Triángulo de oro (matemáticas)

Un triángulo áureo , también llamado triángulo sublime , ^{[ 1 ]} es un triángulo isósceles en el que el lado duplicado está en proporción áurea.${\displaystyle \varphi }$hacia el lado de la base :

${\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618~034.}$

• El ángulo del vértice es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

Por lo tanto, el triángulo áureo es un triángulo agudo (isósceles).

• Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es${\displaystyle \pi }$radianes , cada uno de los ángulos base (CBX y CXB) es:

${\displaystyle \beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$^{[ 1 ]}

Nota:

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$

• El triángulo áureo es el triángulo cuyos ángulos están en la proporción 1  : 2  : 2 (es decir, 36°, 72°, 72°). ^{[ 3 ]}

• Los triángulos dorados se pueden encontrar en las puntas de los pentagramas regulares .
• También se pueden encontrar triángulos áureos en un decágono regular, un polígono equiángulo y equilátero de diez lados , conectando dos vértices adyacentes cualesquiera al centro. Esto se debe a que: 180×(10−2)/10 = 144° es el ángulo interior , y al bisecarlo a través del vértice hasta el centro: 144/2 = 72°. ^{[ 1 ]}
• Además, se encuentran triángulos dorados en las redes de varias estelaciones de dodecaedros e icosaedros .

espiral logarítmica

El triángulo áureo se utiliza para formar algunos puntos de una espiral logarítmica . Al bisecar uno de los ángulos de la base, se crea un nuevo punto que, a su vez, forma otro triángulo áureo. ^{[ 4 ]} El proceso de bisección puede continuarse indefinidamente, creando un número infinito de triángulos áureos. Se puede trazar una espiral logarítmica a través de los vértices. Esta espiral también se conoce como espiral equiangular , término acuñado por René Descartes . «Si se traza una línea recta desde el polo a cualquier punto de la curva, corta la curva con el mismo ángulo», de ahí el término equiangular . ^{[ 5 ]} Esta espiral es diferente de la espiral áurea : la espiral áurea crece por un factor de la proporción áurea en cada cuarto de vuelta, mientras que la espiral que pasa por estos triángulos áureos tarda un ángulo de 108° en crecer por el mismo factor. ^{[ 6 ]}

Estrechamente relacionado con el triángulo áureo está el gnomon áureo , que es el triángulo isósceles en el que la razón de las longitudes de los lados iguales a la longitud de la base es el recíproco.${\displaystyle {\tfrac {1}{\varphi }}}$de la proporción áurea${\displaystyle \varphi }$.

"El triángulo áureo tiene una relación entre la longitud de la base y la longitud del lado igual a la sección áurea φ, mientras que el gnomon áureo tiene una relación entre la longitud del lado y la longitud de la base igual a la sección áurea φ." ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618~034.}$

• Al dividir por la mitad uno de sus ángulos de la base, un triángulo áureo se puede subdividir en un triángulo áureo y un gnomon áureo.
• Al trisecar su ángulo superior, un gnomon dorado se puede subdividir en un triángulo dorado y un gnomon dorado.
• Un gnomon dorado y un triángulo dorado con lados iguales que coinciden en longitud, también se denominan triángulos de Robinson obtuso y agudo. ^{[ 3 ]}

• Un triángulo dorado y dos gnomones dorados recubren un pentágono regular . ^{[ 8 ]}
• Estos triángulos isósceles se pueden usar para producir teselaciones de Penrose . Las teselaciones de Penrose se componen de cometas y dardos. Una cometa se forma con dos triángulos dorados adyacentes , y un dardo con dos gnomones dorados adyacentes.

• Rectángulo áureo
• Rombo dorado
• Triángulo de oro (composición)
• El triángulo de oro de Kimberling
• Triángulo de Kepler
• Laúd de Pitágoras
• Pentagrama

• Weisstein, Eric W. "Triángulo dorado" . MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Gnomon dorado" . MathWorld .
• Triángulos de Robinson en la Enciclopedia de Tilings
• Triángulo de oro según Euclides
• La extraordinaria reciprocidad de los triángulos dorados en Tartapelago por Giorgio Pietrocola
• Tutorial sobre la proporción áurea por Karl Sims