Foliación

El caso más fácil de entender de holonomía es la holonomía total de un fibrado foliado. Esta es una generalización de la noción de mapa de Poincaré .

El término "mapa de primer retorno (recurrencia)" proviene de la teoría de sistemas dinámicos. Sea Φ _t un flujo C ^r no singular ( r  ≥ 1) en la n -variedad  compacta M . En aplicaciones, se puede imaginar que M es un ciclotrón o algún bucle cerrado con flujo de fluido. Si M tiene un límite, se supone que el flujo es tangente al límite. El flujo genera una foliación unidimensional.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Si uno recuerda la dirección positiva del flujo, pero por lo demás olvida la parametrización (forma de la trayectoria, velocidad, etc. ), la foliación subyacente${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Se dice que está orientado. Supongamos que el flujo admite una sección transversal global N. Es decir, N es una subvariedad compacta, propiamente incrustada, C ^r de M de dimensión n  –  1, la foliación${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es transversal a N , y cada línea de flujo se encuentra con N. Debido a que las dimensiones de N y de las hojas son complementarias, la condición de transversalidad es que

${\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}$

Sea y ∈ N y consideremos el conjunto límite ω ( y ) de todos los puntos de acumulación en M de todas las secuencias.${\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}$donde t _k tiende a infinito. Se puede demostrar que ω(y) es compacto, no vacío y una unión de líneas de flujo. Si${\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}$Existe un valor t * ∈ R tal que Φ _{t *} ( z ) ∈ N y se deduce que

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}$

Dado que N es compacto y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es transversal a N , por lo tanto, el conjunto { t > 0 | Φ _t ( y ) ∈ N} es una sucesión monótonamente creciente.${\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }}$que diverge hasta el infinito.

A medida que y ∈ N varía, sea τ ( y ) = τ ₁ ( y ), definiendo de esta manera una función positiva τ ∈ C ^r ( N ​​) (el primer tiempo de retorno) tal que, para cualquier y ∈ N , Φ _t ( y ) ∉ N , 0 < t < τ ( y ), y Φ _{τ ( y )} ( y ) ∈ N .

Definimos f  : N → N mediante la fórmula f ( y ) = Φ _{τ ( y )} ( y ). Este es un mapa C ^r . Si el flujo se invierte, exactamente la misma construcción proporciona el inverso f ⁻¹ ; por lo tanto, f ∈ Diff ^r ( N ​​). Este difeomorfismo es el primer mapa de retorno y τ se llama el primer tiempo de retorno . Si bien el primer tiempo de retorno depende de la parametrización del flujo, debería ser evidente que f depende solo de la foliación orientada.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Es posible reparametrizar el flujo Φ _t , manteniéndolo no singular, de clase C ^r , y sin invertir su dirección, de modo que τ ≡ 1.   

La suposición de que existe una sección transversal N en el flujo es muy restrictiva, lo que implica que M es el espacio total de un haz de fibras sobre S ¹ . De hecho, en R × N , definimos ~ _f como la relación de equivalencia generada por

${\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}$

De forma equivalente, esta es la equivalencia de órbitas para la acción del grupo aditivo Z sobre R × N definida por

${\displaystyle k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)),}$

para cada k ∈ Z y para cada ( t , y ) ∈ R × N . El cilindro de mapeo de f se define como la variedad C ^r

${\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}$

Por la definición del mapa de primer retorno f y la suposición de que el tiempo de primer retorno es τ ≡ 1, es inmediato que el mapa

${\displaystyle \Phi$ :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}

definido por el flujo, induce un difeomorfismo C ^{r canónico}

${\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}$

Si hacemos la identificación M _f = M , entonces la proyección de R × N sobre R induce un mapa C ^r

${\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

que convierte a M en el espacio total de un haz de fibras sobre el círculo. Esto es simplemente la proyección de S ¹ × D ² sobre S ¹ . La foliación${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es transversal a las fibras de este haz y la proyección del haz π , restringida a cada hoja L , es un mapa de recubrimiento π : L → S ¹ . Esto se llama un haz foliado .  

Toma como punto base x ₀ ∈ S ¹ la clase de equivalencia 0 + Z ; por lo tanto, π ⁻¹ ( x ₀ ) es la sección transversal original N . Para cada bucle s en S ¹ , basado en x ₀ , la clase de homotopía [ s ] ∈ π ₁ ( S ¹ , x ₀ ) se caracteriza de forma única por deg s ∈ Z . El bucle s se eleva a un camino en cada línea de flujo y debería ser claro que la elevación s _y que comienza en y ∈ N termina en f ^k ( y ) ∈ N , donde k = deg s . El difeomorfismo f ^k ∈ Diff ^r ( N ​​) también se denota por h _s y se llama la holonomía total del bucle s . Dado que esto depende solo de [ s ], esta es una definición de un homomorfismo

${\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}$

llamado homomorfismo de holonomía total para el fibrado foliado.

Utilizando haces de fibras de una manera más directa, sea ( M ,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Sea M una n -variedad foliada de codimensión q . Sea π  : M → B un fibrado con fibra q -dimensional F y espacio base conexo B. Supongamos que todas estas estructuras son de clase C ^r , 0 ≤ r ≤ ∞, con la condición de que, si r = 0, B admite una estructura C ^1. Dado que todo atlas C ^{1 maximal en} B contiene un subatlas C ^∞ , no se pierde generalidad al suponer que B es tan suave como se desea. Finalmente, para cada x ∈ B , supongamos que existe un entorno abierto y conexo U ⊆ B de x y una trivialización local.

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}$

donde φ es un difeomorfismo C ^r (un homeomorfismo, si r = 0) que lleva${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$a la foliación del producto { U × { y }} _{y  ∈ F}  . Aquí,${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$es la foliación con hojas los componentes conectados de L ∩ π ⁻¹ ( U ), donde L abarca las hojas de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Esta es la definición general del término "haz foliado" ( M ,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$,π) de clase C ^r .

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es transversal a las fibras de π (se dice que${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es transversal a la fibración) y que la restricción de π a cada hoja L de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un mapa de recubrimiento π  : L → B . En particular, cada fibra F _x = π ⁻¹ ( x ) se encuentra con cada hoja de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. La fibra es una sección transversal de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en completa analogía con la noción de una sección transversal de un flujo.

La foliación${\displaystyle {\mathcal {F}}}$El hecho de ser transversal a las fibras no garantiza, por sí solo, que las hojas cubran espacios de B. Una versión simple del problema es una foliación de R ² , transversal a la fibración.

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}

${\displaystyle \pi (x,y)=x,}$

pero con infinitas hojas que no tocan el eje y . En la figura correspondiente, se entiende que las hojas "flechadas" y todas las que están por encima de ellas son asintóticas al eje x = 0. Se dice que dicha foliación es incompleta con respecto a la fibración, lo que significa que algunas de las hojas "se extienden hasta el infinito" cuando el parámetro x ∈ B se aproxima a algún x ₀ ∈ B. Más precisamente, puede haber una hoja L y un camino continuo s  : [0, a ) → L tal que lim _{t → a −} π( s ( t )) = x ₀ ∈ B , pero lim _{t → a −} s ( t ) no existe en la topología de variedad de L . Esto es análogo al caso de flujos incompletos, donde algunas líneas de flujo "llegan al infinito" en un tiempo finito. Aunque tal hoja L puede encontrarse en otro lugar con π ⁻¹ ( x ₀ ), no puede cubrir uniformemente un entorno de x ₀ , por lo tanto no puede ser un espacio de recubrimiento de B bajo π . Sin embargo, cuando F es compacto, es cierto que la transversalidad de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$a la fibración sí garantiza completitud, por lo tanto que${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$es un haz foliado.

Hay un atlas${\displaystyle {\mathcal {U}}}$= { U _α , x _α } _α∈A en B , que consiste en cartas de coordenadas abiertas y conectadas, junto con trivializaciones φ _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → U _α × F que llevan${\displaystyle {\mathcal {F}}}$|π ⁻¹ ( U _α ) al producto de foliación. Establezca W _α = π ⁻¹ ( U _α ) y escriba φ _α = ( x _α , y _α ) donde (por abuso de notación) x _α representa x _α${\displaystyle \circ }$π y y _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → F es la inmersión obtenida al componer φ _α con la proyección canónica U _α × F → F .

El atlas${\displaystyle {\mathcal {W}}}$= { W _α , x _α , y _α } _{α ∈ A} desempeña un papel análogo al de un atlas foliado. Las placas de W _α son los conjuntos de nivel de y _α y esta familia de placas es idéntica a F a través de y _α . Dado que se supone que B admite una estructura C ^∞ , según el teorema de Whitehead se puede fijar una métrica riemanniana en B y elegir el atlas${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ser geodésicamente convexo. Por lo tanto, U _α ∩ U _β siempre está conectado. Si esta intersección no es vacía, cada placa de W _α se encuentra exactamente con una placa de W _β . Entonces definimos un cociclo de holonomía.${\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}}$al establecer

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}$

Consideremos un espacio n -dimensional, foliado como producto de subespacios formados por puntos cuyas primeras n − p coordenadas son constantes. Esto se puede representar con una sola tabla. La afirmación es esencialmente que R ⁿ = R ^{n − p} × R ^p, donde las hojas o placas R ^p se enumeran mediante R ^{n − p} . La analogía se observa directamente en tres dimensiones, tomando n = 3 y p = 2 : las hojas bidimensionales de un libro se enumeran mediante un número de página (unidimensional).

Un ejemplo bastante trivial de foliaciones son los productos M = B × F , foliados por las hojas F _b = { b } × F , b ∈ B . (Otra foliación de M viene dada por B _f = B × { f  } , f ∈ F .)

Una clase más general son los G -fibrados planos con G = Homeo( F ) para una variedad F . Dada una representación ρ  : π ₁ ( B ) → Homeo( F ) , el Homeo( F ) -fibrado plano con monodromía ρ viene dado por${\displaystyle M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B}$donde π ₁ ( B ) actúa sobre la cubierta universal${\displaystyle {\widetilde {B}}}$mediante transformaciones de cubierta y en F por medio de la representación ρ .

Los haces planos encajan en el marco de los haces de fibra . Una aplicación π  : M → B entre variedades es un haces de fibra si existe una variedad F tal que cada b ∈ B tiene un entorno abierto U tal que existe un homeomorfismo.${\displaystyle \varphi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times F} con${\displaystyle \pi =p_{1}\varphi }$, con p ₁  : U × F → U proyección al primer factor. El haz de fibras produce una foliación por fibras${\displaystyle F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B}$Su espacio de hojas L es homeomorfo a B , en particular L es una variedad de Hausdorff.

Si M → N es una aplicación de recubrimiento entre variedades, y F es una foliación en N , entonces se puede revertir a una foliación en M. De forma más general, si la aplicación es simplemente un recubrimiento ramificado , donde el lugar geométrico de las ramas es transversal a la foliación, entonces se puede revertir a la foliación.

Si M ⁿ → N ^q , ( q ≤ n ) es una inmersión de variedades, del teorema de la función inversa se deduce que las componentes conexas de las fibras de la inmersión definen una foliación de M de codimensión q . Los haces de fibras son un ejemplo de este tipo.

Un ejemplo de inmersión, que no es un haz de fibras, se da por

${\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}}$

Esta inmersión produce una foliación de [−1, 1] × R que es invariante bajo las acciones Z dadas por

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)}$

para ( x , y ) ∈ [−1, 1] × R y n ∈ Z . Las foliaciones inducidas de Z \ ([−1, 1] × R ) se denominan foliación de Reeb bidimensional (del anillo) o foliación de Reeb bidimensional no orientable (de la banda de Möbius). Sus espacios foliares no son de Hausdorff.

Defina una inmersión

${\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}}$

donde ( r , θ ) ∈ [0, 1] × S ^{n −1} son coordenadas cilíndricas en el disco n- dimensional D ⁿ . Esta inmersión produce una foliación de D ⁿ × R que es invariante bajo las acciones Z dadas por

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)}$

para ( x , y ) ∈ D ⁿ × R , z ∈ Z . La foliación inducida de Z \ ( D ⁿ × R ) se llama foliación de Reeb n -dimensional . Su espacio de hojas no es Hausdorff.

Para n = 2 , esto da una foliación del toro sólido que puede usarse para definir la foliación de Reeb de la 3-esfera pegando dos toros sólidos a lo largo de su borde. También se conocen explícitamente las foliaciones de esferas de dimensión impar S ^{2 n +1 . [ 12 ]}

If G is a Lie group, and H is a Lie subgroup, then G is foliated by cosets of H. When H is closed in G, the quotient spaceG/H is a smooth (Hausdorff) manifold turning G into a fiber bundle with fiber H and base G/H. This fiber bundle is actually principal, with structure group H.

Let G be a Lie group acting smoothly on a manifold M. If the action is a locally free action or free action, then the orbits of G define a foliation of M.

If ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ is a nonsingular (i.e., nowhere zero) vector field, then the local flow defined by ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ patches together to define a foliation of dimension 1. Indeed, given an arbitrary point x ∈ M, the fact that ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ is nonsingular allows one to find a coordinate neighborhood (U,x¹,...,xⁿ) about x such that

${\displaystyle -\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,}$

and

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid _{U}.}$

Geometrically, the flow lines of ${\displaystyle {\tilde {X}}\mid _{U}}$ are just the level sets

${\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,}$

where all ${\displaystyle |c^{i}|<\varepsilon .}$ Since by convention manifolds are second countable, leaf anomalies like the "long line" are precluded by the second countability of M itself. The difficulty can be sidestepped by requiring that ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ be a complete field (e.g., that M be compact), hence that each leaf be a flow line.

An important class of 1-dimensional foliations on the torus T² are derived from projecting constant vector fields on T². A constant vector field

${\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$

on R² is invariant by all translations in R², hence passes to a well-defined vector field X when projected on the torus T²= R²/Z². It is assumed that a ≠ 0. The foliation ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$en R ² producido por${\displaystyle {\tilde {X}}}$tiene como hojas las líneas rectas paralelas de pendiente θ = b / a . Esta foliación también es invariante bajo traslaciones y pasa a la foliación${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en T ² producido por X .

Cada hoja de${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$es de la forma

${\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.}$

Si la pendiente es racional, entonces todas las hojas son curvas cerradas homeomorfas al círculo . En este caso, se puede tomar a , b ∈ Z. Para un t ∈ R fijo , los puntos de${\displaystyle {\tilde {L}}}$Los valores correspondientes de t ∈ t ₀ + Z se proyectan todos al mismo punto de T ² ; por lo tanto, la hoja correspondiente L de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un círculo incrustado en T ² . Dado que L es arbitrario,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es una foliación de T ² por círculos. Se deduce fácilmente que esta foliación es en realidad un fibrado π  : T ² → S ¹ . Esto se conoce como una foliación lineal .

Cuando la pendiente θ = b / a es irracional , las hojas no son compactas, son homeomorfas a la recta real no compactificada y densas en el toro (véase Rotación irracional ). La trayectoria de cada punto ( x ₀ , y ₀ ) nunca regresa al mismo punto, sino que genera un enrollamiento "denso en todas partes" alrededor del toro, es decir, se aproxima arbitrariamente cerca de cualquier punto dado. Por lo tanto, el cierre de la trayectoria es todo el toro bidimensional. Este caso se denomina foliación de Kronecker , en honor a Leopold Kronecker y su

Teorema de densidad de Kronecker . Si el número real θ es distinto de cada múltiplo racional de π, entonces el conjunto { e ^inθ | n ∈ Z } es denso en el círculo unitario.

A similar construction using a foliation of Rⁿ by parallel lines yields a 1-dimensional foliation of the n-torus Rⁿ/Zⁿ associated with the linear flow on the torus.

A flat bundle has not only its foliation by fibres but also a foliation transverse to the fibers, whose leaves are

${\displaystyle L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,}$

where ${\displaystyle p:{\widetilde {B}}\times F\to M}$ is the canonical projection. This foliation is called the suspension of the representation ρ : π₁(B) → Homeo(F).

In particular, if B = S¹ and ${\displaystyle \varphi :F\to F}$ is a homeomorphism of F, then the suspension foliation of ${\displaystyle \varphi }$ is defined to be the suspension foliation of the representation ρ : Z → Homeo(F) given by ρ(z) = Φ^z. Its space of leaves is L = ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$/~, where x ~ y whenever y = Φⁿ(x) for some n ∈ Z.

El ejemplo más simple de foliación por suspensión es una variedad X de dimensión q . Sea f  : X → X una biyección. Se define la suspensión M = S ¹ × _f X como el cociente de [0,1] × X por la relación de equivalencia (1, x ) ~ (0, f ( x )).

M = S ¹ × _f X = [0,1] × X

Entonces, automáticamente M lleva dos foliaciones:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$₂ que consiste en conjuntos de la forma F _{2, t} = {( t , x ) _~  : x ∈ X } y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$₁ que consiste en conjuntos de la forma F _{2, x 0} = {( t , x )  : t ∈ [0,1] , x ∈ O _{x 0} }, donde la órbita O _{x 0} se define como

O _{x 0} = {..., f ⁻² ( x ₀ ), f ⁻¹ ( x ₀ ), x ₀ , f ( x ₀ ), f ² ( x ₀ ), ...},

donde el exponente se refiere al número de veces que la función f se compone consigo misma. Nótese que O _{x 0} = O _{f ( x 0 )} = O _{f ⁻² ( x 0 )} , etc., por lo que lo mismo es cierto para F _{1, x 0} . Entendiendo la foliación${\displaystyle {\mathcal {F}}}$₁ es equivalente a comprender la dinámica del mapa f . Si la variedad X ya está foliada, se puede usar la construcción para aumentar la codimensión de la foliación, siempre que f mapee hojas a hojas.

Las foliaciones de Kronecker del 2-toro son las foliaciones de suspensión de las rotaciones R _α  : S ¹ → S ¹ por ángulo α ∈ [0, 2 π ).

Más específicamente, si Σ = Σ ₂ es el toro de dos agujeros con C ¹ ,C ² ∈ Σ los dos círculos incrustados sean${\displaystyle {\mathcal {F}}}$sea ​​la foliación producto de la 3-variedad M = Σ × S ¹ con hojas Σ × { y }, y ∈ S ¹ . Nótese que N _i = C _i × S ¹ es un toro incrustado y que${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es transversal a N _i , i = 1,2. Sea Diff ₊ ( S ¹ ) el grupo de difeomorfismos que preservan la orientación de S ¹ y elijamos f ₁ , f ₂ ∈ Diff ₊ ( S ¹ ). Dividimos M a lo largo de N ₁ y N ₂ , dejando${\displaystyle N_{i}^{+}}$y${\displaystyle N_{i}^{-}}$Denotemos las copias resultantes de N _i , i = 1,2. En este punto se tiene una variedad M' = Σ' × S ₁ con cuatro componentes de frontera.${\displaystyle \left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.}$La foliación${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ha pasado a una foliación${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$transversal al límite ∂ M' , cada hoja de la cual tiene la forma Σ' × { y }, y ∈ S ¹ .

Esta hoja se encuentra con ∂ M' en cuatro círculos.${\displaystyle C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }.}$Si z ∈ C _i , los puntos correspondientes en${\displaystyle C_{i}^{\pm }}$se denotan por z ^± y${\displaystyle N_{i}^{-}}$se "vuelve a pegar" a${\displaystyle N_{i}^{+}}$por la identificación

${\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.}$

Dado que f ₁ y f ₂ son difeomorfismos que preservan la orientación de S ¹ , son isotópicos a la identidad y la variedad obtenida por esta operación de repegmentación es homeomorfa a M . Las hojas de${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$Sin embargo, se reensamblan para producir una nueva foliación.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$( f ₁ , f ₂ ) de M . Si una hoja L de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$( f ₁ , f ₂ ) contiene una pieza Σ' × { y ₀ }, entonces

${\displaystyle L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},}$

donde G ⊂ Diff ₊ ( S ¹ ) es el subgrupo generado por { f ₁ , f ₂ }. Estas copias de Σ' están unidas entre sí por identificaciones

( z ⁻ , g ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₁ ( g ( y ₀ ))) para cada z ∈ C ₁ ,

( z ⁻ , g ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₂ ( g ( y ₀ ))) para cada z ∈ C ₂ ,

donde g varía sobre G. La hoja está completamente determinada por la órbita G de y ₀ ∈ S ¹ y puede ser simple o inmensamente complicada. Por ejemplo, una hoja será compacta precisamente si la órbita G correspondiente es finita. Como ejemplo extremo, si G es trivial ( f ₁ = f ₂ = id _{S ¹} ), entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}}$( f ₁ , f ₂ ) =${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Si una órbita es densa en S ¹ , la hoja correspondiente es densa en M . Por ejemplo, si f ₁ y f ₂ son rotaciones a través de múltiplos racionalmente independientes de 2π, cada hoja será densa. En otros ejemplos, alguna hoja L tiene cierre${\displaystyle {\bar {L}}}$que satisface cada factor { w } × S ¹ en un conjunto de Cantor . Se pueden realizar construcciones similares en Σ × I , donde I es un intervalo compacto y no degenerado. Aquí se toma f ₁ , f ₂ ∈ Diff ₊ ( I ) y, dado que ∂ I está fijo puntualmente por todos los difeomorfismos que preservan la orientación, se obtiene una foliación que tiene las dos componentes de ∂ M como hojas. Cuando se forma M' en este caso, se obtiene una variedad foliada con esquinas. En cualquier caso, esta construcción se llama suspensión de un par de difeomorfismos y es una fuente fértil de ejemplos interesantes de foliaciones de codimensión uno.