {\text{mantequilla}},{\text{galletas}},{\text{leche}}\rbrace }$entonces${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$sería un espacio vectorial tridimensional y el vector${\displaystyle \langle 1,2,3\rangle }$representaría el conjunto de bienes que contiene 1 unidad de mantequilla, 2 unidades de galletas y 3 unidades de leche.

Supongamos que el consumidor i tiene riqueza${\displaystyle w_{i}}$de tal manera que${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} +\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$dónde${\displaystyle \mathbf {e} }$es la dotación agregada de bienes (es decir, la suma de todas las dotaciones de consumidores y productores) y${\displaystyle \mathbf {y_{j}^{*}} }$es la producción de la empresa j .

La maximización de preferencias (a partir de la definición de equilibrio de precios con transferencias) implica (utilizando${\displaystyle >_{i}}$para denotar la relación de preferencia para el consumidor i ):

si${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$entonces${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$

En otras palabras, si se prefiere estrictamente un conjunto de bienes${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$debe ser inasequible a ese precio.${\displaystyle \mathbf {p} }$La insaciabilidad local implica además :

si${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$entonces${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_ {i}} \geq w_ {i}}$

Para ver por qué, imagínese que${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$pero${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} <w_{i}}$Entonces, por la no saciedad local podríamos encontrar${\displaystyle \mathbf {x'_{i}} }$arbitrariamente cerca de${\displaystyle \mathbf {x_ {i}}}$(y por lo tanto sigue siendo asequible) pero que es estrictamente preferible a${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$. Pero${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$es el resultado de la maximización de preferencias, por lo que esto es una contradicción.

Una asignación es un par${\displaystyle (\mathbf {X},\mathbf {Y})}$dónde${\displaystyle \mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}}$y${\displaystyle \mathbf {Y} \in \Pi _ {j\in J}\mathbb {R} ^{G}}$, es decir${\displaystyle \mathbf {X} }$es la 'matriz' (que permite filas/columnas potencialmente infinitas) cuya i- ésima columna es la cesta de bienes asignada al consumidor i y${\displaystyle \mathbf {Y} }$es la 'matriz' cuya j -ésima columna es la producción de la empresa j . Restringimos nuestra atención a las asignaciones factibles, que son aquellas asignaciones en las que ningún consumidor vende ni productor consume bienes que le faltan, es decir, para cada bien y cada consumidor, la dotación inicial de los consumidores más su demanda neta debe ser positiva, de manera similar para los productores.

Ahora consideremos una asignación.${\displaystyle (\mathbf {X},\mathbf {Y})}$que Pareto domina${\displaystyle (\mathbf {X^{*}},Y^{*})}$Esto significa que${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$para todos yo y${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$para algún i . Por lo anterior, sabemos${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_ {i}} \geq w_ {i}}$para todos yo y${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$Para algún i . Sumando, encontramos:

${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$.

Porque${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$es maximizar las ganancias, lo sabemos${\displaystyle \Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}}$, entonces${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}} }$Pero los bienes deben conservarse, así que${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}} }$. Por eso,${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$no es factible. Dado que todas las asignaciones Pareto-dominantes no son factibles,${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$debe ser en sí mismo óptimo de Pareto. ^{[ 39 ]}

Tenga en cuenta que, si bien el hecho de que${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$La maximización de beneficios simplemente se asume en el enunciado del teorema; el resultado solo es útil/interesante en la medida en que sea posible tal asignación de producción que maximice los beneficios. Afortunadamente, para cualquier restricción de la asignación de producción${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$y precio a un subconjunto cerrado en el que el precio marginal está acotado lejos de 0, por ejemplo, cualquier elección razonable de funciones continuas para parametrizar las producciones posibles, tal máximo existe. Esto se deduce del hecho de que el precio marginal mínimo y la riqueza finita limitan la producción máxima factible (0 limita el mínimo) y el teorema de Tychonoff asegura que el producto de estos espacios compactos es compacto, lo que nos asegura que existe un máximo de cualquier función continua que deseemos.

El segundo teorema establece formalmente que, bajo los supuestos de que cada conjunto de producción${\displaystyle Y_{j}}$es convexo y toda relación de preferencia${\displaystyle \geq _{i}}$es convexo y localmente no saciado , cualquier asignación Pareto-eficiente deseada puede ser soportada como un cuasi -equilibrio de precios con transferencias. ^{[ 39 ]} Se necesitan supuestos adicionales para probar esta afirmación para equilibrios de precios con transferencias.

La demostración se realiza en dos pasos: primero, demostramos que cualquier asignación Pareto-eficiente puede ser soportada como un cuasiequilibrio de precios con transferencias; luego, damos condiciones bajo las cuales un cuasiequilibrio de precios es también un equilibrio de precios.

Definamos un cuasiequilibrio de precios con transferencias como una asignación.${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$, un vector de precios p y un vector de niveles de riqueza w (alcanzados mediante transferencias de suma global) con${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*}}$(dónde${\displaystyle \omega }$es la dotación agregada de bienes y${\displaystyle y_{j}^{*}}$es la producción de la empresa j ) tal que:

i.${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$a pesar de${\displaystyle y_{j}\in Y_{j}}$(las empresas maximizan sus beneficios produciendo${\displaystyle y_{j}^{*}}$)

ii. Para todo i , si${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$entonces${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$(si${\displaystyle x_{i}}$es estrictamente preferible${\displaystyle x_{i}^{*}}$entonces no puede costar menos que${\displaystyle x_{i}^{*}}$)

iii.${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$(restricción presupuestaria satisfecha)

La única diferencia entre esta definición y la definición estándar de un equilibrio de precios con transferencias está en el enunciado ( ii ). La desigualdad es débil aquí (${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$) convirtiéndolo en un cuasiequilibrio de precios. Más adelante reforzaremos esto para lograr un equilibrio de precios. ^{[ 39 ]} Definir${\displaystyle V_{i}}$ser el conjunto de todas las cestas de consumo estrictamente preferidas${\displaystyle x_{i}^{*}}$por el consumidor i , y sea V la suma de todos${\displaystyle V_{i}}$. ${\displaystyle V_{i}}$es convexa debido a la convexidad de la relación de preferencia${\displaystyle \geq _{i}}$. V es convexa porque cada${\displaystyle V_{i}}$es convexo. De manera similar${\displaystyle Y+\{\omega \}}$, la unión de todos los equipos de producción${\displaystyle Y_{i}}$más la dotación agregada, es convexa porque cada${\displaystyle Y_{i}}$es convexa. También sabemos que la intersección de V y${\displaystyle Y+\{\omega \}}$debe estar vacío, porque si no lo estuviera implicaría que existe un conjunto que es estrictamente preferido.${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$por todos y también es asequible. Esto queda descartado por la optimalidad de Pareto de${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$.

Estos dos conjuntos convexos y no intersecantes nos permiten aplicar el teorema del hiperplano separador . Este teorema establece que existe un vector de precios.${\displaystyle p\neq 0}$y un número r tal que${\displaystyle p\cdot z\geq r}$por cada${\displaystyle z\in V}$y${\displaystyle p\cdot z\leq r}$por cada${\displaystyle z\in Y+\{\omega \}}$En otras palabras, existe un vector de precios que define un hiperplano que separa perfectamente los dos conjuntos convexos.

A continuación argumentamos que si${\displaystyle x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}}$por todo lo que entonces${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$Esto se debe a la insaciabilidad local: debe haber un paquete${\displaystyle x'_{i}}$arbitrariamente cerca de${\displaystyle x_{i}}$que es estrictamente preferible${\displaystyle x_{i}^{*}}$y por lo tanto parte de${\displaystyle V_{i}}$, entonces${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r}$Tomando el límite como${\displaystyle x'_{i}\rightarrow x_{i}}$no cambia la desigualdad débil, por lo tanto${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$también. En otras palabras,${\displaystyle x_{i}}$está en el cierre de V.

Usando esta relación vemos que para${\displaystyle x_{i}^{*}}$sí mismo${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r}$También sabemos que${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}}$, entonces${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r}$Además. Combinando estos encontramos que${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$Podemos usar esta ecuación para demostrar que${\displaystyle (x^{*},y^{*},p)}$Se ajusta a la definición de un cuasiequilibrio de precios con transferencias.

Porque${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$y${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$sabemos que para cualquier empresa j:

${\displaystyle p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})}$para${\displaystyle h\neq j}$

lo cual implica${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$. De manera similar sabemos:

${\displaystyle p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})}$para${\displaystyle k\neq i}$

lo cual implica${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}}$Estas dos afirmaciones, junto con la viabilidad de la asignación en el óptimo de Pareto, satisfacen las tres condiciones para un cuasiequilibrio de precios con transferencias respaldadas por los niveles de riqueza.${\displaystyle w_{i}=p\cdot x_{i}^{*}}$para todos yo .

Ahora pasamos a las condiciones bajo las cuales un cuasiequilibrio de precios es también un equilibrio de precios, en otras palabras, las condiciones bajo las cuales la afirmación "si${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$entonces${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$"implica "si${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$entonces${\displaystyle p\cdot x_{i}>w_{i}}$". Para que esto sea cierto, ahora debemos suponer que el conjunto de consumo${\displaystyle X_{i}}$es convexa y la relación de preferencia${\displaystyle \geq _{i}}$es continuo . Entonces, si existe un vector de consumo${\displaystyle x'_{i}}$de tal manera que${\displaystyle x'_{i}\in X_{i}}$y${\displaystyle p\cdot x'_{i}<w_{i}}$Un cuasiequilibrio de precios es un equilibrio de precios.

Para ver por qué, supongamos lo contrario.${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$y${\displaystyle p\cdot x_{i}=w_{i}}$, y${\displaystyle x_{i}}$existe. Entonces, por la convexidad de${\displaystyle X_{i}}$tenemos un paquete${\displaystyle x''_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}\in X_{i}}$con${\displaystyle p\cdot x''_{i}<w_{i}}$. Por la continuidad de${\displaystyle \geq _{i}}$para${\displaystyle \alpha }$cerca de 1 tenemos${\displaystyle \alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$Esto es una contradicción, porque este paquete es preferido a${\displaystyle x_{i}^{*}}$y cuesta menos que${\displaystyle w_{i}}$.

Por lo tanto, para que los cuasiequilibrios de precios sean equilibrios de precios, basta con que el conjunto de consumo sea convexo, la relación de preferencia sea continua y que siempre exista una cesta de consumo "más barata".${\displaystyle x'_{i}}$Una forma de asegurar la existencia de tal conjunto es exigir niveles de riqueza.${\displaystyle w_{i}}$ser estrictamente positivo para todos los consumidores i . ^{[ 39 ]}

• Preferencias convexas
• Los teoremas de Varian establecen que un equilibrio competitivo es a la vez eficiente en el sentido de Pareto y libre de envidia .
• teoría del equilibrio general