Modelo de cascadas globales

Los modelos de cascadas globales son una clase de modelos que buscan simular cascadas grandes y poco frecuentes, desencadenadas por perturbaciones exógenas relativamente pequeñas en comparación con el tamaño del sistema. Este fenómeno se presenta de forma generalizada en diversos sistemas, como las cascadas de información en los sistemas sociales, las caídas del mercado bursátil en los sistemas económicos y las fallas en cascada en las redes de infraestructura física. Los modelos capturan algunas propiedades esenciales de este fenómeno.

Para describir y comprender las cascadas globales, Duncan J. Watts propuso en 2002 un modelo de umbral basado en redes. ^{[ 1 ]} El modelo se basa en la consideración de una población de individuos que deben tomar una decisión entre dos alternativas, y sus elecciones dependen explícitamente de los estados o elecciones de otras personas. El modelo asume que un individuo adoptará una nueva opinión particular (producto o estado) si una fracción umbral de sus vecinos ha adoptado la nueva, de lo contrario, mantendrá su estado original. Para iniciar el modelo, una nueva opinión se distribuirá aleatoriamente entre una pequeña fracción de individuos en la red. Si la fracción satisface una condición particular, se puede desencadenar una gran cascada. (véase Condición de Cascadas Globales) Se ha observado un fenómeno de transición de fase : cuando la red de influencias interpersonales es dispersa, el tamaño de las cascadas exhibe una distribución de ley de potencias , los nodos más conectados son críticos para desencadenar cascadas, y si la red es relativamente densa, la distribución muestra una forma bimodal, en la que los nodos con grado promedio muestran mayor importancia al servir como desencadenantes.

Se han propuesto y analizado varias generalizaciones del modelo de umbral de Watt en los años siguientes. Por ejemplo, el modelo original se ha combinado con modelos de interacción independientes para proporcionar un modelo generalizado de contagio social, que clasifica el comportamiento del sistema en tres clases universales. ^{[ 2 ]} También se ha generalizado en redes modulares ^{[ 3 ]} redes correlacionadas por grado ^{[ 4 ]} y en redes con agrupamiento ajustable. ^{[ 5 ]} El papel de los iniciadores también se ha estudiado recientemente, mostrando que diferentes iniciadores influirían en el tamaño de las cascadas. ^{[ 6 ]} El modelo de umbral de Watt es uno de los pocos modelos que muestra diferencias cualitativas en redes multiplex y redes de una sola capa. ^{[ 7 ]} Además, puede exhibir distribuciones de tamaño de cascada amplias y multimodales en redes finitas. ^{[ 8 ]}

Para derivar la condición de cascada precisa en el modelo original, se podría aplicar un método de función generadora . ^{[ 1 ]} La función generadora para nodos vulnerables en la red es:

${\displaystyle G_{0}(x)=\sum _{k}\rho _{k}p_{k}x^{k},}$

donde p _k es la probabilidad de que un nodo tenga grado k , y

${\displaystyle \rho _{k}={\begin{cases}1&k=0\\\int _{0}^{1/k}f(\chi )\,d\chi &k>0\\\end{cases}}}$

y f es la distribución de la fracción umbral de individuos. El tamaño promedio del grupo vulnerable se puede derivar como:

${\displaystyle \langle n\rangle =G_{0}(1)+{\frac {G_{0}'(1)^{2}}{z-G_{0}''(1)}}}$

donde z es el grado promedio de la red. Las cascadas globales ocurren cuando el tamaño promedio del clúster vulnerable ⟨ n ⟩ diverge ^{[ 1 ].}

${\displaystyle G_{0}''(1)=\sum _{k}k(k-1)\rho _{k}p_{k}=z}$

La ecuación podría interpretarse como: Cuando${\displaystyle G_{0}''(1)<z}$, los clústeres en la red son pequeños y no se producirán cascadas globales ya que los primeros adoptadores están aislados en el sistema, por lo que no se podría generar suficiente impulso. Cuando${\displaystyle G_{0}''(1)>z}$El tamaño típico del grupo vulnerable es infinito, lo que implica la presencia de cascadas globales.

El modelo considera un cambio de estado de individuos en diferentes sistemas que pertenece a una clase más amplia de problemas de contagio. Sin embargo, difiere de otros modelos en varios aspectos: Comparado con 1) el modelo epidémico : donde los eventos de contagio entre pares de individuos son independientes, el efecto que un solo nodo infectado tiene sobre un individuo depende de los demás vecinos de ese individuo en el modelo propuesto. A diferencia de 2) los modelos de percolación o criticidad autoorganizada , el umbral no se expresa como el número absoluto de vecinos "infectados" alrededor de un individuo, sino que se selecciona una fracción correspondiente de vecinos. También es diferente de 3) el modelo de Ising de campo aleatorio y el modelo de votación por mayoría , que se analizan frecuentemente en retículos regulares, aquí, sin embargo, la heterogeneidad de la red juega un papel significativo.

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• Fallo en cascada
• Modelo epidémico
• teoría de la percolación
• Criticidad autoorganizada
• modelo de Ising
• Modelo de votante
• contagio complejo
• Teoría sociológica de la difusión
• Cascada global