transformada de Fourier

Cuando la variable independiente ( ⁠${\displaystyle x}$⁠ ) ​​representa el tiempo (a menudo denotado por ⁠${\displaystyle t}$⁠ ), la variable de transformación ( ⁠${\displaystyle \xi }$⁠ ) ​​representa la frecuencia (a menudo denotada por ⁠${\displaystyle f}$Por ejemplo, si el tiempo tiene la unidad de segundo , entonces la frecuencia tiene la unidad de hercio . La variable de transformación también se puede escribir en términos de frecuencia angular .${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$, con la unidad radianes por segundo.

La sustitución${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$En la ecuación 1 se produce esta convención, donde la función${\displaystyle {\widehat {f}}}$se cambia de etiqueta${\displaystyle {\widehat {f}}_{1}}$:​ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$ A diferencia de la definición de la ecuación 1 , la transformada de Fourier ya no es una transformación unitaria , y hay menos simetría entre las fórmulas para la transformada y su inversa. Esas propiedades se restauran dividiendo la${\displaystyle 2\pi }$factorizar uniformemente entre la transformada y su inversa, lo que lleva a otra convención: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$ Se pueden crear variaciones de las tres convenciones conjugando el núcleo exponencial complejo de la transformada directa e inversa. Los signos deben ser opuestos.

Una función medible${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$Se denomina integrable (de Lebesgue) si la integral de Lebesgue de su valor absoluto es finita: $${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ Si${\displaystyle f}$Si es integrable de Lebesgue, entonces la transformada de Fourier, dada por la ecuación 1 , está bien definida para todo ⁠${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$⁠ . ^{[ 10 ]} Además,${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C_{0}(\mathbb {R} )}$es acotada, uniformemente continua y (por el lema de Riemann-Lebesgue ) se anula en el infinito . Aquí${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$denota el espacio de funciones continuas en${\displaystyle \mathbb {R} }$que se aproximan a 0 cuando x se aproxima a infinito positivo o negativo.

El espacio${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$es el espacio de funciones medibles para las cuales la norma${\displaystyle \|f\|_{1}}$es finito, módulo la relación de equivalencia de igualdad casi en todas partes . La transformada de Fourier en${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$es uno a uno . Sin embargo, no hay una caracterización sencilla de la imagen y, por lo tanto, no hay una caracterización sencilla de la transformada inversa. En particular, la ecuación 2 ya no es válida, ya que se planteó solo bajo la hipótesis de que${\displaystyle f(x)}$era "suficientemente agradable" (por ejemplo,${\displaystyle f(x)}$decae con todos los derivados ).

Mientras que la ecuación 1 define la transformada de Fourier para funciones (de valor complejo) en ⁠${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠ , no está bien definido para otras clases de integrabilidad, sobre todo para el espacio de funciones de cuadrado integrable ⁠${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠ . Por ejemplo, la función${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$está en${\displaystyle L^{2}}$pero no${\displaystyle L^{1}}$y por lo tanto la integral de Lebesgue Eq.1 no existe. Sin embargo, la transformada de Fourier en el subespacio denso${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$admite una extensión continua única a un operador unitario en ⁠${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠ . Esta extensión es importante en parte porque, a diferencia del caso de ⁠${\displaystyle L^{1}}$⁠ , la transformada de Fourier es un automorfismo del espacio ⁠${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$.​

En tales casos, la transformada de Fourier se puede obtener explícitamente regularizando la integral y luego pasando a un límite. En la práctica, la integral a menudo se considera una integral impropia en lugar de una integral de Lebesgue propia, pero a veces para la convergencia es necesario usar el límite débil o el valor principal en lugar de los límites (puntuales) implícitos en una integral impropia. Titchmarsh (1986) y Dym y McKean (1985) dan cada uno tres formas rigurosas de extender la transformada de Fourier a funciones de cuadrado integrable usando este procedimiento. Un principio general al trabajar con la${\displaystyle L^{2}}$La transformada de Fourier es que las combinaciones lineales finitas de gaussianas son densas en${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}}$⁠ , y las diversas características de la transformada de Fourier, como su unitariedad, se infieren fácilmente para las gaussianas. Muchas de las propiedades de la transformada de Fourier se pueden demostrar a partir de dos hechos sobre las gaussianas: ^{[ 11 ]}

• eso${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$es su propia transformada de Fourier; y
• que la integral gaussiana${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi x^{2}}\,dx=1}$.​

Una característica de la${\displaystyle L^{1}}$La transformada de Fourier es que es un homomorfismo de álgebras de Banach de${\displaystyle L^{1}}$equipado con la operación de convolución al álgebra de Banach de funciones continuas bajo la${\displaystyle L^{\infty }}$norma (suprema). Las convenciones elegidas en este artículo son las del análisis armónico , de modo que la transformada de Fourier es unitaria en ⁠${\displaystyle L^{2}}$y un homomorfismo de álgebra de${\displaystyle {1}}$a​​${\displaystyle L^{\infty }}$⁠ , sin renormalizar la medida de Lebesgue. ^{[ 12 ]}

En 1822, Fourier afirmó (véase Joseph Fourier §  La teoría analítica del calor ) que cualquier función, ya sea continua o discontinua, puede expandirse en una serie de senos. ^{[ 13 ]} Ese importante trabajo fue corregido y ampliado por otros para proporcionar la base de las diversas formas de la transformada de Fourier utilizadas desde entonces.

La sinusoide roja se puede describir mediante amplitud máxima (1), pico a pico (2), RMS (3) y longitud de onda (4). Las sinusoides roja y azul tienen una diferencia de fase de θ .

En general, los coeficientes${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$son números complejos, que tienen dos formas equivalentes (véase la fórmula de Euler ): $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$$

El producto con${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$( Ec. 2 ) tiene estas formas: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\[6pt]&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\[6pt]&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}},\end{aligned}}}$$ que transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia .${\displaystyle \xi }$⁠ . Asimismo, la interpretación intuitiva de la ecuación 1 es que multiplicando${\displaystyle f(x)}$por${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$tiene el efecto de restar${\displaystyle \xi }$de cada componente de frecuencia de la función${\displaystyle f(x)}$⁠ . ^{[ nota 5 ]} Solo el componente que estaba en frecuencia${\displaystyle \xi }$puede producir un valor distinto de cero de la integral infinita, porque (al menos formalmente) todos los demás componentes desplazados son oscilatorios y se integran a cero (véase el §  Ejemplo ).

Es notable la facilidad con la que se simplificó el producto utilizando la forma polar, y la facilidad con la que se dedujo la forma rectangular mediante la aplicación de la fórmula de Euler.

La fórmula de Euler introduce la posibilidad de valores negativos .${\displaystyle \xi }$⁠ . La ecuación 1 se define ⁠${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} }$⁠ . Solo ciertos valores complejos${\displaystyle f(x)}$tienen transformaciones${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$⁠ . (Véase Señal analítica ; un ejemplo sencillo es ⁠${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0)}$⁠ .) Pero la frecuencia negativa es necesaria para caracterizar todos los demás valores complejos ⁠${\displaystyle f(x)}$⁠ , que se encuentra en el procesamiento de señales , ecuaciones diferenciales parciales , radar , óptica no lineal , mecánica cuántica y otros.

Para un valor real ⁠${\displaystyle f(x)}$⁠ , la ecuación 1 tiene la propiedad de simetría${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$ (véase §  Conjugación más abajo). Esta redundancia permite que la ecuación 2 distinga${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$desde​${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}}$⁠ . Pero no puede determinar el signo real de ⁠${\displaystyle \xi _{0}}$⁠ , porque${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$y${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$son indistinguibles solo en la línea de los números reales.

La transformada de Fourier de una función periódica no puede definirse directamente mediante la fórmula integral. Para que la integral de la ecuación 1 esté definida, la función debe ser absolutamente integrable . En su lugar, se suele utilizar la serie de Fourier . Es posible extender la definición para incluir funciones periódicas considerándolas como distribuciones temperadas .

Esto permite ver una conexión entre la serie de Fourier y la transformada de Fourier para funciones periódicas que tienen una serie de Fourier convergente . Si${\displaystyle f(x)}$es una función periódica , con periodo ⁠${\displaystyle P}$⁠ , que tiene una serie de Fourier convergente, entonces: $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$$ dónde${\displaystyle c_{n}}$son los coeficientes de la serie de Fourier de ⁠${\displaystyle f}$y​${\displaystyle \delta }$es la función delta de Dirac . En otras palabras, la transformada de Fourier es una función peine de Dirac cuyos dientes se multiplican por los coeficientes de la serie de Fourier.

La transformada de Fourier de una función integrable${\displaystyle f}$se pueden muestrear a intervalos regulares de longitud arbitraria${\displaystyle 1/P}$Estas muestras se pueden deducir de un ciclo de una función periódica .${\displaystyle f_{P}}$⁠ , que tiene coeficientes de serie de Fourier proporcionales a esas muestras según la fórmula de suma de Poisson : $${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} .}$$

La integrabilidad de${\displaystyle f}$asegura que la suma periódica converge. Por lo tanto, las muestras${\displaystyle {\widehat {f}}({\tfrac {k}{P}})}$se puede determinar mediante análisis de series de Fourier: $${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$$

Cuando${\displaystyle f(x)}$tiene soporte compacto ,${\displaystyle f_{P}(x)}$tiene un número finito de términos dentro del intervalo de integración. Cuando${\displaystyle f(x)}$no tiene soporte compacto, evaluación numérica de${\displaystyle f_{P}(x)}$requiere una aproximación, como por ejemplo el ahusamiento${\displaystyle f(x)}$o truncando el número de términos.

La transformada de Fourier tiene las siguientes propiedades básicas: ^{[ 15 ]}

Escala de tiempo

$${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$$ El caso${\displaystyle a=-1}$conduce a la propiedad de inversión temporal : $${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$$

${\displaystyle \scriptstyle f(t)}$

${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {f}}(\omega )}$

${\displaystyle \scriptstyle g(t)}$

${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {g}}(\omega )}$

${\displaystyle \scriptstyle t}$

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

${\displaystyle \scriptstyle t}$

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

La transformada de una función real simétrica par${\displaystyle f(t)=f_{_{\text{RE}}}}$⁠ también es una función de valor real par-simétrica ( ⁠${\displaystyle {\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}}$) . El desfase horario ,${\displaystyle g(t)=g_{_{\text{RE}}}+g_{_{\text{RO}}}}$⁠ , crea un componente imaginario, ⁠${\displaystyle i\ {\widehat {g\ \!}}_{_{\text{IO}}}}$( Véase §  Simetría .)

En algunos casos, la transformada de Fourier puede definirse para funciones no integrables, pero las transformadas de Fourier de funciones integrables poseen varias propiedades importantes.

La transformada de Fourier${\displaystyle {\widehat {f}}}$de cualquier función integrable${\displaystyle f}$es uniformemente continua y ^{[ 17 ] [ 18 ]}$${\displaystyle \left\|{\widehat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$$

Por el lema de Riemann-Lebesgue , ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$$

Sin embargo,${\displaystyle {\widehat {f}}}$no tiene por qué ser integrable. Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función rectangular , que es integrable, es la función sinc , que no es integrable de Lebesgue , porque sus integrales impropias se comportan de forma análoga a la serie armónica alternada , al converger a una suma sin ser absolutamente convergentes .

Generalmente no es posible escribir la transformada inversa como una integral de Lebesgue . Sin embargo, cuando ambas${\displaystyle f}$y${\displaystyle {\widehat {f}}}$son integrables, la igualdad inversa $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$$se cumple para casi todos los x . Como resultado, la transformada de Fourier es inyectiva en L ¹ ( R ) .

Dejemos​${\displaystyle f(x)}$y​​${\displaystyle g(x)}$⁠ sea integrable, y sea ⁠${\displaystyle {\widehat {f}}}$y​​${\displaystyle {\widehat {g}}}$sean sus transformadas de Fourier. Si${\displaystyle f(x)}$y​​${\displaystyle g(x)}$⁠ también son integrables al cuadrado , entonces se cumple la fórmula de Parseval: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$$ donde la barra denota conjugación compleja .

El teorema de Plancherel , que se deduce de lo anterior, establece que ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$$

El teorema de Plancherel permite extender la transformada de Fourier, mediante un argumento de continuidad, a un operador unitario en ⁠${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠ . En ⁠${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠ , esta extensión coincide con la transformada de Fourier original definida en ⁠${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠ , ampliando así el dominio de la transformada de Fourier a ⁠${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )+L^{2}(\mathbb {R} )}$( y, en consecuencia , a${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$para​​${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$El teorema de Plancherel se interpreta en las ciencias como que la transformada de Fourier conserva la energía de la magnitud original. La terminología de estas fórmulas no está del todo estandarizada. El teorema de Parseval se demostró únicamente para series de Fourier y fue demostrado por primera vez por Lyapunov. Sin embargo, la fórmula de Parseval también tiene sentido para la transformada de Fourier, por lo que, aunque en el contexto de esta última fue demostrada por Plancherel, a menudo se la denomina fórmula de Parseval, relación de Parseval o incluso teorema de Parseval.

Consulte la dualidad de Pontryagin para obtener una formulación general de este concepto en el contexto de grupos abelianos localmente compactos.

La transformada de Fourier realiza una conversión entre convolución y multiplicación de funciones. Si${\displaystyle f(x)}$y​​${\displaystyle g(x)}$Son funciones integrables mediante transformadas de Fourier .${\displaystyle {\widehat {f}}}$y​​${\displaystyle {\widehat {g}}(\xi )}$⁠ respectivamente, entonces la transformada de Fourier de la convolución viene dada por el producto de las transformadas de Fourier ⁠${\displaystyle {\widehat {f}}}$y​​${\displaystyle {\widehat {g}}}$( Según otras convenciones para la definición de la transformada de Fourier, puede aparecer un factor constante).

Esto significa que si: $${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$ donde ∗ denota la operación de convolución, entonces: $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\widehat {f}}(\xi )\,{\widehat {g}}(\xi ).}$$

En la teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) , es común interpretar ⁠${\displaystyle g(x)}$como respuesta impulsional deun sistema LTI con entrada${\displaystyle f(x)}$y salida​${\displaystyle h(x)}$⁠ , ya que sustituyendo el impulso unitario por ⁠${\displaystyle f(x)}$⁠ produce ⁠${\displaystyle h(x)=g(x)}$⁠ . En este caso, ⁠${\displaystyle {\widehat {g}}(\xi )}$⁠ representa la respuesta en frecuencia del sistema.

Por el contrario, si${\displaystyle f(x)}$Se puede descomponer como el producto de dos funciones de cuadrado integrable .${\displaystyle p(x)}$y​​${\displaystyle q(x)}$⁠ , entonces la transformada de Fourier de ⁠${\displaystyle f(x)}$Se obtiene mediante la convolución de las transformadas de Fourier correspondientes .${\displaystyle {\widehat {p}}(\xi )}$y​​${\displaystyle {\widehat {q}}(\xi )}$.​

De manera análoga, se puede demostrar que si${\displaystyle h(x)}$⁠ es la correlación cruzada de ⁠${\displaystyle f(x)}$y​​${\displaystyle g(x)}$:​ $${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$$ luego la transformada de Fourier de ⁠${\displaystyle h(x)}$es :$${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,{\widehat {g}}(\xi ).}$$

Como caso especial, la autocorrelación de la función ⁠${\displaystyle f(x)}$es :$${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$$ para qué $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}{\widehat {f}}(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$$

Supongamos que f ( x ) es diferenciable casi en todas partes , y que ambos ⁠${\displaystyle f}$y su derivado${\displaystyle f'}$son integrables ( en${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$) . Entonces, la transformada de Fourier de la derivada viene dada por $${\displaystyle {\widehat {f'}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\widehat {f}}(\xi ).}$$ De forma más general, la transformada de Fourier de la${\displaystyle n}$⁠ derivada ⁠${\displaystyle f^{(n)}}$⁠ se da por $${\displaystyle {\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi ).}$$

Análogamente ,${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )\right\}=(-i2\pi x)^{n}f(x)}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )}$.​

Aplicando la transformada de Fourier y utilizando estas fórmulas, algunas ecuaciones diferenciales ordinarias pueden transformarse en ecuaciones algebraicas, que son mucho más fáciles de resolver. Estas fórmulas también dan lugar a la regla empírica "${\displaystyle f(x)}$es suave si y solo si${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$cae rápidamente a${\displaystyle 0}$para​​${\displaystyle \vert \xi \vert \to \infty }$⁠ ". Utilizando las reglas análogas para la transformada inversa de Fourier, también se puede decir " ⁠${\displaystyle f(x)}$cae rápidamente a${\displaystyle 0}$para​​${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$⁠ si y solo si ⁠${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$es suave."

La transformada de Fourier es una transformada lineal que tiene funciones propias que obedecen a${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi }$⁠ , con ⁠${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$.​

Se encuentra un conjunto de autofunciones al observar que la ecuación diferencial homogénea $${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$$ conduce a autofunciones${\displaystyle \psi (x)}$de la transformada de Fourier${\displaystyle {\mathcal {F}}}$siempre que la forma de la ecuación permanezca invariante bajo la transformada de Fourier. ^{[ nota 6 ]} En otras palabras, cada solución${\displaystyle \psi (x)}$y su transformada de Fourier${\displaystyle {\widehat {\psi }}(\xi )}$obedecen la misma ecuación. Suponiendo la unicidad de las soluciones, cada solución${\displaystyle \psi (x)}$Por lo tanto, debe ser una autofunción de la transformada de Fourier. La forma de la ecuación permanece inalterada bajo la transformada de Fourier si${\displaystyle U(x)}$se puede expandir en una serie de potencias en la que para todos los términos el mismo factor de cualquiera de los dos${\displaystyle \pm 1}$,​​${\displaystyle \pm i}$surge de los factores${\displaystyle i^{n}}$introducido por las reglas de diferenciación al transformar de Fourier la ecuación diferencial homogénea porque este factor puede cancelarse. El más simple permitido${\displaystyle U(x)=x}$conduce a la distribución normal estándar . ^{[ 22 ]}

De forma más general, también se encuentra un conjunto de autofunciones al observar que las reglas de diferenciación implican que la ecuación diferencial ordinaria$${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$$ con${\displaystyle C}$constante y${\displaystyle W(x)}$Al ser una función par no constante, permanece invariante en su forma al aplicar la transformada de Fourier.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$a ambos lados de la ecuación. El ejemplo más sencillo lo proporciona ⁠${\displaystyle W(x)=x^{2}}$⁠ , lo cual es equivalente a considerar la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico . ^{[ 23 ]} Las soluciones correspondientes proporcionan una elección importante de una base ortonormal para L ² ( R ) y están dadas por las funciones de Hermite del "físico" . De manera equivalente, se puede usar $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$$ donde​${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)}$⁠ son los polinomios de Hermite "probabilísticos", definidos como $${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

Bajo esta convención para la transformada de Fourier, tenemos que $${\displaystyle {\widehat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$$

En otras palabras, las funciones de Hermite forman un sistema ortonormal completo de autofunciones para la transformada de Fourier en ⁠${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠ . ^{[ 15 ] [ 24 ]} Sin embargo, esta elección de autofunciones no es única. Debido a${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$Solo hay cuatro autovalores diferentes de la transformada de Fourier (las cuartas raíces de la unidad ).${\displaystyle \pm 1}$y​​${\displaystyle \pm i}$⁠ ) ​​y cualquier combinación lineal de autofunciones con el mismo autovalor da otra autofunción. ^{[ 25 ]} Como consecuencia de esto, es posible descomponer L ² ( R ) como una suma directa de cuatro espacios H ₀ , H ₁ , H ₂ , y H ₃ donde la transformada de Fourier actúa sobre H _k simplemente mediante la multiplicación por i ^k .

Dado que el conjunto completo de funciones de Hermite ψ _n proporciona una resolución de la identidad, diagonalizan el operador de Fourier, es decir, la transformada de Fourier puede representarse mediante una suma de términos ponderados por los autovalores anteriores, y estas sumas pueden sumarse explícitamente: $${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$$

Este enfoque para definir la transformada de Fourier fue propuesto por primera vez por Norbert Wiener . ^{[ 26 ]} Entre otras propiedades, las funciones de Hermite disminuyen exponencialmente rápido tanto en el dominio de la frecuencia como en el del tiempo, y por lo tanto se utilizan para definir una generalización de la transformada de Fourier, a saber, la transformada fraccionaria de Fourier utilizada en el análisis tiempo-frecuencia. ^{[ 27 ]} En física , esta transformada fue introducida por Edward Condon . ^{[ 28 ]} Este cambio de base es posible porque la transformada de Fourier es una transformada unitaria cuando se utilizan las convenciones adecuadas . En consecuencia, bajo las condiciones apropiadas, se puede esperar que resulte de un generador autoadjunto.${\displaystyle N}$vía ^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$$

El operador${\displaystyle N}$es el operador de número del oscilador armónico cuántico escrito como ^{[ 30 ] [ 31 ]}$${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{4\pi }}\left(2\pi x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(2\pi x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+\pi x^{2}-{\frac {1}{2}}.}$$

Puede interpretarse como el generador de transformadas fraccionarias de Fourier para valores arbitrarios de t , y de la transformada continua de Fourier convencional.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$para el valor particular${\displaystyle t=\pi /2}$⁠ , con el núcleo de Mehler implementando la transformación activa correspondiente . Las funciones propias de${\displaystyle N}$son las funciones de Hermite${\displaystyle \psi _{n}(x)}$⁠ , que por lo tanto también son autofunciones de ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.​

Al extender la transformada de Fourier a las distribuciones, el peine de Dirac también resulta ser una autofunción de la transformada de Fourier.

En condiciones adecuadas sobre la función${\displaystyle f}$⁠ , se puede recuperar a partir de su transformada de Fourier ⁠${\displaystyle {\widehat {f}}}$⁠ . En efecto, denotando el operador de transformada de Fourier por ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\widehat {f}}}$⁠ , entonces, para funciones adecuadas, aplicar la transformada de Fourier dos veces simplemente invierte la función: ⁠${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$⁠ , lo que puede interpretarse como "invertir el tiempo". Dado que invertir el tiempo es dos veces periódico, al aplicarlo dos veces se obtiene ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$⁠ , por lo que el operador de transformada de Fourier es cuatriperiódico, y de manera similar la transformada inversa de Fourier se puede obtener aplicando la transformada de Fourier tres veces: ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\widehat {f}}\right)=f}$⁠ . En particular, la transformada de Fourier es invertible (bajo condiciones adecuadas).

Más precisamente, definiendo el operador de paridad${\displaystyle {\mathcal {P}}}$de tal manera que${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$, tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}}$$ Estas igualdades de operadores requieren una definición precisa del espacio de funciones en cuestión, definiendo la igualdad de funciones (¿igualdad en cada punto? ¿igualdad casi en todas partes ?) y la igualdad de operadores; es decir, definiendo la topología del espacio de funciones y del espacio de operadores en cuestión. Esto no se cumple para todas las funciones, pero sí bajo diversas condiciones, que constituyen el contenido de las distintas formulaciones del teorema de inversión de Fourier .

Esta periodicidad cuádruple de la transformada de Fourier es similar a una rotación del plano en 90°, particularmente porque la iteración doble produce una inversión, y de hecho esta analogía se puede precisar. Si bien la transformada de Fourier se puede interpretar simplemente como un intercambio del dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, con la transformada inversa de Fourier intercambiándolos de nuevo, geométricamente se puede interpretar como una rotación de 90° en el dominio tiempo-frecuencia (considerando el tiempo como el ⁠${\displaystyle x}$⁠ eje y frecuencia como el ⁠${\displaystyle y}$⁠ -eje), y la transformada de Fourier puede generalizarse a la transformada fraccionaria de Fourier , que implica rotaciones por otros ángulos. Esto puede generalizarse aún más a transformaciones canónicas lineales , que pueden visualizarse como la acción del grupo lineal especial SL ₂ ( R ) en el plano tiempo-frecuencia, con la forma simpléctica preservada correspondiente al principio de incertidumbre , más abajo. Este enfoque se estudia particularmente en el procesamiento de señales , bajo el análisis tiempo-frecuencia .

El grupo de Heisenberg es un cierto grupo de operadores unitarios en el espacio de Hilbert L ² ( R ) de funciones complejas de cuadrado integrable f en la recta real, generado por las traslaciones ( T _y f )( x ) = f ( x + y ) y la multiplicación por e ^{i 2π ξx} , ( M _ξ f )( x ) = e ^{i 2π ξx} f ( x ) . Estos operadores no conmutan, ya que su conmutador (de grupo) es $${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x),}$$ que es la multiplicación por la constante (independiente de x ) e ^{i 2π ξy} ∈ U (1) (el grupo circular de números complejos de módulo unitario). Como grupo abstracto, el grupo de Heisenberg es el grupo de Lie tridimensional de ternas ( x , ξ , z ) ∈ R ² × U (1) , con la ley de grupo $${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{-2i\pi x_{1}\xi _{2}}\right).}$$

Denotemos el grupo de Heisenberg por H ₁ . El procedimiento anterior describe no solo la estructura del grupo, sino también una representación unitaria estándar de H ₁ en un espacio de Hilbert, que denotamos por ρ  : H ₁ → B ( L ² ( R )) . Definamos el automorfismo lineal de R ² por $${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$$ de modo que J ² = − I . Este J puede extenderse a un automorfismo único de H ₁ : $${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).}$$

Según el teorema de Stone-von Neumann , las representaciones unitarias ρ y ρ ∘ j son unitariamente equivalentes, por lo que existe un único entrelazador W ∈ U ( L ² ( R )) tal que $${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$$ Este operador W es la transformada de Fourier.

Muchas de las propiedades estándar de la transformada de Fourier son consecuencias inmediatas de este marco más general. ^{[ 32 ]} Por ejemplo, el cuadrado de la transformada de Fourier, W ² , es un entrelazador asociado con J ² = − I , y por lo tanto tenemos ( W ² f )( x ) = f (− x ) es la reflexión de la función original f .

La transformada de Fourier f̂ ( ξ ) está relacionada con la transformada de Laplace F ( s ) , que también se utiliza para la solución de ecuaciones diferenciales y el análisis de filtros .

Puede ocurrir que una función f para la cual la integral de Fourier no converge en absoluto en el eje real tenga, sin embargo, una transformada de Fourier compleja definida en alguna región del plano complejo .

Por ejemplo, si f es causal y de crecimiento exponencial, es decir, $${\displaystyle f(t)=0\quad (t<0),\qquad \vert f(t)\vert <Ce^{at}\quad (t\geq 0)}$$ para algunas constantes C , a ≥ 0 , entonces ^{[ 39 ]}$${\displaystyle {\widehat {f}}(i\tau )=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,}$$ convergente para todo 2π τ < − a , es una transformada de Laplace unilateral de f .

La versión unilateral habitual de la transformada de Laplace es $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$$

Si f es causal y las integrales convergen, entonces${\displaystyle {\widehat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau )}$⁠ . Por lo tanto, extender la transformada de Fourier al dominio complejo significa que incluye la transformada de Laplace como un caso especial en el caso de funciones causales, pero con el cambio de variable s = i 2π ξ .

Desde otra perspectiva, quizás más clásica, la transformada de Laplace, por su forma, incluye un término regulador exponencial adicional que le permite converger fuera de la línea imaginaria donde se define la transformada de Fourier. De este modo, puede converger para funciones e integrales con un crecimiento exponencial máximo en la dirección regulada, mientras que la descomposición de Fourier original no puede, lo que permite analizar sistemas con elementos divergentes o críticos. Dos ejemplos concretos del procesamiento lineal de señales son la construcción de redes de filtros paso todo a partir de peines críticos y filtros de mitigación mediante la cancelación exacta de polos y ceros en el círculo unitario. Estos diseños son comunes en el procesamiento de audio, donde se busca una respuesta de fase altamente no lineal, como en la reverberación.

Además, cuando se buscan respuestas de impulso extendidas tipo pulso para el procesamiento de señales, la forma más sencilla de producirlas es mediante un circuito que genere una respuesta temporal divergente y, posteriormente, cancelar dicha divergencia con una respuesta compensatoria y retardada. En este caso, solo el circuito de retardo intermedio admite una descripción de Fourier clásica, lo cual es fundamental. Ambos circuitos adyacentes son inestables y no admiten una descomposición de Fourier convergente. Sin embargo, sí admiten una descripción en el dominio de Laplace, con semiplanos de convergencia compatibles en el plano complejo (o, en el caso discreto, en el plano Z), donde sus efectos se cancelan.

En matemáticas modernas, la transformada de Laplace se incluye convencionalmente dentro de los métodos de Fourier. Ambos, a su vez, se engloban dentro del concepto mucho más general y abstracto de análisis armónico .

Todavía con${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$, si${\displaystyle {\widehat {f}}}$es analítica compleja para a ≤ τ ≤ b y tiene suficiente decaimiento en franjas horizontales, entonces $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi (\sigma +ia)t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi (\sigma +ib)t}\,d\sigma }$$ por el teorema integral de Cauchy . Por lo tanto, la fórmula de inversión de Fourier puede utilizar la integración a lo largo de diferentes líneas, paralelas al eje real. ^{[ 40 ]}