Cuantización geométrica

En física matemática , la cuantización geométrica es un enfoque matemático para definir una teoría cuántica correspondiente a una teoría clásica dada . Intenta llevar a cabo la cuantización , para la que en general no existe una receta exacta, de tal manera que se manifiesten ciertas analogías entre la teoría clásica y la teoría cuántica. Por ejemplo, debería incorporarse la similitud entre la ecuación de Heisenberg en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica y la ecuación de Hamilton en la física clásica.

Uno de los primeros intentos de cuantificación natural fue la cuantificación de Weyl , propuesta por Hermann Weyl en 1927. Aquí, se intenta asociar un observable mecánico cuántico (un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert ) con una función de valor real en el espacio de fases clásico . La posición y el momento en este espacio de fases se asignan a los generadores del grupo de Heisenberg , y el espacio de Hilbert aparece como una representación grupal del grupo de Heisenberg . En 1946, H. J. Groenewold consideró el producto de un par de tales observables y preguntó cuál sería la función correspondiente en el espacio de fases clásico. ^[1] Esto lo llevó a descubrir el producto estrella del espacio de fases de un par de funciones.

La teoría moderna de cuantificación geométrica fue desarrollada por Bertram Kostant y Jean-Marie Souriau en la década de 1970. Una de las motivaciones de la teoría fue comprender y generalizar el método de la órbita de Kirillov en la teoría de la representación.

El procedimiento de cuantificación geométrica se divide en los tres pasos siguientes: precuantización, polarización y corrección metapléctica. La precuantización produce un espacio de Hilbert natural junto con un procedimiento de cuantificación para observables que transforma exactamente los corchetes de Poisson del lado clásico en conmutadores del lado cuántico. Sin embargo, el espacio de Hilbert precuántico se entiende generalmente como "demasiado grande". ^{[2] La idea es que uno debería entonces seleccionar un conjunto de} n variables conmutativas de Poisson en el espacio de fase 2 n -dimensional y considerar funciones (o, más propiamente, secciones) que dependen sólo de estas n variables. Las n variables pueden ser de valor real, lo que da como resultado un espacio de Hilbert de estilo de posición, o analíticas complejas, que producen algo como el espacio de Segal-Bargmann . ^[a] Una polarización es una descripción independiente de las coordenadas de dicha elección de n funciones conmutativas de Poisson. La corrección metapléctica (también conocida como corrección de media forma) es una modificación técnica del procedimiento anterior que es necesaria en el caso de polarizaciones reales y a menudo conveniente para polarizaciones complejas.

Supongamos que es una variedad simpléctica con forma simpléctica . Supongamos en primer lugar que es exacta, es decir, que existe un potencial simpléctico globalmente definido con . Podemos considerar el "espacio de Hilbert precuántico" de funciones integrables al cuadrado en (con respecto a la medida de volumen de Liouville). Para cada función suave en , podemos definir el operador precuántico de Kostant-Souriau ${\estilo de visualización (M,\omega )}$${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización \omega}$ ${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle d\theta =\omega}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización M}$

${\displaystyle Q(f):=-i\hbar \left(X_{f}+{\frac {1}{i\hbar }}\theta (X_{f})\right)+f}$.

¿Dónde está el campo vectorial hamiltoniano asociado a ? $Estilo de visualización X_ {f}}$${\estilo de visualización f}$

De manera más general, supongamos que tiene la propiedad de que la integral de sobre cualquier superficie cerrada es un entero. Entonces podemos construir un fibrado lineal con conexión cuya curvatura 2-forma es . En ese caso, el espacio de Hilbert precuántico es el espacio de secciones integrables al cuadrado de , y reemplazamos la fórmula anterior con ${\estilo de visualización (M,\omega )}$${\displaystyle \omega /(2\pi \hbar )}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle \omega /\hbar }$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle Q(f)}$

${\displaystyle Q(f)=-i\hbar \nabla _{X_{f}}+f}$,

con la conexión. Los operadores precuánticos satisfacen ${\displaystyle \nabla}$

${\displaystyle [Q(f),Q(g)]=i\hbar Q(\{f,g\})}$

para todas las funciones suaves y . ^[3]${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización g}$

La construcción del espacio de Hilbert anterior y los operadores se conoce como precuantificación . ${\displaystyle Q(f)}$

El siguiente paso en el proceso de cuantificación geométrica es la elección de una polarización. Una polarización es una elección en cada punto en un subespacio lagrangiano del espacio tangente complejizado de . Los subespacios deben formar una distribución integrable, lo que significa que el conmutador de dos campos vectoriales que se encuentran en el subespacio en cada punto también debe encontrarse en el subespacio en cada punto. El espacio de Hilbert cuántico (a diferencia del precuántico) es el espacio de secciones de que son covariantemente constantes en la dirección de la polarización. ^{[4] [b]} La idea es que en el espacio de Hilbert cuántico, las secciones deben ser funciones solo de variables en el espacio de fase clásico -dimensional. ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización 2n}$

Si es una función para la cual el flujo hamiltoniano asociado preserva la polarización, entonces preservará el espacio cuántico de Hilbert. ^[5] La suposición de que el flujo de preserva la polarización es fuerte. Por lo general, no muchas funciones satisfacen esta suposición. ${\estilo de visualización f}$${\displaystyle Q(f)}$${\estilo de visualización f}$

La corrección de semiforma, también conocida como corrección metapléctica, es una modificación técnica del procedimiento anterior que es necesaria en el caso de polarizaciones reales para obtener un espacio de Hilbert cuántico distinto de cero; también suele ser útil en el caso complejo. El fibrado lineal se reemplaza por el producto tensorial de con la raíz cuadrada del fibrado canónico de . En el caso de la polarización vertical, por ejemplo, en lugar de considerar funciones de que son independientes de , se consideran objetos de la forma . La fórmula para debe entonces complementarse con un término derivado de Lie adicional. ^[6] En el caso de una polarización compleja en el plano, por ejemplo, la corrección de semiforma permite la cuantificación del oscilador armónico para reproducir la fórmula mecánica cuántica estándar para las energías, , con el " " procedente de las semiformas. ^[7]${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle f(x){\sqrt {dx}}}$${\displaystyle Q(f)}$${\displaystyle (n+1/2)\hbar \omega }$${\estilo de visualización +1/2}$

También se desarrolla la cuantificación geométrica de variedades de Poisson y foliaciones simplécticas. Por ejemplo, este es el caso de los sistemas hamiltonianos parcialmente integrables y superintegrables y de la mecánica no autónoma .

En el caso de que la variedad simpléctica sea la 2-esfera , se puede realizar como una órbita coadjunta en . Suponiendo que el área de la esfera es un múltiplo entero de , podemos realizar la cuantificación geométrica y el espacio de Hilbert resultante lleva una representación irreducible de SU(2) . En el caso de que el área de la esfera sea , obtenemos la representación bidimensional de espín 1/2 . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)^{*}}$${\estilo de visualización 2\pi \hbar}$${\estilo de visualización 2\pi \hbar}$

En términos más generales, esta técnica conduce a la cuantificación de deformación , donde el ★-producto se toma como una deformación del álgebra de funciones en una variedad simpléctica o variedad de Poisson . Sin embargo, como esquema de cuantificación natural (un funtor), el mapa de Weyl no es satisfactorio. Por ejemplo, el mapa de Weyl del cuadrado del momento angular clásico no es solo el operador cuadrado del momento angular cuántico, sino que además contiene un término constante 3ħ ² /2. (Este término adicional es en realidad físicamente significativo, ya que explica el momento angular no nulo de la órbita de Bohr del estado fundamental en el átomo de hidrógeno. ^[8] ) Sin embargo, como un mero cambio de representación, el mapa de Weyl subyace a la formulación alternativa del espacio de fases de la mecánica cuántica convencional.

• Media forma
• Foliación lagrangiana
• Método de la órbita de Kirillov
• La cuantificación conmuta con la reducción

• La revisión de William Ritter sobre la cuantificación geométrica presenta un marco general para todos los problemas de la física y ajusta la cuantificación geométrica a este marco arXiv :math-ph/0208008
• La reseña de John Baez sobre Cuantización geométrica, por John Baez, es breve y pedagógica.
• Manual de Matthias Blau sobre cuantificación geométrica, uno de los pocos buenos manuales (sólo en formato ps)
• A. Echeverría-Enríquez, M. Munoz-Lecanda, N. Roman-Roy, Fundamentos matemáticos de la cuantificación geométrica, arXiv :math-ph/9904008.
• G. Sardanashvily , Cuantización geométrica de foliaciones simplécticas, arXiv :math/0110196.