La falacia del jugador

La falacia del jugador se puede ilustrar considerando el lanzamiento repetido de una moneda justa . Los resultados de diferentes lanzamientos son estadísticamente independientes y la probabilidad de obtener cara en un solo lanzamiento es 1/2 (una de cada dos). La probabilidad de obtener dos caras en dos lanzamientos es 1/4 ( una de cada cuatro ) y la probabilidad de obtener tres caras en tres lanzamientos es 1/8 ( una de cada ocho). En general, si Aᵢ es el evento en el que el lanzamiento _i de una moneda justa resulta en cara, entonces :

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\Pr(A_{i})={1 \over 2^{n}}}$.

Si después de lanzar cuatro caras seguidas, el siguiente lanzamiento también resulta en cara, se completaría una racha de cinco caras consecutivas. Dado que la probabilidad de una racha de cinco caras consecutivas es de 1/32 ( una entre treinta y dos), una persona podría creer que el siguiente lanzamiento tendría más probabilidades de ser cruz que cara nuevamente. Esto es incorrecto y es un ejemplo de la falacia del jugador. El evento " 5 caras seguidas" y el evento "primero 4 caras, luego una cruz" son igualmente probables, cada uno con una probabilidad de 1/32 . Dado que los primeros cuatro lanzamientos resultaron en cara, la probabilidad de que el siguiente lanzamiento sea cara es:

${\displaystyle \Pr \left(A_{5}|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)=\Pr \left(A_{5}\right)={\frac {1}{2}}}$.

Si bien una racha de cinco caras tiene una probabilidad de 1/32 = 0,03125 ( un poco más del 3%), el error radica en no darse cuenta de que esto solo es así antes de lanzar la primera moneda . Después de los primeros cuatro lanzamientos en este ejemplo, los resultados ya no son desconocidos, por lo que sus probabilidades son en ese punto iguales a 1 (100%). La probabilidad de que una racha de lanzamientos de cualquier duración continúe con un lanzamiento más es siempre de 0,5. El razonamiento de que es más probable que un quinto lanzamiento sea cruz porque los cuatro anteriores fueron cara, y que una racha de suerte pasada influye en las probabilidades futuras, constituye la base de la falacia.

Si se lanza una moneda justa 21 veces, la probabilidad de obtener 21 caras es de 1 entre 2.097.152. La probabilidad de obtener cara después de haber obtenido 20 caras seguidas es 1/2 . Suponiendo una moneda justa:

• La probabilidad de obtener 20 caras y luego 1 cruz es 0,5. ²⁰ × 0,5 = 0,5. ²¹
• La probabilidad de obtener 20 caras y luego 1 cara es 0.5 ²⁰ × 0.5 = 0.5 ²¹

La probabilidad de obtener 20 caras y luego 1 cruz, y la probabilidad de obtener 20 caras y luego otra cara son ambas de 1 en 2.097.152. Al lanzar una moneda justa 21 veces, el resultado tiene la misma probabilidad de ser 21 caras que 20 caras y luego 1 cruz. Estos dos resultados son igual de probables que cualquiera de las otras combinaciones que se pueden obtener de 21 lanzamientos de una moneda. Todas las combinaciones de 21 lanzamientos tendrán probabilidades iguales a 0,5 ²¹ , o 1 en 2.097.152. Suponer que un cambio en la probabilidad ocurrirá como resultado del resultado de lanzamientos anteriores es incorrecto porque cada resultado de una secuencia de 21 lanzamientos es tan probable como los otros resultados. De acuerdo con el teorema de Bayes , el resultado probable de cada lanzamiento es la probabilidad de la moneda justa, que es ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Esta falacia lleva a la idea errónea de que los fracasos previos aumentarán la probabilidad de éxito en intentos posteriores. Para un dado justo de 16 caras, la probabilidad de cada resultado es de 1/16 ( 6,25 % ). Si se define como victoria obtener un 1 , la probabilidad de que salga un 1 al menos una vez en 16 tiradas es:

${\displaystyle 1-\left[{\frac {15}{16}}\right]^{16}\,=\,64.39\%}$

La probabilidad de perder en la primera tirada es 15/16 ( 93,75%). Según la falacia, el jugador debería tener una mayor probabilidad de ganar después de haber perdido una vez. La probabilidad de ganar al menos una vez es ahora :

${\displaystyle 1-\left[{\frac {15}{16}}\right]^{15}\,=\,62.02\%}$

Al perder un lanzamiento, la probabilidad de ganar del jugador disminuye en dos puntos porcentuales. Con 5 derrotas y 11 lanzamientos restantes, la probabilidad de ganar se reduce a aproximadamente 0,5 (50%). La probabilidad de ganar al menos una vez no aumenta tras una serie de derrotas; de hecho, la probabilidad de éxito disminuye , ya que quedan menos intentos para ganar. La probabilidad de ganar finalmente será igual a la probabilidad de ganar un solo lanzamiento, que es 1/16 ( 6,25 % ) , y se da cuando solo queda un lanzamiento.

La falacia del jugador no se aplica cuando la probabilidad de diferentes eventos no es independiente . En tales casos, la probabilidad de eventos futuros puede cambiar según el resultado de eventos pasados, como la permutación estadística de eventos. Un ejemplo es cuando se extraen cartas de una baraja sin reemplazo. Si se extrae un as de una baraja y no se vuelve a insertar, es menos probable que la siguiente carta extraída sea un as y más probable que sea de otro rango. La probabilidad de extraer otro as, suponiendo que fue la primera carta extraída y que no hay comodines , ha disminuido de 4/52 ( 7,69 %) a 3/51 ( 5,88 % ), mientras que la probabilidad para cada uno de los demás rangos ha aumentado de 4/52 ( 7,69 % ) a 4/51 ( 7,84 %). Este efecto permite que los sistemas de conteo de cartas funcionen en juegos como el blackjack .

En la mayoría de los ejemplos de la falacia del jugador y la falacia del jugador inverso, se asume que el experimento (por ejemplo, lanzar una moneda) es justo. En la práctica, esta suposición puede no ser válida. Por ejemplo, si se lanza una moneda 21 veces, la probabilidad de obtener 21 caras con una moneda justa es de 1 entre 2.097.152. Dado que esta probabilidad es tan pequeña, si ocurre, es muy posible que la moneda esté de alguna manera sesgada hacia la cara, o que esté siendo controlada por imanes ocultos, o algo similar. ^{[ 8 ]} En este caso, la apuesta inteligente es "cara" porque la inferencia bayesiana a partir de la evidencia empírica (21 caras seguidas) sugiere que es probable que la moneda esté sesgada hacia la cara. La inferencia bayesiana puede utilizarse para demostrar que, cuando la proporción a largo plazo de diferentes resultados es desconocida pero intercambiable (lo que significa que el proceso aleatorio a partir del cual se generan los resultados puede estar sesgado, pero es igualmente probable que lo esté en cualquier dirección) y que las observaciones previas demuestran la dirección probable del sesgo, el resultado que ha ocurrido con mayor frecuencia en los datos observados es el que tiene más probabilidades de volver a ocurrir. ^{[ 9 ]}

Por ejemplo, si la probabilidad a priori de que una moneda esté trucada es del 1%, y suponiendo que dicha moneda trucada caiga cara el 60% de las veces, entonces después de 21 caras la probabilidad de que una moneda esté trucada habrá aumentado a aproximadamente el 32%.

La escena inicial de la obra de teatro Rosencrantz y Guildenstern han muerto, de Tom Stoppard, aborda estas cuestiones mientras un hombre gira la cabeza repetidamente y el otro considera varias explicaciones posibles.

Si se permite que factores externos alteren la probabilidad de los eventos, la falacia del jugador podría no ser válida. Por ejemplo, un cambio en las reglas del juego podría favorecer a un jugador sobre otro, mejorando su porcentaje de victorias. De manera similar, el éxito de un jugador inexperto podría disminuir una vez que los equipos contrarios conozcan sus debilidades y jueguen en contra de ellas. Este es otro ejemplo de sesgo.

La falacia del jugador surge de la creencia en una ley de números pequeños , lo que lleva a la creencia errónea de que las muestras pequeñas deben ser representativas de la población más grande. Según la falacia, las rachas deben eventualmente equilibrarse para ser representativas. ^{[ 10 ]} Amos Tversky y Daniel Kahneman propusieron por primera vez que la falacia del jugador es un sesgo cognitivo producido por una heurística psicológica llamada heurística de representatividad , que establece que las personas evalúan la probabilidad de un evento determinado evaluando cuán similar es a eventos que han experimentado antes, y cuán similares son los eventos que rodean esos dos procesos. ^{[ 11 ] [ 10 ]} Según esta visión, "después de observar una larga racha de rojo en la ruleta, por ejemplo, la mayoría de las personas creen erróneamente que el negro dará como resultado una secuencia más representativa que la ocurrencia de un rojo adicional", ^{[ 11 ]} por lo que las personas esperan que una racha corta de resultados aleatorios debería compartir propiedades de una racha más larga, específicamente en que las desviaciones del promedio deberían equilibrarse. Cuando se les pide a las personas que creen una secuencia aparentemente aleatoria de lanzamientos de moneda, tienden a crear secuencias donde la proporción de caras a cruces se mantiene más cerca de 0,5 en cualquier segmento corto de lo que se predeciría por azar, un fenómeno conocido como insensibilidad al tamaño de la muestra . ^{[ 12 ]} Kahneman y Tversky interpretan esto como que las personas creen que las secuencias cortas de eventos aleatorios deberían ser representativas de las más largas. ^{[ 10 ]} La heurística de representatividad también se cita detrás del fenómeno relacionado de la ilusión de agrupamiento , según el cual las personas ven rachas de eventos aleatorios como no aleatorias cuando tales rachas son en realidad mucho más probables de ocurrir en muestras pequeñas de lo que las personas esperan. ^{[ 13 ]}

La falacia del jugador también puede atribuirse a la creencia errónea de que el juego, o incluso el azar mismo, es un proceso justo que puede corregirse en caso de rachas, conocida como la falacia del mundo justo . ^{[ 14 ]} Otros investigadores creen que la creencia en la falacia puede ser el resultado de una creencia errónea en un locus de control interno . Cuando una persona cree que los resultados del juego son el resultado de su propia habilidad, puede ser más susceptible a la falacia del jugador porque rechaza la idea de que el azar pueda superar la habilidad o el talento. ^{[ 15 ]}

Algunos investigadores creen que es posible definir dos tipos de falacia del jugador: tipo  uno y tipo  dos. El tipo  uno es la falacia clásica del jugador, donde los individuos creen que un resultado particular se debe a una larga racha de otro resultado.  La falacia del jugador de tipo dos, según la definen Gideon Keren y Charles Lewis, ocurre cuando un jugador subestima la cantidad de observaciones necesarias para detectar un resultado favorable, como observar una ruleta durante un tiempo prolongado y luego apostar a los números que aparecen con mayor frecuencia. Para eventos con un alto grado de aleatoriedad, detectar un sesgo que conduzca a un resultado favorable requiere una cantidad de tiempo excesivamente grande y es muy difícil, si no imposible, de hacer. ^{[ 16 ]} Los dos tipos se diferencian en que el tipo  uno asume erróneamente que las condiciones del juego son justas y perfectas, mientras que el tipo  dos asume que las condiciones están sesgadas y que este sesgo puede detectarse después de cierto tiempo.

Otra variante, conocida como la falacia del jugador retrospectivo, se produce cuando las personas juzgan que un evento aparentemente raro debe provenir de una secuencia más larga que la de un evento más común. Se cree que una secuencia imaginaria de tiradas de dados es más de tres veces más larga cuando se observa un conjunto de tres seises en comparación con cuando solo hay dos seises. Este efecto puede observarse en casos aislados o incluso de forma secuencial. Otro ejemplo sería escuchar que una adolescente tuvo relaciones sexuales sin protección y quedó embarazada en una noche determinada, y concluir que ha tenido relaciones sexuales sin protección durante más tiempo que si escucháramos que tuvo relaciones sexuales sin protección pero no quedó embarazada, cuando la probabilidad de quedar embarazada como resultado de cada relación sexual es independiente de la cantidad de relaciones sexuales previas. ^{[ 17 ]}

Otra perspectiva psicológica afirma que la falacia del jugador puede considerarse la contraparte de la falacia de la racha ganadora en el baloncesto , en la que las personas tienden a predecir el mismo resultado que el evento anterior (conocido como primacía positiva), lo que lleva a creer que un jugador con alta puntuación seguirá anotando. En la falacia del jugador, las personas predicen el resultado opuesto al evento anterior (primacía negativa), creyendo que, dado que la ruleta ha caído en negro en las seis ocasiones anteriores, es probable que caiga en rojo la próxima vez. Ayton y Fischer han teorizado que las personas muestran primacía positiva en la falacia de la racha ganadora porque esta se relaciona con el rendimiento humano, y las personas no creen que un objeto inanimado pueda volverse "caliente". ^{[ 18 ]} El rendimiento humano no se percibe como aleatorio, y las personas son más propensas a continuar con las rachas cuando creen que el proceso que genera los resultados no es aleatorio. ^{[ 19 ]} Cuando una persona exhibe la falacia del jugador, es más probable que también exhiba la falacia de la racha ganadora, lo que sugiere que un constructo es responsable de las dos falacias. ^{[ 15 ]}

La diferencia entre ambas falacias también se observa en la toma de decisiones económicas. Un estudio realizado por Huber, Kirchler y Stockl en 2010 examinó cómo se manifiestan la racha ganadora y la falacia del jugador en el mercado financiero. Los investigadores ofrecieron a los participantes dos opciones: apostar al resultado de una serie de lanzamientos de moneda, consultar la opinión de un experto para influir en su decisión o elegir una alternativa sin riesgo con una recompensa económica menor. Los participantes recurrieron a la opinión del experto para tomar su decisión el 24% de las veces, basándose en su experiencia previa de éxito, lo que ejemplifica la racha ganadora. Si el experto acertaba, el 78% de los participantes volvía a elegir su opinión, frente al 57% que lo hacía cuando el experto se equivocaba. Los participantes también mostraron la falacia del jugador, disminuyendo su selección de cara o cruz tras observar una racha de cualquiera de los dos resultados. Este experimento contribuyó a reforzar la teoría de Ayton y Fischer de que las personas confían más en el desempeño humano que en procesos aparentemente aleatorios. ^{[ 20 ]}

Si bien la heurística de representatividad y otros sesgos cognitivos son la causa más comúnmente citada de la falacia del jugador, la investigación sugiere que también puede existir un componente neurológico . La resonancia magnética funcional ha demostrado que, tras perder una apuesta o juego (lo que se conoce como pérdida de riesgo), se activa la red frontoparietal del cerebro, lo que resulta en una mayor propensión a asumir riesgos. Por el contrario, se observa una disminución de la actividad en la amígdala , el núcleo caudado y el estriado ventral tras una pérdida de riesgo. La activación de la amígdala se correlaciona negativamente con la falacia del jugador, de modo que cuanta más actividad se observe en la amígdala, menor será la probabilidad de que un individuo caiga en la falacia del jugador. Estos resultados sugieren que la falacia del jugador depende más de la corteza prefrontal , responsable de los procesos ejecutivos y orientados a objetivos, y menos de las áreas cerebrales que controlan la toma de decisiones afectivas .

El deseo de seguir apostando o jugando está controlado por el cuerpo estriado , que sustenta un método de aprendizaje de contingencia elección-resultado. El cuerpo estriado procesa los errores de predicción y el comportamiento cambia en consecuencia. Tras una victoria, el comportamiento positivo se refuerza y, tras una derrota, se condiciona a evitarlo. En las personas que presentan la falacia del jugador, este método de contingencia elección-resultado se ve afectado y continúan asumiendo riesgos tras una serie de pérdidas. ^{[ 21 ]}

La falacia del jugador es un sesgo cognitivo profundamente arraigado y puede ser muy difícil de superar. Educar a las personas sobre la naturaleza de la aleatoriedad no siempre ha resultado eficaz para reducir o eliminar cualquier manifestación de la falacia. En un estudio realizado por Beach y Swensson en 1967, a los participantes se les mostró una baraja de cartas con figuras, y se les pidió que adivinaran qué figura seguiría en una secuencia. Al grupo experimental se le informó sobre la naturaleza y la existencia de la falacia del jugador, y se les indicó explícitamente que no se basaran en la dependencia de la secuencia para hacer sus conjeturas. Al grupo de control no se le proporcionó esta información. Los estilos de respuesta de ambos grupos fueron similares, lo que indica que el grupo experimental aún basaba sus elecciones en la longitud de la secuencia. Esto llevó a la conclusión de que instruir a las personas sobre la aleatoriedad no es suficiente para disminuir la falacia del jugador. ^{[ 22 ]}

La susceptibilidad de un individuo a la falacia del jugador puede disminuir con la edad. Un estudio realizado por Fischbein y Schnarch en 1997 administró un cuestionario a cinco grupos: estudiantes de 5.º, 7.º, 9.º y 11.º grado, y estudiantes universitarios especializados en la enseñanza de las matemáticas. Ninguno de los participantes había recibido educación previa sobre probabilidad. La pregunta formulada fue: «Ronni lanzó una moneda tres veces y en todos los casos salió cara. Ronni pretende lanzar la moneda de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara la cuarta vez?». Los resultados indicaron que, a medida que los estudiantes envejecían, era menos probable que respondieran «menor que la probabilidad de obtener cruz», lo que indicaría un efecto de primacía negativa. El 35 % de los estudiantes de 5.º grado, el 35 % de los de 7.º grado y el 20 % de los de 9.º grado mostraron este efecto. Solo el 10 % de los estudiantes de 11.º grado respondieron de esta manera, y ninguno de los estudiantes universitarios lo hizo. Fischbein y Schnarch teorizaron que la tendencia de un individuo a confiar en la heurística de representatividad y otros sesgos cognitivos puede superarse con la edad. ^{[ 23 ]}

Otra posible solución proviene de Roney y Trick, psicólogos de la Gestalt que sugieren que la falacia puede eliminarse mediante la agrupación. Cuando un evento futuro, como el lanzamiento de una moneda, se describe como parte de una secuencia, por muy arbitraria que sea, la persona automáticamente lo considerará en relación con los eventos pasados, lo que da lugar a la falacia del jugador. Cuando se considera cada evento como independiente, la falacia se reduce considerablemente. ^{[ 24 ]}

Roney y Trick les dijeron a los participantes en su experimento que apostaban a dos bloques de seis lanzamientos de moneda o a dos bloques de siete lanzamientos. El cuarto, quinto y sexto lanzamiento tenían el mismo resultado: tres caras o tres cruces. El séptimo lanzamiento se agrupaba con el final de un bloque o con el comienzo del siguiente. Los participantes mostraron la falacia del jugador más pronunciada cuando el séptimo lanzamiento formaba parte del primer bloque, justo después de la secuencia de tres caras o tres cruces. Los investigadores señalaron que los participantes que no mostraron la falacia del jugador tenían menos confianza en sus apuestas y apostaban menos veces que los participantes que sí la presentaban. Cuando el séptimo lanzamiento se agrupaba con el segundo bloque y se percibía como ajeno a una racha, no se producía la falacia del jugador.

Roney y Trick argumentaron que, en lugar de enseñar a las personas sobre la naturaleza del azar, la falacia podría evitarse entrenándolas para tratar cada evento como un comienzo y no como una continuación de eventos anteriores. Sugirieron que esto evitaría que las personas apostaran cuando están perdiendo, con la errónea esperanza de que sus probabilidades de ganar aumenten debido a la interacción con eventos previos.

En un contexto real, numerosos estudios han revelado que, para diversos responsables de la toma de decisiones que se encuentran en situaciones de alto riesgo, es probable que reflejen cierto grado de autocorrelación negativa significativa en sus juicios.

Jugadores de lotería

El juego de lotería y los premios mayores atraen a jugadores de todo el mundo, siendo la decisión más importante para los aspirantes a ganadores la elección de los números. Si bien la mayoría de las personas tienen su propia estrategia, la evidencia muestra que después de que un número resulta ganador en el sorteo actual, ese mismo número experimenta una caída significativa en las selecciones en la siguiente lotería. Un estudio popular realizado por Charles Clotfelter y Philip Cook investigó este efecto en 1991, donde concluyeron que los apostadores dejaban de seleccionar números inmediatamente después de ser seleccionados, recuperando finalmente la popularidad de la selección en un plazo de tres meses. ^{[ 28 ]} Poco después, en 1994, Dek Terrell realizó un estudio para poner a prueba los hallazgos de Clotfelter y Cook. El cambio clave en el estudio de Terrell fue el análisis de una lotería pari-mutuel en la que un número seleccionado con apuestas totales menores resultaría en un pago mayor. Si bien este examen concluyó que los jugadores de ambos tipos de loterías exhibieron un comportamiento acorde con la teoría de la falacia del jugador, aquellos que participaron en apuestas mutuas parecieron estar menos influenciados. ^{[ 27 ]}

El efecto de la falacia del jugador se observa cuando los números ganadores se eligen con mucha menos frecuencia poco después de haber sido seleccionados, recuperándose lentamente en un período de dos meses. Por ejemplo, el 11 de abril de 1988, 41 jugadores eligieron el 244 como la combinación ganadora. Tres días después, solo 24 personas eligieron el 244, una disminución del 41,5%. Esta es la falacia del jugador en acción, ya que los jugadores de lotería creen que la aparición de una combinación ganadora en días anteriores disminuirá la probabilidad de que ocurra hoy.