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Método de órbita

En matemáticas , el método de órbitas (también conocido como teoría de Kirillov , método de órbitas coadjuntas y por algunos nombres similares) establece una correspondencia ent...

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En matemáticas , el método de órbitas (también conocido como teoría de Kirillov , método de órbitas coadjuntas y por algunos nombres similares) establece una correspondencia entre representaciones unitarias irreducibles de un grupo de Lie y sus órbitas coadjuntas : órbitas de la acción del grupo sobre el espacio dual de su álgebra de Lie . La teoría fue introducida por Kirillov ( 1961 , 1962 ) para grupos nilpotentes y posteriormente extendida por Bertram Kostant , Louis Auslander , Lajos Pukánszky y otros al caso de grupos resolubles . Roger Howe encontró una versión del método de órbitas que se aplica a grupos de Lie p -ádicos. [ 1 ] David Vogan propuso que el método de órbitas debería servir como principio unificador en la descripción de los duales unitarios de grupos de Lie reductivos reales. [ 2 ] 

Relación con la geometría simpléctica

Una de las observaciones clave de Kirillov fue que las órbitas coadjuntas de un grupo de Lie G poseen una estructura natural de variedades simplécticas cuya estructura simpléctica es invariante bajo G. Si una órbita es el espacio de fases de un sistema mecánico clásico invariante bajo G , entonces el sistema mecánico cuántico correspondiente debe describirse mediante una representación unitaria irreducible de G. Los invariantes geométricos de la órbita se traducen en invariantes algebraicos de la representación correspondiente. De esta manera, el método de la órbita puede considerarse una manifestación matemática precisa de un principio físico vago de cuantización. En el caso de un grupo nilpotente G, la correspondencia involucra todas las órbitas, pero para un G general se requieren restricciones adicionales sobre la órbita (polarizabilidad, integralidad, condición de Pukánszky). Este punto de vista fue desarrollado significativamente por Kostant en su teoría de la cuantización geométrica de órbitas coadjuntas.

Fórmula del carácter de Kirillov

Para un grupo de mentirasGRAMO{\displaystyle G}El método de órbitas de Kirillov proporciona un método heurístico en la teoría de representaciones . Conecta las transformadas de Fourier de las órbitas coadjuntas , que se encuentran en el espacio dual del álgebra de Lie de G , con los caracteres infinitesimales de las representaciones irreducibles . El método debe su nombre al matemático ruso Alexandre Kirillov .

En su forma más simple, establece que un carácter de un grupo de Lie puede estar dado por la transformada de Fourier de la función delta de Dirac soportada en las órbitas coadjuntas, ponderada por la raíz cuadrada del jacobiano del mapa exponencial , denotado porj{\displaystyle j}. No se aplica a todos los grupos de Lie, pero funciona para varias clases de grupos de Lie conexos , incluidos los nilpotentes , algunos grupos semisimples y los grupos compactos .

Casos especiales

Caso de grupo nilpotente

Sea G un grupo de Lie nilpotente conexo y simplemente conexo . Kirillov demostró que las clases de equivalencia de representaciones unitarias irreducibles de G están parametrizadas por las órbitas coadjuntas de G , es decir, las órbitas de la acción de G sobre el espacio dual.gramo∗{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}de su álgebra de Lie. La fórmula del carácter de Kirillov expresa el carácter de Harish-Chandra de la representación como una cierta integral sobre la órbita correspondiente.

Caso colectivo Compact Lie

Las representaciones irreducibles complejas de grupos de Lie compactos han sido completamente clasificadas. Son siempre de dimensión finita, unitarizables (es decir, admiten una forma hermitiana definida positiva invariante ) y están parametrizadas por sus pesos más altos , que son precisamente los pesos integrales dominantes para el grupo. Si G es un grupo de Lie semisimple compacto con una subálgebra de Cartan h, entonces sus órbitas coadjuntas son cerradas y cada una de ellas interseca la cámara de Weyl positiva h * + en un solo punto. Una órbita es integral si este punto pertenece a la red de pesos de G. La teoría del peso más alto puede reformularse en forma de una biyección entre el conjunto de órbitas coadjuntas integrales y el conjunto de clases de equivalencia de representaciones unitarias irreducibles de G : la representación de peso más alto L ( λ ) con peso más alto λ ∈ h * + corresponde a la órbita coadjunta integral G · λ . La fórmula del carácter de Kirillov equivale a la fórmula del carácter demostrada previamente por Harish-Chandra .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Howe, Roger (1977), "Teoría de Kirillov para grupos p-ádicos compactos", Pacific Journal of Mathematics , 73 (2): 365–381 , doi : 10.2140/pjm.1977.73.365
  2. ↑ Vogan, David (1986), "Representaciones de grupos de Lie reductivos", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Berkeley, California) : 245–266
  • Dulfo; Pederson; Vergne (1990), El método de la órbita en la teoría de la representación: Actas de una conferencia celebrada en Copenhague, de agosto a septiembre de 1988 (Progress in Mathematics) , Birkhäuser
  • Kirillov, AA (1961), "Representaciones unitarias de grupos de Lie nilpotentes", Doklady Akademii Nauk SSSR , 138 : 283– 284, ISSN 0002-3264 , MR 0125908  
  • Kirillov, AA (1962), "Representaciones unitarias de grupos de Lie nilpotentes", Russian Mathematical Surveys , 17 (4): 53– 104, Bibcode : 1962RuMaS..17...53K , doi : 10.1070/RM1962v017n04ABEH004118 , ISSN 0042-1316 , MR 0142001  
  • Kirillov, AA (1976) [1972], Elementos de la teoría de las representaciones , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  220, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-07476-4, MR 0412321 
  • Kirillov, AA (1999), "Ventajas y desventajas del método de la órbita" , Bull. Amer. Math. Soc. , 36 (4): 433– 488, doi : 10.1090/s0273-0979-99-00849-6.
  • Kirillov, AA (2001) [1994], "Método de la órbita" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  • Kirillov, AA (2004), Conferencias sobre el método de la órbita , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol.  64, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-3530-2.