Construcción Gelfand–Naimark–Segal

En el análisis funcional , una disciplina dentro de las matemáticas , dado un${\displaystyle C^{*}}$-álgebra${\displaystyle A}$La construcción Gelfand-Naimark-Segal establece una correspondencia entre ciclos${\displaystyle *}$-representaciones de${\displaystyle A}$y ciertos funcionales lineales en${\displaystyle A}$(llamados estados ). La correspondencia se muestra mediante una construcción explícita de la${\displaystyle *}$-representación del estado. Recibe su nombre en honor a Israel Gelfand , Mark Naimark e Irving Segal .

A${\displaystyle *}$-representación de un${\displaystyle C^{*}}$-álgebra${\displaystyle A}$en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$es un mapeo${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle A}$en el álgebra de operadores acotados en${\displaystyle H}$de tal manera que

• ${\displaystyle \pi }$es un homomorfismo de anillo que lleva involución en${\displaystyle A}$en involución sobre operadores
• ${\displaystyle \pi }$es no degenerado , es decir, el espacio de vectores${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \xi }$es denso como${\displaystyle x}$abarca a través de${\displaystyle A}$y${\displaystyle \xi }$abarca a través de${\displaystyle H}$. Tenga en cuenta que si${\displaystyle A}$tiene identidad, no degeneración significa exactamente${\displaystyle \pi }$es que conserva la unidad, es decir${\displaystyle \pi }$mapea la identidad de${\displaystyle A}$al operador de identidad en${\displaystyle H}$.

Un estado en un${\displaystyle C^{*}}$-álgebra${\displaystyle A}$es una función lineal positiva${\displaystyle f}$de norma${\displaystyle 1}$. Si${\displaystyle A}$tiene un elemento unitario multiplicativo esta condición es equivalente a${\displaystyle f(1)=1}$.

Para una representación${\displaystyle \pi }$de un${\displaystyle C^{*}}$-álgebra${\displaystyle A}$en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$, un elemento${\displaystyle \xi }$Se denomina vector cíclico si el conjunto de vectores

${\displaystyle \{\pi (x)\xi :x\in A\}}$

es denso en normas${\displaystyle H}$En cuyo caso, π se denomina representación cíclica . Cualquier vector distinto de cero de una representación irreducible es cíclico. Sin embargo, los vectores distintos de cero en una representación cíclica general pueden no ser cíclicos.

También es significativa la relación entre irreductible${\displaystyle *}$-representaciones y puntos extremos del conjunto convexo de estados. Una representación π en${\displaystyle H}$es irreducible si y solo si no existen subespacios cerrados de${\displaystyle H}$que son invariantes bajo todos los operadores${\displaystyle \pi (x)}$otro que${\displaystyle H}$él mismo y el subespacio trivial${\displaystyle \{0\}}$.

Ambos resultados se derivan inmediatamente del teorema de Banach-Alaoglu .

En el caso conmutativo unitario, para el${\displaystyle C^{*}}$-álgebra${\displaystyle C(X)}$de funciones continuas en algún compacto${\displaystyle X}$, el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani dice que los funcionales positivos de norma${\displaystyle \leq 1}$son precisamente las medidas positivas de Borel sobre${\displaystyle X}$con masa total${\displaystyle \leq 1}$Del teorema de Krein-Milman se deduce que los estados extremos son las medidas de masa puntual de Dirac.

Por otro lado, una representación de${\displaystyle C(X)}$es irreducible si y solo si es unidimensional. Por lo tanto, la representación GNS de${\displaystyle C(X)}$correspondiente a una medida${\displaystyle \mu }$es irreducible si y solo si${\displaystyle \mu }$es un estado extremo. Esto es de hecho cierto para${\displaystyle C^{*}}$-álgebras en general.

Para demostrar este resultado, primero se observa que una representación es irreducible si y solo si el conmutador de${\displaystyle \pi (A)}$, denotado por${\displaystyle \pi (A)'}$, consiste en múltiplos escalares de la identidad.

Cualquier funcional lineal positivo${\displaystyle g}$en${\displaystyle A}$dominado por${\displaystyle f}$es de la forma $${\displaystyle g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle }$$ para algún operador positivo${\displaystyle T_{g}}$en${\displaystyle \pi (A)'}$con${\displaystyle 0\leq T\leq 1}$en el orden del operador. Esta es una versión del teorema de Radon-Nikodym .

Para tal${\displaystyle g}$, uno puede escribir${\displaystyle f}$como una suma de funcionales lineales positivos:${\displaystyle f=g+g'}$. Entonces${\displaystyle \pi }$es unitariamente equivalente a una subrepresentación de${\displaystyle \pi _{g}\oplus \pi _{g'}}$Esto demuestra que π es irreducible si y solo si cualquier tal${\displaystyle \pi _{g}}$es unitariamente equivalente a${\displaystyle \pi }$, es decir${\displaystyle g}$es un múltiplo escalar de${\displaystyle f}$, lo cual demuestra el teorema.

Los estados extremos suelen denominarse estados puros . Cabe destacar que un estado es un estado puro si y solo si es un estado extremo en el conjunto convexo de estados.

Los teoremas anteriores para${\displaystyle C^{*}}$Las -álgebras son válidas de manera más general en el contexto de ${\displaystyle B^{*}}$-álgebras con identidad aproximada.

El teorema de factorización de Stinespring, que caracteriza las aplicaciones completamente positivas, es una generalización importante de la construcción GNS.

El artículo de Gelfand y Naimark sobre el teorema de Gelfand-Naimark se publicó en 1943. ^{[ 3 ]} Segal reconoció la construcción implícita en este trabajo y la presentó en una forma más precisa. ^{[ 4 ]}

En su artículo de 1947, Segal demostró que es suficiente, para cualquier sistema físico que pueda describirse mediante un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert, considerar las representaciones irreducibles de un${\displaystyle C^{*}}$-álgebra. En teoría cuántica esto significa que la${\displaystyle C^{*}}$El álgebra se genera a partir de los observables. Esto, como señaló Segal, ya había sido demostrado anteriormente por John von Neumann solo para el caso específico de la teoría de Schrödinger-Heisenberg no relativista. ^{[ 5 ]}

• Vector cíclico y separador
• Construcción KSGNS