fracción continua

Si uno de los numeradores parciales a _{n +1} es cero, la fracción continua infinita $${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$$ es realmente solo una fracción continua finita con n términos fraccionarios y, por lo tanto, una función racional de a ₁ a a _n y b ₀ a b _{n +1} . Tal objeto es de poco interés desde el punto de vista adoptado en el análisis matemático, por lo que generalmente se asume que todos los a _i ≠ 0 . No hay necesidad de imponer esta restricción a los denominadores parciales b _i .

Cuando la n -ésima convergente de una fracción continua $${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$$ se expresa como una fracción simple x _n = ⁠ A _n / B _n ⁠ podemos usar la fórmula del determinante

relacionar los numeradores y denominadores de convergentes sucesivos x _n y x _{n − 1} entre sí. La demostración de esto se puede ver fácilmente por inducción .

Si { c _i } = { c ₁ , c ₂ , c ₃ , ...} es cualquier secuencia infinita de números complejos distintos de cero, podemos demostrar, por inducción, que $${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$$ donde la igualdad se entiende como equivalencia, lo que significa que las convergentes sucesivas de la fracción continua de la izquierda son exactamente las mismas que las convergentes de la fracción de la derecha.

La transformación de equivalencia es perfectamente general, pero dos casos particulares merecen una mención especial. Primero, si ninguno de los a _i es cero, se puede elegir una secuencia { c _i } para que cada numerador parcial a sea 1:$${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}}$$ donde c ₁ = ⁠ 1 / a ₁ ⁠ , c ₂ = ⁠ a ₁ / a ₂ ⁠ , c ₃ = ⁠ a ₂ / a ₁ a ₃ ⁠ , y en general c _{n +1} = ⁠ 1 / a _{n +1} c _n ⁠ .

Segundo, si ninguno de los denominadores parciales b _i es cero, podemos usar un procedimiento similar para elegir otra secuencia { d _i } para que cada denominador parcial a sea 1: $${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}}$$ donde d ₁ = 1 / b ₁ y en caso contrario d _{n +1} = 1 / b n _b n _{+1 .}​

Estos dos casos especiales de la transformación de equivalencia resultan enormemente útiles al analizar el problema general de convergencia .

Como se mencionó en la introducción, la fracción continua $${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$$ converge si la sucesión de convergentes { x _n } tiende a un límite finito. Esta noción de convergencia es muy natural, pero a veces es demasiado restrictiva. Por lo tanto, es útil introducir la noción de convergencia general de una fracción continua. En términos generales, esto consiste en reemplazar la${\displaystyle \operatorname {K} _{i=n}^{\infty }{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$parte de la fracción por w _n , en lugar de por 0, para calcular las convergentes. Las convergentes así obtenidas se llaman convergentes modificadas . Decimos que la fracción continua converge generalmente si existe una secuencia${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$de tal manera que la secuencia de convergentes modificados converge para todos${\displaystyle \{w_{n}\}}$suficientemente distinto de${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$La secuencia${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$Se denomina entonces secuencia excepcional para la fracción continua. Véase el capítulo 2 de Lorentzen y Waadeland (1992) para una definición rigurosa.

También existe una noción de convergencia absoluta para fracciones continuas, que se basa en la noción de convergencia absoluta de una serie: se dice que una fracción continua es absolutamente convergente cuando la serie $${\displaystyle f=\sum _{n}\left(f_{n}-f_{n-1}\right),}$$ dónde${\displaystyle f_{n}=\operatorname {K} _{i=1}^{n}{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$son los convergentes de la fracción continua, converge absolutamente . ^{[ 14 ]} El teorema de Śleszyński–Pringsheim proporciona una condición suficiente para la convergencia absoluta.

Finalmente, una fracción continua de una o más variables complejas es uniformemente convergente en un entorno abierto Ω cuando sus convergentes convergen uniformemente en Ω ; es decir, cuando para cada ε > 0 existe M tal que para todo n > M , para todo${\displaystyle z\in \Omega }$, $${\displaystyle |f(z)-f_{n}(z)|<\varepsilon .}$$

_{En ocasiones ,} es necesario separar una fracción continua en sus partes pares e impares. Por ejemplo, si la fracción continua diverge oscilando entre dos puntos límite distintos p y q , entonces la sucesión { x₀ , x₂ , x₄ _, ...} debe converger a uno de ellos, y { x₁ _, x₃ , x₅ _, ...} debe converger al otro. En tal caso _, puede ser conveniente expresar la fracción continua original como dos fracciones continuas diferentes, una que converge a _p y la otra que converge a q .

Las fórmulas para las partes pares e impares de una fracción continua se pueden escribir de forma más compacta si la fracción ya se ha transformado de manera que todos sus denominadores parciales sean la unidad. Específicamente, si $${\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}}$$ es una fracción continua, entonces la parte par x _par y la parte impar x _impar están dadas por $${\displaystyle x_{\text{even}}={\cfrac {a_{1}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{2}a_{3}}{1+a_{3}+a_{4}-{\cfrac {a_{4}a_{5}}{1+a_{5}+a_{6}-{\cfrac {a_{6}a_{7}}{1+a_{7}+a_{8}-\ddots }}}}}}}}}$$ y $${\displaystyle x_{\text{odd}}=a_{1}-{\cfrac {a_{1}a_{2}}{1+a_{2}+a_{3}-{\cfrac {a_{3}a_{4}}{1+a_{4}+a_{5}-{\cfrac {a_{5}a_{6}}{1+a_{6}+a_{7}-{\cfrac {a_{7}a_{8}}{1+a_{8}+a_{9}-\ddots }}}}}}}}}$$ respectivamente. Más precisamente, si las convergentes sucesivas de la fracción continua x son { x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...} , entonces las convergentes sucesivas de x _par como se escribió arriba son { x ₂ , x ₄ , x ₆ , ...} , y las convergentes sucesivas de x _impar son { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} . ^{[ 15 ]}

Si a ₁ , a ₂ ,... y b ₁ , b ₂ ,... son enteros positivos con a _k ≤ b _k para todo k suficientemente grande , entonces $${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$$ converge a un límite irracional. ^{[ 16 ]}

Los numeradores y denominadores parciales de las convergentes sucesivas de la fracción están relacionados por las fórmulas de recurrencia fundamentales : $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\end{aligned}}}$$

Las convergentes sucesivas de la fracción continua vienen dadas por $${\displaystyle x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}.}$$

Estas relaciones de recurrencia se deben a John Wallis (1616–1703) y Leonhard Euler (1707–1783). ^{[ 17 ]} Estas relaciones de recurrencia son simplemente una notación diferente para las relaciones obtenidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626).

Como ejemplo, consideremos la fracción continua simple en forma canónica que representa la proporción áurea φ : $${\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots \,}}}}}}}}}$$

Aplicando las fórmulas fundamentales de recurrencia, encontramos que los numeradores sucesivos A _n son {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...} y los denominadores sucesivos B _n son {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} , los números de Fibonacci . Dado que todos los numeradores parciales en este ejemplo son iguales a uno, la fórmula del determinante nos asegura que el valor absoluto de la diferencia entre convergentes sucesivos tiende a cero con bastante rapidez.

Consideremos una secuencia de transformaciones fraccionarias lineales simples. $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{0}(z)&=b_{0}+z,\\[4px]\tau _{1}(z)&={\frac {a_{1}}{b_{1}+z}},\\[4px]\tau _{2}(z)&={\frac {a_{2}}{b_{2}+z}},\\[4px]\tau _{3}(z)&={\frac {a_{3}}{b_{3}+z}},\\&\;\vdots \end{aligned}}}$$

Aquí usamos τ para representar cada LFT simple, y adoptamos la notación de círculo convencional para la composición de funciones. También introducimos un nuevo símbolo Τ _n para representar la composición de n + 1 transformaciones τ _i ; es decir, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)=\tau _{0}{\big (}\tau _{1}(z){\big )},\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)=\tau _{0}{\Big (}\tau _{1}{\big (}\tau _{2}(z){\big )}{\Big )},\end{aligned}}}$$ y así sucesivamente. Mediante la sustitución directa del primer conjunto de expresiones en el segundo, vemos que $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+z}}\\[4px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+z}}}}\end{aligned}}}$$ y, en general, $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}\circ \cdots \circ \tau _{n}(z)=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_ {i}} {b_ {i}}}}$$ donde el último denominador parcial en la fracción continua finita K se entiende como b _n + z . Y, dado que b _n + 0 = b _n , la imagen del punto z = 0 bajo la LFT iterada T _n es de hecho el valor de la fracción continua finita con n numeradores parciales: $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.}$$

Definir una fracción continua finita como la imagen de un punto bajo la transformación fraccionaria lineal iterada Τ _n ( z ) conduce a una interpretación geométrica intuitivamente atractiva de las fracciones continuas infinitas.

La relación $${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )}$$ se puede entender reescribiendo Τ _n ( z ) y Τ _{n +1} ( z ) en términos de las fórmulas de recurrencia fundamentales : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {(b_{n}+z)A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\[6px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}}{zB_{n}+B_{n+1}}}.\end{alineado}}}$$

En la primera de estas ecuaciones, la razón tiende hacia A n / B n cuando z tiende a cero. En la segunda, la razón tiende hacia A n / B n cuando z tiende a _infinito . _Esto nos lleva a nuestra primera interpretación _geométrica . _Si la fracción continua converge, las convergentes sucesivas A n _/ B _n están eventualmente arbitrariamente cerca unas de otras . Dado que la transformación fraccionaria lineal T _n ( z ) es una aplicación continua , debe haber un entorno de z = 0 que se mapea en un entorno arbitrariamente pequeño de T _n (0) = A n _/ B _n . De manera similar, debe haber un entorno del punto en el infinito que se mapea en un entorno arbitrariamente pequeño de T n ₍ ∞) ₌ A n ₋₁ / _B n ₋₁ . Entonces, si la fracción continua converge, la transformación Τ _n ( z ) mapea tanto z muy pequeño como z muy grande en un vecindario arbitrariamente pequeño de x , el valor de la fracción continua, a medida que n se hace cada vez más grande.

Para valores intermedios de z , dado que las convergencias sucesivas se acercan entre sí, debemos tener $${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}\approx {\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}=k}$$ donde k es una constante, introducida por conveniencia. Pero luego, al sustituir en la expresión para Τ _n ( z ) obtenemos $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {z{\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}+1}{z{\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}+1}}\right)\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {zk+1}{zk+1}}\right)={\frac {A_{n}}{B_{n}}}}$$ de modo que incluso los valores intermedios de z (excepto cuando z ≈ − k ⁻¹ ) se mapean en un entorno arbitrariamente pequeño de x , el valor de la fracción continua, a medida que n se hace cada vez más grande. Intuitivamente, es casi como si la fracción continua convergente mapeara todo el plano complejo extendido en un solo punto. ^{[ 18 ]}

Nótese que la sucesión { Τ _n } pertenece al grupo de automorfismos del plano complejo extendido, puesto que cada Τ _n es una transformación fraccionaria lineal tal que ab ≠ cd . Y cada miembro de ese grupo de automorfismos transforma el plano complejo extendido en sí mismo: ninguno de los Τ _n puede transformar el plano en un único punto. Sin embargo, en el límite, la sucesión { Τ _n } define una fracción continua infinita que (si converge) representa un único punto en el plano complejo.

Cuando una fracción continua infinita converge, la secuencia correspondiente { T _n } de LFT "enfoca" el plano en la dirección de x , el valor de la fracción continua. En cada etapa del proceso, una región cada vez mayor del plano se mapea en un entorno de x , y la región cada vez más pequeña del plano que queda se estira cada vez más para cubrir todo lo que está fuera de ese entorno. ^{[ 19 ]}

Para fracciones continuas divergentes, podemos distinguir tres casos:

1. Las dos secuencias { Τ _{2 n −1} } y { Τ _{2 n} } podrían definir dos fracciones continuas convergentes con dos valores distintos, x _impar y x _par . En este caso, la fracción continua definida por la secuencia { Τ _​​n } diverge oscilando entre dos puntos límite distintos. De hecho, esta idea puede generalizarse: se pueden construir secuencias { Τ _n } que oscilan entre tres, cuatro o cualquier número de puntos límite. Casos interesantes de este tipo surgen cuando la secuencia { Τ _​​n } constituye un subgrupo de orden finito dentro del grupo de automorfismos sobre el plano complejo extendido.
2. La sucesión { Τ _n } puede producir un número infinito de denominadores cero B _i, a la vez que genera una subsucesión de convergentes finitos. Estos convergentes finitos pueden no repetirse ni presentar un patrón oscilatorio reconocible. También pueden converger a un límite finito, o incluso oscilar entre múltiples límites finitos. Independientemente del comportamiento de los convergentes finitos, la fracción continua definida por la sucesión { Τ _n } diverge por oscilación con el punto en el infinito en este caso. ^{[ 20 ]}
3. La secuencia { n _} puede producir no más de un número finito de denominadores cero B _i . mientras que la subsecuencia de convergentes finitos baila salvajemente alrededor del plano en un patrón que nunca se repite y tampoco se aproxima a ningún límite finito .

Se pueden construir ejemplos interesantes de los casos 1 y 3 estudiando la fracción continua simple. $${\displaystyle x=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}}}}$$ donde z es cualquier ^número real tal que z < − 1 / 4 . ^{[ 21} ]

Aquí hay dos fracciones continuas que se pueden construir mediante la identidad de Euler .

$${\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$$

Aquí hay fracciones continuas generalizadas adicionales:

$${\displaystyle \arctan {\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}$$

Este último se basa en un algoritmo derivado por Aleksei Nikolaevich Khovansky en la década de 1970. ^{[ 22 ]}

Ejemplo: el logaritmo natural de 2 (= [0; 1, 2, 3, 1, 5, ⁠ 2 / 3 ⁠ , 7, ⁠ 1 / 2 ⁠ , 9, ⁠ 2 / 5 ⁠ ,..., 2 k − 1, ⁠ 2 / k ⁠ ,...] ≈ 0,693147...): ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$$

La raíz enésima de cualquier número positivo z ^m se puede expresar reescribiendo z = x ⁿ + y , lo que resulta en $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}}$$ que se puede simplificar, doblando cada par de fracciones en una sola fracción, a $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.}$$