Transformación bilineal

La transformada bilineal (también conocida como método de Tustin , en honor a Arnold Tustin ) se utiliza en el procesamiento digital de señales y en la teoría de control de tiempo discreto para transformar representaciones de sistemas de tiempo continuo a tiempo discreto y viceversa.

La transformación bilineal es un caso especial de una transformación conforme (es decir, una transformación de Möbius ), que se utiliza a menudo para convertir una función de transferencia.${\displaystyle H_{a}(s)}$de un filtro lineal e invariante en el tiempo ( LTI ) en el dominio del tiempo continuo (a menudo denominado filtro analógico ) a una función de transferencia${\displaystyle H_{d}(z)}$de un filtro lineal, invariante a desplazamientos en el dominio del tiempo discreto (a menudo llamado filtro digital, aunque existen filtros analógicos construidos con condensadores conmutados que son filtros de tiempo discreto). Mapea posiciones en el${\displaystyle j\omega }$eje,${\displaystyle \mathrm {Re} [s]=0}$, en el plano s al círculo unitario ,${\displaystyle |z|=1}$, en el plano z . Se pueden utilizar otras transformaciones bilineales para deformar la respuesta en frecuencia de cualquier sistema lineal de tiempo discreto (por ejemplo, para aproximar la resolución de frecuencia no lineal del sistema auditivo humano) y son implementables en el dominio discreto reemplazando los retardos unitarios de un sistema.${\displaystyle \left(z^{-1}\right)}$con filtros paso todo de primer orden .

La transformación preserva la estabilidad y mapea cada punto de la respuesta en frecuencia del filtro de tiempo continuo,${\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})}$a un punto correspondiente en la respuesta en frecuencia del filtro de tiempo discreto,${\displaystyle H_{d}(e^{j\omega _{d}T})}$aunque a una frecuencia ligeramente diferente, como se muestra en la sección de Deformación de frecuencia a continuación. Esto significa que por cada característica que se observa en la respuesta en frecuencia del filtro analógico, existe una característica correspondiente, con ganancia y desfase idénticos, en la respuesta en frecuencia del filtro digital, pero, posiblemente, a una frecuencia ligeramente diferente. El cambio de frecuencia es apenas perceptible a bajas frecuencias, pero resulta bastante evidente a frecuencias cercanas a la frecuencia de Nyquist .

La transformada bilineal es una aproximación de Padé de primer orden de la función logaritmo natural que es una aplicación exacta del plano z al plano s . Cuando se realiza la transformada de Laplace en una señal de tiempo discreto (con cada elemento de la secuencia de tiempo discreto conectado a un impulso unitario retardado correspondiente ), el resultado es precisamente la transformada Z de la secuencia de tiempo discreto con la sustitución de

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle T}$es el tamaño del paso de integración numérica de la regla trapezoidal utilizada en la derivación de la transformación bilineal; ^{[ 1 ]} o, en otras palabras, el período de muestreo. La aproximación bilineal anterior se puede resolver para${\displaystyle s}$o una aproximación similar para${\displaystyle s=(1/T)\ln(z)}$puede realizarse.

La inversa de esta aplicación (y su aproximación bilineal de primer orden ) es

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}$

La transformada bilineal esencialmente utiliza esta aproximación de primer orden y la sustituye en la función de transferencia de tiempo continuo,${\displaystyle H_{a}(s)}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

Eso es

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\ }$

Un filtro causal de tiempo continuo es estable si los polos de su función de transferencia se encuentran en la mitad izquierda del plano complejo s . Un filtro causal de tiempo discreto es estable si los polos de su función de transferencia se encuentran dentro del círculo unitario en el plano complejo z . La transformación bilineal mapea la mitad izquierda del plano complejo s al interior del círculo unitario en el plano z. Por lo tanto, los filtros diseñados en el dominio del tiempo continuo que son estables se convierten en filtros en el dominio del tiempo discreto que conservan dicha estabilidad.

Asimismo, un filtro de tiempo continuo es de fase mínima si los ceros de su función de transferencia se encuentran en la mitad izquierda del plano complejo s. Un filtro de tiempo discreto es de fase mínima si los ceros de su función de transferencia se encuentran dentro del círculo unitario en el plano complejo z. Por lo tanto, esta misma propiedad de mapeo garantiza que los filtros de tiempo continuo de fase mínima se conviertan en filtros de tiempo discreto que conserven dicha propiedad.

Un sistema LTI general tiene la función de transferencia $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}$$ El orden de la función de transferencia N es el mayor de P y Q (en la práctica, lo más probable es que sea P , ya que la función de transferencia debe ser adecuada para que el sistema sea estable). Aplicando la transformación bilineal $${\displaystyle s=K{\frac {z-1}{z+1}}}$$ donde K se define como 2/ T o de otra manera si se utiliza la deformación de frecuencia , da $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}$$ Multiplicando el numerador y el denominador por la mayor potencia de ( z + 1) ⁻¹ presente, ( z + 1) ^{− N} , se obtiene $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}(z+1)^{N}+b_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+b_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +b_{Q}K^{Q}(z-1)^{Q}(z+1)^{N-Q}}{a_{0}(z+1)^{N}+a_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+a_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +a_{P}K^{P}(z-1)^{P}(z+1)^{N-P}}}}$$Aquí se puede observar que , después de la transformación, el grado del numerador y del denominador son ambos N.

Consideremos entonces la forma de polos y ceros de la función de transferencia en tiempo continuo. $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {(s-\xi _{1})(s-\xi _{2})\cdots (s-\xi _{Q})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{P})}}}$$ Las raíces de los polinomios del numerador y del denominador, ξ _i y p _i , son los ceros y polos del sistema. La transformación bilineal es una aplicación biyectiva , por lo tanto, estos se pueden transformar al dominio z usando $${\displaystyle z={\frac {K+s}{K-s}}}$$ obteniendo algunos de los ceros y polos de la función de transferencia discretizada ξ' _i y p' _i$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&={\frac {K+\xi _{i}}{K-\xi _{i}}}\quad 1\leq i\leq Q\\p'_{i}&={\frac {K+p_{i}}{K-p_{i}}}\quad 1\leq i\leq P\end{aligned}}}$$ Como se describió anteriormente, el grado del numerador y del denominador ahora son ambos N , en otras palabras, ahora hay un número igual de ceros y polos. La multiplicación por ( z + 1) ^{− N} significa que los ceros o polos adicionales son ^{[ 2 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&=-1\quad Q<i\leq N\\p'_{i}&=-1\quad P<i\leq N\end{aligned}}}$$ Dado el conjunto completo de ceros y polos, la función de transferencia en el dominio z es entonces $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(z-\xi '_{1})(z-\xi '_{2})\cdots (z-\xi '_{N})}{(z-p'_{1})(z-p'_{2})\cdots (z-p'_{N})}}}$$

Como ejemplo, tomemos un filtro RC paso bajo simple . Este filtro de tiempo continuo tiene una función de transferencia.

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{a}(s)&={\frac {1/sC}{R+1/sC}}\\&={\frac {1}{1+RCs}}.\end{aligned}}}$

Si deseamos implementar este filtro como un filtro digital, podemos aplicar la transformación bilineal sustituyendo por${\displaystyle s}$La fórmula anterior; después de algunos ajustes, obtenemos la siguiente representación del filtro:

Los coeficientes del denominador son los coeficientes de "retroalimentación" y los coeficientes del numerador son los coeficientes de "retroalimentación directa" utilizados para implementar un filtro digital en tiempo real .

Es posible relacionar los coeficientes de un filtro analógico de tiempo continuo con los de un filtro digital de tiempo discreto similar creado mediante el proceso de transformación bilineal. Transformando un filtro general de primer orden de tiempo continuo con la función de transferencia dada

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s+b_{1}}{a_{0}s+a_{1}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}}}}$

El uso de la transformación bilineal (sin pre-deformación de ninguna especificación de frecuencia) requiere la sustitución de

${\displaystyle s\leftarrow K{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}}$

dónde

${\displaystyle K\triangleq {\frac {2}{T}}}$.

Sin embargo, si se utiliza la compensación de deformación de frecuencia como se describe a continuación en la transformación bilineal, de modo que tanto la ganancia como la fase del filtro analógico y digital coincidan en frecuencia${\displaystyle \omega _{0}}$, entonces

${\displaystyle K\triangleq {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}}$.

Esto da como resultado un filtro digital de tiempo discreto con coeficientes expresados ​​en términos de los coeficientes del filtro original de tiempo continuo:

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K+b_{1})+(-b_{0}K+b_{1})z^{-1}}{(a_{0}K+a_{1})+(-a_{0}K+a_{1})z^{-1}}}}$

Normalmente, el término constante en el denominador debe normalizarse a 1 antes de derivar la ecuación de diferencias correspondiente . Esto da como resultado:

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}{1+{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}}.}$

La ecuación de diferencias (usando la forma directa I ) es

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n]+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n-1]-{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot y[n-1]\ .}$

Se puede utilizar un proceso similar para un filtro general de segundo orden con la función de transferencia dada.

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{a_{0}s^{2}+a_{1}s+a_{2}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}}}\ .}$

Esto da como resultado un filtro biquad digital de tiempo discreto con coeficientes expresados ​​en términos de los coeficientes del filtro original de tiempo continuo:

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2})+(2b_{2}-2b_{0}K^{2})z^{-1}+(b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2})z^{-2}}{(a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2})+(2a_{2}-2a_{0}K^{2})z^{-1}+(a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2})z^{-2}}}}$

Nuevamente, el término constante en el denominador generalmente se normaliza a 1 antes de derivar la ecuación de diferencias correspondiente . Esto da como resultado:

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}{1+{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}}.}$

La ecuación de diferencias (usando la forma directa I ) es

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n]+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-1]+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-2]-{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-1]-{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-2]\ .}$

Para determinar la respuesta en frecuencia de un filtro de tiempo continuo, se utiliza la función de transferencia.${\displaystyle H_{a}(s)}$se evalúa en${\displaystyle s=j\omega _{a}}$que está en el${\displaystyle j\omega }$eje. Asimismo, para determinar la respuesta en frecuencia de un filtro de tiempo discreto, la función de transferencia${\displaystyle H_{d}(z)}$se evalúa en${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$que se encuentra en el círculo unitario,${\displaystyle |z|=1}$. La transformación bilineal mapea el${\displaystyle j\omega }$eje del plano s (que es el dominio de${\displaystyle H_{a}(s)}$) al círculo unitario del plano z ,${\displaystyle |z|=1}$(que es el dominio de${\displaystyle H_{d}(z)}$), pero no es el mismo mapeo${\displaystyle z=e^{sT}}$que también mapea el${\displaystyle j\omega }$eje al círculo unitario. Cuando la frecuencia real de${\displaystyle \omega _{d}}$es la entrada al filtro de tiempo discreto diseñado mediante el uso de la transformación bilineal, entonces se desea saber a qué frecuencia,${\displaystyle \omega _{a}}$, para el filtro de tiempo continuo que este${\displaystyle \omega _{d}}$está asignado a.

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}$

Esto demuestra que cada punto en el círculo unitario en el plano z del filtro de tiempo discreto,${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$está mapeado a un punto en el${\displaystyle j\omega }$eje en el plano s del filtro de tiempo continuo,${\displaystyle s=j\omega _{a}}$. Es decir, el mapeo de frecuencia de tiempo discreto a tiempo continuo de la transformada bilineal es

${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

y el mapeo inverso es

${\displaystyle \omega _{d}={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).}$

El filtro de tiempo discreto se comporta a frecuencia${\displaystyle \omega _{d}}$de la misma manera que se comporta el filtro de tiempo continuo a frecuencia${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$. Específicamente, la ganancia y el desplazamiento de fase que el filtro de tiempo discreto tiene a la frecuencia${\displaystyle \omega _{d}}$es la misma ganancia y desplazamiento de fase que el filtro de tiempo continuo tiene a la frecuencia${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$Esto significa que cada característica, cada "pico" que es visible en la respuesta en frecuencia del filtro de tiempo continuo también es visible en el filtro de tiempo discreto, pero a una frecuencia diferente. Para frecuencias bajas (es decir, cuando${\displaystyle \omega _{d}\ll 2/T}$o${\displaystyle \omega _{a}\ll 2/T}$), entonces las características se asignan a una frecuencia ligeramente diferente;${\displaystyle \omega _{d}\approx \omega _{a}}$.

Se puede observar que todo el rango de frecuencia continuo

${\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty }$

se mapea sobre el intervalo de frecuencia fundamental

${\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega _{d}<+{\frac {\pi }{T}}.}$

La frecuencia del filtro de tiempo continuo${\displaystyle \omega _{a}=0}$corresponde a la frecuencia del filtro de tiempo discreto${\displaystyle \omega _{d}=0}$y la frecuencia del filtro de tiempo continuo${\displaystyle \omega _{a}=\pm \infty }$corresponder a la frecuencia del filtro de tiempo discreto${\displaystyle \omega _{d}=\pm \pi /T.}$

También se puede observar que existe una relación no lineal entre${\displaystyle \omega _{a}}$y${\displaystyle \omega _{d}.}$ Este efecto de la transformación bilineal se denomina distorsión de frecuencia . El filtro de tiempo continuo se puede diseñar para compensar esta distorsión de frecuencia ajustando${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$para cada especificación de frecuencia sobre la que el diseñador tiene control (como la frecuencia de corte o la frecuencia central). Esto se denomina pre-deformación del diseño del filtro .

Sin embargo, es posible compensar la distorsión de frecuencia mediante la pre-distorsión de una especificación de frecuencia.${\displaystyle \omega _{0}}$(generalmente una frecuencia de resonancia o la frecuencia de la característica más significativa de la respuesta en frecuencia) del sistema de tiempo continuo. Estas especificaciones predeformadas pueden utilizarse en la transformada bilineal para obtener el sistema de tiempo discreto deseado. Al diseñar un filtro digital como aproximación de un filtro de tiempo continuo, la respuesta en frecuencia (tanto amplitud como fase) del filtro digital puede ajustarse para que coincida con la respuesta en frecuencia del filtro continuo en una frecuencia específica.${\displaystyle \omega _{0}}$, así como la coincidencia en CC, si se sustituye la siguiente transformación en la función de transferencia del filtro continuo. ^{[ 3 ]} Esta es una versión modificada de la transformación de Tustin que se muestra arriba.

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

Sin embargo, tenga en cuenta que esta transformación se convierte en la transformación original.

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}$

como${\displaystyle \omega _{0}\to 0}$.

La principal ventaja del fenómeno de deformación es la ausencia de distorsión por aliasing de la característica de respuesta en frecuencia, como la que se observa con la invariancia de impulso .

• Invariancia de impulsos
• Método de transformación Z coincidente

• Procesamiento de señales de MIT OpenCourseWare: Diseño de filtros de continuo a discreto
• Apuntes de clase sobre equivalentes discretos
• El arte del diseño de filtros VA