Morfismo suave

En geometría algebraica , se dice que un morfismo entre esquemas es suave si ${\displaystyle f:X\to S}$

• (i) es localmente de presentación finita
• (ii) es plana , y
• (iii) para cada punto geométrico la fibra es regular.${\displaystyle {\overline {s}}\to S}$${\displaystyle X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}}$

(iii) significa que cada fibra geométrica de f es una variedad no singular (si está separada). Por lo tanto, intuitivamente hablando, un morfismo suave da una familia plana de variedades no singulares.

Si S es el espectro de un campo algebraicamente cerrado y f es de tipo finito, entonces se recupera la definición de variedad no singular.

Una variedad singular se denomina alisable si se puede incluir en una familia plana de modo que las fibras cercanas sean todas lisas. A esta familia se la denomina alisado de la variedad.

Existen muchas definiciones equivalentes de un morfismo suave. Sea localmente de presentación finita. Entonces, las siguientes son equivalentes. ${\displaystyle f:X\to S}$

1. f es suave.
2. f es formalmente suave (ver abajo).
3. f es plana y el haz de diferenciales relativos está localmente libre de rango igual a la dimensión relativa de .${\displaystyle \Omega_{X/S}}$${\estilo de visualización X/S}$
4. Para cualquier , existe un entorno de x y un entorno de tal que y el ideal generado por los m -por- m menores de es B .${\displaystyle x\en X}$${\displaystyle \operatorname {Especificación} B}$${\displaystyle \operatorname {Especificación} A}$${\estilo de visualización f(x)}$${\displaystyle B=A[t_{1},\puntos ,t_{n}]/(P_{1},\puntos ,P_{m})}$${\displaystyle (\parcial P_{i}/\parcial t_{j})}$
5. Localmente, f se incluye en donde g es étale.${\displaystyle X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S}$

Un morfismo de tipo finito es étale si y sólo si es suave y cuasi-finito .

Un morfismo suave es estable bajo cambios de base y composición.

Un morfismo suave es universalmente acíclico localmente .

Se supone que los morfismos suaves corresponden geométricamente a inmersiones suaves en geometría diferencial; es decir, son fibraciones suaves localmente triviales sobre algún espacio base (según el teorema de Ehresmann ).

Sea el morfismo de esquemas ${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle {\text{Espec.}}_{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to {\text{Espec.}}(\mathbb {C} )}$

Es suave debido a la condición jacobiana: la matriz jacobiana

${\displaystyle [3x^{2}-1,y]}$

se desvanece en los puntos que tienen una intersección vacía con el polinomio, ya que ${\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}$

que ambos son distintos de cero.

Dado un esquema suave el morfismo de proyección ${\estilo de visualización Y}$

${\displaystyle Y\veces X\a X}$

Es suave.

Todo fibrado vectorial sobre un esquema es un morfismo suave. Por ejemplo, se puede demostrar que el fibrado vectorial asociado de sobre es el espacio proyectivo ponderado menos un punto ${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}$

envío

${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}$

Obsérvese que los paquetes de suma directa se pueden construir utilizando el producto de fibra ${\displaystyle O(k)\omás O(l)}$

${\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}$

Recuerde que una extensión de campo se llama separable si y solo si, dada una presentación. ${\displaystyle K\to L}$

${\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}$

Tenemos que . Podemos reinterpretar esta definición en términos de diferenciales de Kähler de la siguiente manera: la extensión del campo es separable si y solo si ${\displaystyle mcd(f(x),f'(x))=1}$

${\displaystyle \Omega _ {L/K}=0}$

Obsérvese que esto incluye todos los campos perfectos: campos finitos y campos de característica 0.

Si consideramos el álgebra subyacente para una variedad proyectiva , llamada cono afín de , entonces el punto en el origen es siempre singular. Por ejemplo, considere el cono afín de un pliegue quíntico dado por ${\displaystyle {\text{Especificación}}}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización 3}$

${\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$

Entonces la matriz jacobiana está dada por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}$

que se anula en el origen, por lo que el cono es singular. Las hipersuperficies afines como estas son populares en la teoría de la singularidad debido a su álgebra relativamente simple pero a sus ricas estructuras subyacentes.

Otro ejemplo de variedad singular es el cono proyectivo de una variedad suave: dada una variedad suave, su cono proyectivo es la unión de todas las líneas en la intersección de . Por ejemplo, el cono proyectivo de los puntos ${\displaystyle X\subconjunto \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle {\text{Proyección}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

¿es el esquema?

${\displaystyle {\text{Proyección}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

Si miramos el gráfico este es el esquema ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle {\text{Especificación}}\left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}$

y proyectarla hasta la línea afín , ésta es una familia de cuatro puntos que degeneran en el origen. La no singularidad de este esquema también se puede comprobar utilizando la condición jacobiana. ${\displaystyle \mathbb {A}_{Y}^{1}}$

Consideremos la familia plana

${\displaystyle {\text{Espec.}}\left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}}$

Entonces, todas las fibras son lisas, excepto el punto en el origen. Como la suavidad es estable ante cambios de base, esta familia no es lisa.

Por ejemplo, el campo no es separable, por lo que el morfismo asociado de los esquemas no es uniforme. Si observamos el polinomio mínimo de la extensión del campo, ${\displaystyle \mathbb {F}_{p}(t^{p})\to \mathbb {F}_{p}(t)}$

${\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}$

entonces , por lo tanto los diferenciales de Kähler serán distintos de cero. ${\displaystyle df=0}$

Se puede definir la suavidad sin referencia a la geometría. Decimos que un S -esquema X es formalmente suave si para cualquier S -esquema afín T y un subesquema de T dado por un ideal nilpotente, es sobreyectivo donde escribimos . Entonces un morfismo localmente de presentación finita es suave si y solo si es formalmente suave. $Estilo de visualización T_{0}$${\displaystyle X(T)\to X(T_{0})}$${\displaystyle X(T)=\operatorname {Hom}_{S}(T,X)}$

En la definición de "formalmente suave", si reemplazamos sobreyectivo por "biyectivo" (resp. "inyectivo"), entonces obtenemos la definición de formalmente étale (resp. formalmente no ramificado ).

Sea S un esquema y denote la imagen de la función de estructura . El teorema de cambio de base suave establece lo siguiente: sea un morfismo cuasicompacto , un morfismo suave y un haz de torsión en . Si para cada en , es inyectivo, entonces el morfismo de cambio de base es un isomorfismo. ${\displaystyle \operatorname {carácter} (S)}$${\displaystyle S\to \nombre del operador {Espec.} \mathbb {Z} }$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle g:S'\to S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X_{\text{et}}}$${\displaystyle 0\neq p}$${\displaystyle \operatorname {carácter} (S)}$${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g^{*}(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{i}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

• álgebra suave
• incrustación regular
• Mapa formalmente liso

• JS Milne (2012). "Conferencias sobre cohomología Étale"
• JS Milne. Étale cohomology , volumen 33 de Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1980.