Producto gratuito

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el producto libre es una operación que toma dos grupos .${\displaystyle G}$y​​${\displaystyle H}$y construye un nuevo grupo${\displaystyle G*H}$⁠ . El resultado contiene ambos ⁠${\displaystyle G}$y​​${\displaystyle H}$⁠ como subgrupos , es generado por los elementos de estos subgrupos, y es el grupo “ universal ” que posee estas propiedades, en el sentido de que cualesquiera dos homomorfismos de ⁠${\displaystyle G}$y​​${\displaystyle H}$en un grupo${\displaystyle K}$⁠ factorizar de forma única a través de un homomorfismo de ⁠${\displaystyle G*H}$a​​${\displaystyle K}$⁠ . A menos que uno de los grupos ⁠${\displaystyle G}$y​​${\displaystyle H}$Es trivial, el producto libre es siempre infinito. La construcción de un producto libre es similar en esencia a la construcción de un grupo libre (el grupo universal con un conjunto dado de generadores).

El producto libre es el coproducto en la categoría de grupos . Es decir, el producto libre desempeña en la teoría de grupos el mismo papel que la unión disjunta en la teoría de conjuntos , o que la suma directa en la teoría de módulos . Aunque los grupos sean conmutativos, su producto libre no lo es, a menos que uno de ellos sea el grupo trivial . Por lo tanto, el producto libre no es el coproducto en la categoría de grupos abelianos .

El producto libre es importante en topología algebraica debido al teorema de van Kampen , que establece que el grupo fundamental de la unión de dos espacios topológicos conexos por caminos cuya intersección también es conexa por caminos es siempre un producto libre amalgamado de los grupos fundamentales de los espacios. En particular, el grupo fundamental de la suma de cuñas de dos espacios (es decir, el espacio obtenido al unir dos espacios en un solo punto) es, bajo ciertas condiciones dadas en el teorema de Seifert van Kampen, el producto libre de los grupos fundamentales de los espacios. ^{[ 1 ]}

Los productos libres también son importantes en la teoría de Bass-Serre , el estudio de grupos que actúan mediante automorfismos sobre árboles . Específicamente, cualquier grupo que actúe con estabilizadores de vértices finitos sobre un árbol puede construirse a partir de grupos finitos mediante productos libres amalgamados y extensiones HNN . Utilizando la acción del grupo modular sobre una determinada teselación del plano hiperbólico , se deduce de esta teoría que el grupo modular es isomorfo al producto libre de grupos cíclicos de órdenes 4 y 6 amalgamados sobre un grupo cíclico de orden 2.

Si​${\displaystyle G}$y​​${\displaystyle H}$son grupos, una palabra sobre${\displaystyle G}$y​​${\displaystyle H}$es una secuencia de la forma${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$, donde cada uno${\displaystyle s_{i}}$es un elemento de${\displaystyle G}$o un elemento de${\displaystyle H}$⁠ . Dicha palabra puede reducirse utilizando las siguientes operaciones:

• eliminar una instancia del elemento identidad (de cualquiera de los dos )${\displaystyle G}$o​​${\displaystyle H}$) , o
• reemplazar un par${\displaystyle g_{1}g_{2}}$por su producto en${\displaystyle G}$⁠ , o un par ⁠${\displaystyle h_{1}h_{2}}$por su producto en${\displaystyle H}$⁠ .

Cada palabra reducida es o bien la secuencia vacía, o bien contiene exactamente un elemento de ⁠${\displaystyle G}$o​​${\displaystyle H}$⁠ , o es una secuencia alternada de elementos de ⁠${\displaystyle G}$y elementos de${\displaystyle H}$, por ejemplo

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

El producto gratuito${\displaystyle G*H}$⁠ es el grupo cuyos elementos son las palabras reducidas en ⁠${\displaystyle G}$y​​${\displaystyle H}$, bajo la operación de concatenación seguida de reducción.

Por ejemplo, si${\displaystyle G}$es el grupo cíclico infinito${\displaystyle \langle x\rangle }$y​${\displaystyle H}$es el grupo cíclico infinito${\displaystyle \langle y\rangle }$, entonces cada elemento de ⁠${\displaystyle G*H}$es un producto alterno de potencias de${\displaystyle x}$con poderes de${\displaystyle y}$⁠ . En este caso, ⁠${\displaystyle G*H}$es isomorfo al grupo libre generado por${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$⁠ .

Supongamos que

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

es una presentación para G (donde S _G es un conjunto de generadores y R _G es un conjunto de relaciones), y supongamos que

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

es una presentación para H.

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

Es decir, G ∗ H es generado por los generadores de G junto con los generadores de H , con relaciones que consisten en las relaciones de G junto con las relaciones de H (supongamos aquí que no hay choques de notación, de modo que estas son de hecho uniones disjuntas ).

La construcción más general de producto libre con amalgama es correspondientemente un tipo especial de empuje en la misma categoría . Supongamos${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$se dan como antes, junto con los monomorfismos (es decir, homomorfismos de grupo inyectivos ):

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G\ \,}$y${\displaystyle \ \,\psi :F\rightarrow H,}$

dónde${\displaystyle F}$es un grupo arbitrario. Empiece con el producto gratuito.${\displaystyle G*H}$y colindan como parientes

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}$

por cada${\displaystyle f}$en${\displaystyle F}$En otras palabras, tome el subgrupo normal más pequeño .${\displaystyle N}$de${\displaystyle G*H}$que contiene todos los elementos del lado izquierdo de la ecuación anterior, que se consideran tácitamente en${\displaystyle G*H}$mediante las inclusiones de${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$en su producto gratuito. El producto gratuito con una fusión de${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$, con respecto a${\displaystyle \varphi }$y${\displaystyle \psi }$es el grupo cociente

${\displaystyle (G*H)/N.\,}$

La fusión ha forzado una identificación entre${\displaystyle \varphi (F)}$en${\displaystyle G}$con${\displaystyle \psi (F)}$en${\displaystyle H}$, elemento por elemento. Esta es la construcción necesaria para calcular el grupo fundamental de dos espacios conexos unidos a lo largo de un subespacio conexo por caminos, con${\displaystyle F}$asumiendo el papel del grupo fundamental del subespacio. Véase: Teorema de Seifert-van Kampen .

Karrass y Solitar han dado una descripción de los subgrupos de un producto libre con amalgamación. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, los homomorfismos de${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$al grupo cociente${\displaystyle (G*H)/N}$que son inducidos por${\displaystyle \varphi }$y${\displaystyle \psi }$son ambos inyectivos, al igual que el homomorfismo inducido de${\displaystyle F}$.

Los productos libres con fusión y una noción estrechamente relacionada de extensión HNN son bloques de construcción básicos en la teoría de Bass-Serre de grupos que actúan sobre árboles.

De manera similar, se pueden definir productos libres de otras estructuras algebraicas distintas de los grupos, incluidas las álgebras sobre un cuerpo . Los productos libres de álgebras de variables aleatorias desempeñan el mismo papel en la definición de " libertad " en la teoría de la probabilidad libre que los productos cartesianos en la definición de la independencia estadística en la teoría clásica de la probabilidad .

• Producto directo de grupos
• Coproducto
• Gráfico de grupos
• Teorema del subgrupo de Kurosh
• Forma normal para grupos libres y producto libre de grupos.
• Propiedad universal