teoremas de cambio de base

Si X es un espacio topológico de Hausdorff , S es un espacio de Hausdorff localmente compacto y f es universalmente cerrado (es decir,${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$es un mapa cerrado para cualquier mapa continuo${\displaystyle T\to S}$), luego el mapa de cambios base

${\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

es un isomorfismo. ^{[ 2 ]} En efecto, tenemos: para${\displaystyle s\in S}$,

${\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

y así para${\displaystyle s=g(t)}$

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

Para codificar todos los functores individuales derivados de nivel superior de${\displaystyle f_{*}}$en una sola entidad, la afirmación anterior puede reformularse de manera equivalente diciendo que el mapa de cambios base

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

es un cuasi-isomorfismo .

Las suposiciones de que los espacios involucrados sean de Hausdorff han sido debilitadas por Schnürer y Soergel (2016) .

Lurie (2009) ha extendido el teorema anterior a la cohomología de haces no abelianos , es decir, haces que toman valores en conjuntos simpliciales (a diferencia de los grupos abelianos ). ^{[ 3 ]}

Si el mapa f no es cerrado, el mapa de cambio de base no tiene por qué ser un isomorfismo, como muestra el siguiente ejemplo (los mapas son las inclusiones estándar)  :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

Por un lado${\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$siempre es cero, pero si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un sistema local en${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$correspondiente a una representación del grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(X)}$(que es isomorfo a Z ), entonces${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}$se pueden calcular como los invariantes de la acción de monodromía de${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$en el tallo${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$(para cualquier${\displaystyle x\neq 0}$), que no tienen por qué desaparecer.

Para obtener un resultado de cambio de base, el functor${\displaystyle f_{*}}$(o su functor derivado) debe ser reemplazado por la imagen directa con soporte compacto.${\displaystyle Rf_{!}}$. Por ejemplo, si${\displaystyle f:X\to S}$es la inclusión de un subconjunto abierto, como en el ejemplo anterior,${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$es la extensión por cero, es decir, sus tallos están dados por

${\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}}$

En general, hay un mapa${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}$, que es un cuasi-isomorfismo si f es propia, pero no en general. El teorema de cambio de base propia mencionado anteriormente tiene la siguiente generalización: existe un cuasi-isomorfismo ^{[ 4 ]}

${\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}$

Los teoremas de cambio de base apropiados para haces cuasi-coherentes se aplican en la siguiente situación:${\displaystyle f:X\to S}$es un morfismo propio entre esquemas noetherianos y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un haz coherente que es plano sobre S (es decir,${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$es plano sobre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}$). En esta situación, se cumplen las siguientes afirmaciones: ^{[ 5 ]}

• "Teorema de semicontinuidad":
  • Para cada${\displaystyle p\geq 0}$, la función${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$es semicontinua superior .
  • La función${\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}$es localmente constante, donde${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}$denota la característica de Euler .
• " Teorema de Grauert ": si S es reducido y conexo , entonces para cada${\displaystyle p\geq 0}$Los siguientes son equivalentes
  • ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$es constante.
  • ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$es localmente gratuito y el mapa natural

${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

es un isomorfismo para todos${\displaystyle s\in S}$.

Además, si se cumplen estas condiciones, entonces el mapa natural

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

es un isomorfismo para todos${\displaystyle s\in S}$.

• Si, para algún p ,${\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}$a pesar de${\displaystyle s\in S}$, luego el mapa natural

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

es un isomorfismo para todos${\displaystyle s\in S}$.

Como el tallo de la gavilla${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$está estrechamente relacionada con la cohomología de la fibra del punto bajo f , esta afirmación se parafrasea diciendo que "la cohomología conmuta con la extensión de la base". ^{[ 6 ]}

Estas afirmaciones se demuestran utilizando el siguiente hecho, donde además de las suposiciones anteriores${\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}$: existe un complejo finito${\displaystyle 0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0}$de A -módulos proyectivos finitamente generados y un isomorfismo natural de functores

${\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0}$

en la categoría de${\displaystyle A}$-álgebras.

El mapa de cambios base

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

es un isomorfismo para un haz cuasi-coherente${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(en${\displaystyle X}$), siempre que el mapa${\displaystyle g:S'\rightarrow S}$es plano (junto con una serie de condiciones técnicas: f debe ser un morfismo separado de tipo finito , los esquemas involucrados deben ser noetherianos). ^{[ 7 ]}

La geometría algebraica derivada proporciona un medio para abandonar la suposición de planitud, siempre que el retroceso${\displaystyle X'}$se reemplaza por el retroceso homotópico . En el caso más sencillo cuando X , S y${\displaystyle S'}$son afines (con la notación anterior), el retroceso homotópico viene dado por el producto tensorial derivado

${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}$

Entonces, suponiendo que los esquemas (o, más generalmente, los esquemas derivados) involucrados son cuasi-compactos y cuasi-separados, la transformación natural

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}$

es un cuasi-isomorfismo para cualquier haz cuasi-coherente, o más generalmente un complejo de haces cuasi-coherentes. ^{[ 9 ]} El resultado de cambio de base plana mencionado anteriormente es de hecho un caso especial ya que para g plano el retroceso homotópico (que está dado localmente por un producto tensorial derivado) coincide con el retroceso ordinario (dado localmente por el producto tensorial no derivado), y dado que el retroceso a lo largo de los mapas planos g y g' se derivan automáticamente (es decir,${\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}$). Los supuestos auxiliares relacionados con la independencia de Tor o la amplitud de Tor en el teorema de cambio de base anterior también se vuelven innecesarios.

En la forma anterior, el cambio de base ha sido extendido por Ben-Zvi, Francis y Nadler (2010) a la situación en la que X , S y S' son pilas (posiblemente derivadas) , siempre que la aplicación f sea una aplicación perfecta (lo que incluye el caso en que f es una aplicación cuasicompacta y cuasi-separada de esquemas, pero también incluye pilas más generales, como la pila de clasificación BG de un grupo algebraico en característica cero).

El cambio de base propio también se cumple en el contexto de variedades complejas y espacios analíticos complejos . ^{[ 10 ]} El teorema sobre funciones formales es una variante del cambio de base propio, donde el retroceso se reemplaza por una operación de completación .

El principio de balancín y el teorema del cubo , que son hechos fundamentales en la teoría de las variedades abelianas , son consecuencia del cambio de base propio. ^{[ 11 ]}

Un cambio de base también se cumple para los D-módulos : si X , S , X' y S' son variedades lisas (pero f y g no tienen por qué ser planas o propias, etc.), existe un cuasi-isomorfismo.

${\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}$

dónde${\displaystyle -^{\dagger }}$y${\displaystyle \int }$denotan los functores de imagen inversa y directa para D -módulos. ^{[ 12 ]}

En estrecha analogía con la situación topológica mencionada anteriormente, el mapa de cambio base para una inmersión abierta f ,

${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

no suele ser un isomorfismo. ^{[ 15 ]} En cambio, la extensión por functor cero${\displaystyle f_{!}}$satisface un isomorfismo

${\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

Este hecho y el cambio de base apropiado sugieren definir el functor de imagen directa con soporte compacto para un mapa f mediante

${\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}$

dónde${\displaystyle f=p\circ j}$es una compactificación de f , es decir, una factorización en una inmersión abierta seguida de una aplicación propia. Se necesita el teorema del cambio de base propia para demostrar que esto está bien definido, es decir, independiente (salvo isomorfismo) de la elección de la compactificación. Además, de nuevo por analogía con el caso de haces en un espacio topológico, una fórmula de cambio de base para${\displaystyle g_{*}}$vs.${\displaystyle Rf_{!}}$Esto se cumple para mapas no propios f .

Para el mapa estructural${\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}$de un esquema sobre un campo k , las cohomologías individuales de${\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}$, denotado por${\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}$Se la conoce como cohomología con soporte compacto . Es una variante importante de la cohomología étale usual .

Ideas similares también se utilizan para construir un análogo del functor.${\displaystyle Rf_{!}}$en una teoría de homotopía A ¹ . ^{[ 16 ] [ 17 ]}