Campos de referencia en la relatividad general

En la relatividad general , un campo de marco (también llamado tétrada o vierbein ) es un conjunto de cuatro campos vectoriales ortonormales puntuales , uno de tipo temporal y tres de tipo espacial , definidos en una variedad lorentziana que se interpreta físicamente como un modelo del espacio-tiempo . El campo vectorial unitario de tipo temporal se suele denotar por${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$y los tres campos vectoriales unitarios de tipo espacial por${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3}}$Todas las cantidades tensoriales definidas en la variedad pueden expresarse utilizando el campo de marco y su campo de co-marco dual .

Los campos de marco fueron introducidos en la relatividad general por Albert Einstein en 1928 ^{[ 1 ]} y por Hermann Weyl en 1929. ^{[ 2 ]}

La notación de índices para tétradas se explica en tétrada (notación de índices) .

Los campos de referencia de una variedad lorentziana siempre corresponden a una familia de observadores ideales inmersos en el espaciotiempo dado; las curvas integrales del campo vectorial unitario de tipo temporal son las líneas de universo de estos observadores, y en cada evento a lo largo de una línea de universo dada, los tres campos vectoriales unitarios de tipo espacial especifican la tríada espacial que lleva el observador. La tríada puede considerarse como la definición de los ejes de coordenadas espaciales de un sistema de referencia local del laboratorio , que es válido muy cerca de la línea de universo del observador.

En general, las líneas de universo de estos observadores no tienen por qué ser geodésicas temporales . Si alguna de las líneas de universo se desvía de una trayectoria geodésica en alguna región, podemos pensar en los observadores como partículas de prueba que se aceleran mediante motores de cohete ideales con un empuje igual a la magnitud de su vector de aceleración . Alternativamente, si nuestro observador está unido a una partícula de materia en una esfera de fluido en equilibrio hidrostático , esta partícula de materia se acelerará hacia afuera por el efecto neto de la presión que sostiene la esfera de fluido contra la atracción de su propia gravedad. Otras posibilidades incluyen un observador unido a una partícula de prueba cargada libre en una solución de electrovacío , que por supuesto se acelerará por la fuerza de Lorentz , o un observador unido a una partícula de prueba giratoria , que puede acelerarse por una fuerza de espín-espín.

Es importante reconocer que los marcos son objetos geométricos . Es decir, los campos vectoriales tienen sentido (en una variedad diferenciable) independientemente de la elección de la carta de coordenadas , y (en una variedad lorentziana), también lo tienen las nociones de ortogonalidad y longitud. Por lo tanto, al igual que los campos vectoriales y otras magnitudes geométricas, los campos de marco pueden representarse en diversas cartas de coordenadas. Los cálculos de las componentes de magnitudes tensoriales, con respecto a un marco dado, siempre darán el mismo resultado, independientemente de la carta de coordenadas utilizada para representar dicho marco.

Estos campos son necesarios para escribir la ecuación de Dirac en el espaciotiempo curvo .

Para escribir un marco, es necesario elegir una carta de coordenadas en la variedad lorentziana. Luego, cada campo vectorial en la variedad se puede escribir como una combinación lineal de los cuatro campos vectoriales de la base de coordenadas :

${\displaystyle {\vec {X}}=X^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Aquí se utiliza la convención de suma de Einstein , y los campos vectoriales se consideran operadores diferenciales lineales de primer orden , y los componentes${\displaystyle X^{\mu }}$A menudo se les llama componentes contravariantes . Esto sigue las convenciones de notación estándar para secciones de un fibrado tangente . Las notaciones alternativas para los campos vectoriales de la base de coordenadas de uso común son:${\displaystyle \partial /\partial x^{\mu }\equiv \partial _{x^{\mu }}\equiv \partial _{\mu }.}$

En particular, los campos vectoriales en el marco se pueden expresar de esta manera:

${\displaystyle {\vec {e}}_{a}={e_{a}}^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Al "diseñar" un marco, es necesario asegurarse, utilizando la métrica dada , de que los cuatro campos vectoriales sean ortonormales en todas partes.

Los textos más modernos adoptan la notación${\displaystyle \mathbf {g} _ {\mu }}$para${\displaystyle \partial _{x^{\mu }}}$y${\displaystyle \gamma _{a}}$o${\displaystyle \sigma _{a}}$para${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$Esto permite el ingenioso truco visual de escribir la métrica del espacio-tiempo como el producto exterior de los vectores tangentes de coordenadas:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {g} _{\mu }\otimes \mathbf {g} _{\nu }}$

y la métrica de Minkowski en espacio plano como el producto de las gammas:

${\displaystyle \eta _{ab}=\gamma _{a}\otimes \gamma _{b}}$

La elección de${\displaystyle \gamma _{a}}$para la notación es una fusión intencional con la notación utilizada para las matrices de Dirac ; permite la${\displaystyle \gamma _{a}}$deben tomarse no solo como vectores, sino como elementos de un álgebra, el álgebra del espacio-tiempo . Usado adecuadamente, esto puede simplificar parte de la notación utilizada al escribir una conexión de espín .

Una vez adoptada una signatura, por dualidad , cada vector de una base tiene un covector dual en la cobase y viceversa. Por lo tanto, cada campo de marco está asociado con un campo de comarco único , y viceversa; un campo de comarco es un conjunto de cuatro secciones ortogonales del fibrado cotangente .

Alternativamente, el tensor métrico puede especificarse escribiendo un coframe en términos de una base de coordenadas y estipulando que el tensor métrico viene dado por

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{i=1}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},}$

dónde${\displaystyle \otimes }$denota el producto tensorial . Esto es simplemente una forma elegante de decir que el coframe es ortonormal . Ya sea que se use para obtener el tensor métrico después de escribir el marco (y pasarlo al coframe dual), o comenzando con el tensor métrico y usándolo para verificar que un marco se ha obtenido por otros medios, siempre debe cumplirse.

El campo de vierbein,${\displaystyle e_{\ a}^{\mu }}$, tiene dos tipos de índices:${\displaystyle \mu \,}$etiquetas la coordenada general del espacio-tiempo y${\displaystyle a\,}$Etiqueta las coordenadas del espaciotiempo de Lorentz local o las coordenadas del laboratorio local.

El campo de vierbein o campos de marcos pueden considerarse como la "raíz cuadrada de la matriz" del tensor métrico ,${\displaystyle g^{\mu \nu }\,}$, puesto que en una base de coordenadas,

${\displaystyle g^{\mu \nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ b}^{\nu }\eta ^{ab}\,}$

dónde${\displaystyle \eta ^{ab}\,}$es la métrica de Lorentz .

Los índices de Lorentz locales se elevan y se desnivelan con la métrica de Lorentz del mismo modo que las coordenadas generales del espacio-tiempo se elevan y se desnivelan con el tensor métrico. Por ejemplo:

${\displaystyle T^{a}=\eta ^{ab}T_{b}.}$

El campo vierbein permite la conversión entre el espaciotiempo y los índices de Lorentz locales. Por ejemplo:

${\displaystyle T_{a}=e_{\ a}^{\mu }T_{\mu }.}$

El propio campo de vierbein puede manipularse de la misma manera:

${\displaystyle e_{\ a}^{\nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ \mu }^{\nu }\,}$, desde${\displaystyle e_{\ \mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$

Y estos se pueden combinar.

${\displaystyle T^{a}=e_{\mu }^{\ a}T^{\mu }.}$

Algunos ejemplos más: El espaciotiempo y las coordenadas de Lorentz locales se pueden combinar:

${\displaystyle T^{\mu a}=e_{\nu }^{\ a}T^{\mu \nu }.}$

Las coordenadas de Lorentz locales se transforman de manera diferente a las coordenadas generales del espacio-tiempo. Bajo una transformación de coordenadas general, tenemos:

${\displaystyle T'^{\mu a}={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}T^{\nu a}}$

mientras estamos bajo una transformación local de Lorentz tenemos:

${\displaystyle T'^{\mu a}=\Lambda (x)_{\ b}^{a}T^{\mu b}.}$

Los vectores base de coordenadas poseen la propiedad especial de que sus corchetes de Lie por pares se anulan. Excepto en regiones localmente planas, al menos algunos corchetes de Lie de campos vectoriales de un sistema de referencia no se anularán. El bagaje resultante necesario para realizar cálculos con ellos es aceptable, ya que los componentes de objetos tensoriales con respecto a un sistema de referencia (pero no con respecto a una base de coordenadas) tienen una interpretación directa en términos de mediciones realizadas por la familia de observadores ideales correspondientes a dicho sistema.

Los vectores base de coordenadas pueden ser nulos , lo cual, por definición, no puede ocurrir con los vectores del marco de referencia.

Algunos sistemas de referencia son más convenientes que otros. Particularmente en soluciones de vacío o electrovacío , la experiencia física de los observadores inerciales (que no sienten fuerzas) puede ser de especial interés. La caracterización matemática de un sistema de referencia inercial es muy simple: las curvas integrales del campo vectorial unitario de tipo temporal deben definir una congruencia geodésica , o dicho de otro modo, su vector de aceleración debe anularse.

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}=0}$

También suele ser deseable asegurar que la tríada espacial que lleva cada observador no rote . En este caso, la tríada puede considerarse giroestabilizada . El criterio para un sistema de referencia inercial sin rotación (NSI) es, de nuevo, muy sencillo:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j}=0,\;\;j=0\dots 3}$

Esto significa que, a medida que nos movemos a lo largo de la línea de universo de cada observador, su tríada espacial se transporta en paralelo . Los marcos inerciales sin rotación ocupan un lugar especial en la relatividad general, porque son lo más cercano que podemos obtener en una variedad lorentziana curva a los marcos de Lorentz utilizados en la relatividad especial (estos son marcos inerciales especiales sin rotación en el vacío de Minkowski ).

En términos más generales, si la aceleración de nuestros observadores no es cero,${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}\neq 0}$, podemos reemplazar las derivadas covariantes

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j},\;j=1\dots 3}$

con las derivadas de Fermi-Walker (proyectadas espacialmente) para definir un marco sin espín .

Dada una variedad lorentziana, podemos encontrar infinitos campos de referencia, incluso si requerimos propiedades adicionales como el movimiento inercial. Sin embargo, un campo de referencia dado podría estar definido solo en una parte de la variedad.

Resultará instructivo considerar con cierto detalle algunos ejemplos sencillos. Consideremos el famoso vacío de Schwarzschild , que modela el espacio-tiempo fuera de un objeto masivo aislado, sin rotación y con simetría esférica, como una estrella. En la mayoría de los libros de texto, el tensor métrico se escribe en términos de una carta esférica polar estática, como sigue:

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2m/r)\,dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-2m/r}}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;2m<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

De manera más formal, el tensor métrico puede expandirse con respecto a la cobase de coordenadas como

${\displaystyle g=-(1-2m/r)\,dt\otimes dt+{\frac {1}{1-2m/r}}\,dr\otimes dr+r^{2}\,d\theta \otimes d\theta +r^{2}\sin(\theta )^{2}\,d\phi \otimes d\phi }$

Se puede obtener un marco conjunto a partir de esta expresión:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\sqrt {1-2m/r}}\,dt,\;\sigma ^{1}={\frac {dr}{\sqrt {1-2m/r}}},\;\sigma ^{2}=rd\theta ,\;\sigma ^{3}=r\sin(\theta )d\phi }$

Para comprobar que este coframe realmente corresponde al tensor métrico de Schwarzschild, simplemente inserte este coframe en

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

El marco dual es el coframe inverso como se muestra a continuación: (el marco dual también se transpone para mantener el índice local en la misma posición).

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-2m/r}}}\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\partial _{r},\;{\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\partial _{\theta },\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\partial _{\phi }}$

(El signo más en${\displaystyle \sigma ^{0}}$garantiza que${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$( es apuntando al futuro ). Este es el marco que modela la experiencia de los observadores estáticos que utilizan motores de cohete para "flotar" sobre el objeto masivo . El empuje que requieren para mantener su posición viene dado por la magnitud del vector de aceleración.

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}={\frac {m/r^{2}}{\sqrt {1-2m/r}}}\,{\vec {e}}_{1}}$

Esto apunta radialmente hacia afuera, ya que los observadores necesitan acelerar alejándose del objeto para evitar caer hacia él. Por otro lado, las derivadas de Fermi proyectadas espacialmente de los vectores base espaciales (con respecto a${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$) desaparecen, por lo que este es un marco que no gira.

Ahora se pueden calcular los componentes de varias cantidades tensoriales con respecto a nuestro marco de referencia y su co-marco dual.

Por ejemplo, el tensor de marea para nuestros observadores estáticos se define utilizando la notación tensorial (para una base de coordenadas) como

${\displaystyle E[X]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

donde escribimos${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$para evitar sobrecargar la notación. Sus únicos componentes distintos de cero con respecto a nuestro coframe resultan ser

${\displaystyle E[X]_{11}=-2m/r^{3},\;E[X]_{22}=E[X]_{33}=m/r^{3}}$

Los componentes de la base de coordenadas correspondientes son

${\displaystyle E[X]_{rr}=-2m/r^{3}/(1-2m/r),\;E[X]_{\theta \theta }=m/r,\;E[X]_{\phi \phi }=m\sin(\theta )^{2}/r}$

(Una breve nota sobre la notación: muchos autores colocan circunflejos sobre los índices abstractos que se refieren a un marco. Al escribir componentes específicos , es conveniente denotar los componentes del marco por 0,1,2,3 y los componentes de coordenadas por${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$. Dado que una expresión como${\displaystyle S_{ab}=36m/r}$No tiene sentido como ecuación tensorial , no debería haber posibilidad de confusión.

Comparar el tensor de mareas${\displaystyle \Phi }$de la gravedad newtoniana, que es la parte sin traza del hessiano del potencial gravitatorio.${\displaystyle U}$. Utilizando la notación tensorial para un campo tensorial definido en el espacio euclidiano tridimensional , esto se puede escribir

${\displaystyle \Phi _{ij}=U_{,ij}-{\frac {1}{3}}{U^{,k}}_{,k}\,\eta _{ij}}$

El lector puede querer analizar esto en detalle (nótese que el término traza desaparece idénticamente cuando U es armónico) y comparar los resultados con el siguiente enfoque elemental: podemos comparar las fuerzas gravitacionales sobre dos observadores cercanos que se encuentran en la misma línea radial:

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

Dado que al hablar de tensores estamos tratando con álgebra multilineal , conservamos solo los términos de primer orden, por lo que${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$De manera similar, podemos comparar la fuerza gravitatoria sobre dos observadores cercanos que se encuentran en la misma esfera.${\displaystyle r=r_{0}}$. Utilizando trigonometría elemental y la aproximación de ángulo pequeño, encontramos que los vectores de fuerza difieren en un vector tangente a la esfera que tiene magnitud

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

Al utilizar la aproximación de ángulo pequeño, hemos ignorado todos los términos de orden${\displaystyle O(h^{2})}$, por lo que los componentes tangenciales son${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$Aquí nos referimos al marco obvio obtenido a partir del mapa esférico polar para nuestro espacio euclidiano tridimensional:

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Claramente, los componentes de coordenadas${\displaystyle E[X]_{\theta \theta },\,E[X]_{\phi \phi }}$Los cálculos anteriores ni siquiera se ajustan a la escala correcta, por lo que claramente no pueden corresponder a lo que un observador medirá, ni siquiera de forma aproximada. (Casualmente, las componentes del tensor de marea newtoniano coinciden exactamente con las componentes del tensor de marea relativista que escribimos anteriormente).

Para encontrar un marco inercial, podemos elevar nuestro marco estático en el${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$dirección por un parámetro de impulso indeterminado (dependiendo de la coordenada radial), calcular el vector de aceleración del nuevo marco indeterminado, igualarlo a cero y resolver para el parámetro de impulso desconocido. El resultado será un marco que podemos usar para estudiar la experiencia física de los observadores que caen libremente y radialmente hacia el objeto masivo. Al elegir adecuadamente una constante de integración, obtenemos el marco de los observadores de Lemaître , que caen desde el reposo en el infinito espacial . (Esta frase no tiene sentido, pero el lector sin duda no tendrá dificultad en comprender nuestro significado). En la carta esférica polar estática, este marco se obtiene a partir de las coordenadas de Lemaître y se puede escribir como

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\frac {1}{1-2m/r}}\,\partial _{t}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}-{\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Tenga en cuenta que ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\neq {\vec {f}}_{0},\;{\vec {e}}_{1}\neq {\vec {f}}_{1}}$y que${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$"se inclina hacia adentro", como debe ser, ya que sus curvas integrales son geodésicas de tipo temporal que representan las líneas de universo de los observadores que caen hacia adentro . De hecho, dado que las derivadas covariantes de los cuatro vectores base (tomadas con respecto a${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$) desaparecen idénticamente, nuestro nuevo marco es un marco inercial que no gira .

Si nuestro objeto masivo es de hecho un agujero negro (no giratorio) , probablemente deseamos seguir la experiencia de los observadores de Lemaître mientras caen a través del horizonte de sucesos en${\displaystyle r=2m}$Dado que las coordenadas esféricas polares estáticas tienen una singularidad de coordenadas en el horizonte, necesitaremos cambiar a una carta de coordenadas más apropiada. La opción más simple posible es definir una nueva coordenada de tiempo mediante

${\displaystyle T(t,r)=t-\int {\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,dr=t+2{\sqrt {2mr}}+2m\log \left({\frac {{\sqrt {r}}-{\sqrt {2m}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {2m}}}}\right)}$

Esto da como resultado el gráfico de Painlevé . El nuevo elemento de línea es

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+\left(dr+{\sqrt {2m/r}}\,dT\right)^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <T<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Con respecto al gráfico de Painlevé, el marco de Lemaître es

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Nótese que su tríada espacial se parece exactamente al marco para el espacio euclidiano tridimensional que mencionamos anteriormente (cuando calculamos el tensor de marea newtoniano). De hecho, las hipercortes espaciales${\displaystyle T=T_{0}}$¡Resulta ser localmente isométrico al espacio euclidiano plano tridimensional! (Esta es una propiedad notable y bastante especial del vacío de Schwarzschild; la mayoría de los espaciotiempos no admiten una división en secciones espaciales planas).

El tensor de marea tomado con respecto a los observadores de Lemaître es

${\displaystyle E[Y]_{ab}=R_{ambn}\,Y^{m}\,Y^{n}}$

donde escribimos${\displaystyle Y={\vec {f}}_{0}}$para evitar sobrecargar la notación. Este es un tensor diferente al que obtuvimos anteriormente, porque se define utilizando una familia de observadores diferente . No obstante, sus componentes no nulas resultan familiares:${\displaystyle E[Y]_{11}=-2m/r^{3},\,E[Y]_{22}=E[Y]_{33}=m/r^{3}}$(Esta es, de nuevo, una propiedad bastante especial del vacío de Schwarzschild).

Nótese que simplemente no hay forma de definir observadores estáticos sobre o dentro del horizonte de sucesos. Por otro lado, los observadores de Lemaître tampoco están definidos en toda la región exterior cubierta por la carta esférica polar estática, por lo que en estos ejemplos, ni el marco de Lemaître ni el marco estático están definidos en toda la variedad.

De la misma manera que encontramos a los observadores de Lemaître, podemos impulsar nuestro marco estático en el${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$dirección por un parámetro indeterminado (que depende de la coordenada radial), calcular el vector de aceleración y exigir que este se anule en el plano ecuatorial.${\displaystyle \theta =\pi /2}$El nuevo marco de Hagihara describe la experiencia física de los observadores en órbitas circulares estables alrededor de nuestro objeto masivo. Aparentemente, fue discutido por primera vez por el astrónomo Yusuke Hagihara .

En el mapa esférico polar estático, el marco de Hagihara es

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

que en el plano ecuatorial se convierte en

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

El tensor de mareas${\displaystyle E[Z]_{ab}}$dónde${\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {h}}_{0}}$resulta estar dado (en el plano ecuatorial) por

${\displaystyle E[Z]_{11}=-{\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {2-3m/r}{1-2m/r}}=-{\frac {2m}{r^{3}}}-{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{22}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {1}{1-3m/r}}=-{\frac {m}{r^{3}}}+{\frac {3m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{33}={\frac {m}{r^{3}}}}$

Así, en comparación con un observador estático que permanece suspendido en un radio de coordenadas determinado, un observador de Hagihara en una órbita circular estable con el mismo radio de coordenadas medirá fuerzas de marea radiales de magnitud ligeramente mayor y fuerzas de marea transversales que ya no son isotrópicas (pero sí ligeramente mayores en dirección ortogonal a la dirección del movimiento).

Tenga en cuenta que el marco de Hagihara solo está definido en la región.${\displaystyle r>3m}$De hecho, las órbitas circulares estables solo existen en${\displaystyle r>6m}$, por lo que el marco no debe usarse dentro de este lugar.

El cálculo de las derivadas de Fermi muestra que el campo del marco dado está, de hecho, girando con respecto a un marco giroestabilizado. La razón principal es fácil de detectar: ​​en este marco, cada observador de Hagihara mantiene sus vectores espaciales alineados radialmente , por lo que${\displaystyle {\vec {h}}_{1},\;{\vec {h}}_{3}}$girar sobre${\displaystyle {\vec {h}}_{2}}$mientras el observador orbita alrededor del objeto masivo central. Sin embargo, después de corregir esta observación, aún persiste una pequeña precesión del eje de giro de un giroscopio que lleva un observador Hagihara; este es el efecto de precesión de De Sitter (también llamado efecto de precesión geodésica ).

Este artículo se ha centrado en la aplicación de los marcos a la relatividad general, y en particular en su interpretación física. Aquí describimos brevemente el concepto general. En una variedad riemanniana o pseudoriemanniana n - dimensional , un campo de marco es un conjunto de campos vectoriales ortonormales que forman una base para el espacio tangente en cada punto de la variedad. Esto es posible globalmente de forma continua si y solo si la variedad es paralelizable . Como antes, los marcos pueden especificarse en términos de una base de coordenadas dada, y en una región no plana, algunos de sus corchetes de Lie por pares no se anularán.

De hecho, dado cualquier espacio de producto interno${\displaystyle V}$, podemos definir un nuevo espacio que consta de todas las tuplas de bases ortonormales para${\displaystyle V}$Aplicando esta construcción a cada espacio tangente se obtiene el fibrado de marcos ortonormal de una variedad (pseudo)riemanniana, y un cuerpo de marcos es una sección de este fibrado. De forma aún más general, podemos considerar fibrados de marcos asociados a cualquier fibrado vectorial , o incluso fibrados de fibras principales arbitrarios . La notación se vuelve un poco más compleja porque es más difícil evitar distinguir entre índices que se refieren a la base e índices que se refieren a la fibra. Muchos autores hablan de componentes internas cuando se refieren a componentes indexadas por la fibra.

• Soluciones exactas en la relatividad general
• Georges Lemaître
• Karl Schwarzschild
• Marco móvil
• Pablo Painlevé
• formalismo de tétradas
• Yusuke Hagihara

• Manuel Tecchiolli (2019). "Sobre las matemáticas del formalismo de coframe y la teoría de Einstein-Cartan: una breve revisión" . Universe . 5(10) (Gravedad de torsión): 206. arXiv : 2008.08314 . Bibcode : 2019Univ....5..206T . doi : 10.3390/universe5100206 .
• Flanders, Harley (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-66169-5.Consulte el Capítulo IV para los marcos en E ³ y luego el Capítulo VIII para los campos de marcos en variedades riemannianas . Este libro no trata específicamente las variedades lorentzianas, pero con estos conocimientos previos, el lector estará bien preparado para la siguiente cita.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.En este libro, un campo de marco (campo de co-marco) se denomina base anholonómica de vectores (covectores) . La información esencial se encuentra dispersa, pero puede localizarse fácilmente mediante el extenso índice.
• Landau, LD; Lifschitz, EF (1980). Teoría clásica de campos (4.ª ed.) . Londres: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.En este libro, un cuerpo de marcos se denomina tétrada (que no debe confundirse con el término estándar actual tétrada NP utilizado en el formalismo de Newman-Penrose ). Véase la Sección 98 .
• De Felice, F.; Clarke, CJ (1992). Relatividad en variedades curvas . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42908-0.{{cite book}}CS1 maint: ubicación del editor ( enlace ) Consulte el Capítulo 4 para obtener información sobre marcos y co-marcos. Si necesita más información sobre los campos de marco, ¡este podría ser un buen lugar para buscar!