variedad gráfica

En topología , una variedad de grafos (en alemán: Graphenmannigfaltigkeit ) es una 3-variedad que se obtiene al pegar algunos haces de círculos . Fueron descubiertas y clasificadas por el topólogo alemán Friedhelm Waldhausen en 1967. Esta definición permite una descripción combinatoria muy conveniente como un grafo cuyos vértices son las partes fundamentales y las aristas (decoradas) representan la descripción del pegado, de ahí su nombre.

Más precisamente, una 3-distribución compacta y orientable${\displaystyle M}$Se dice que es una variedad gráfica si existe una colección finita de toros incrustados disjuntos.${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots ,T_{k}\subset M}$de tal manera que cada componente conectado de${\displaystyle M\setminus \bigcup _{i=1}^{k}T_{i}}$es un fibrado circular sobre una superficie .

Dos clases de ejemplos muy importantes las constituyen los haces de Seifert y las variedades Solv . Esto nos lleva a una definición más moderna: una variedad gráfica es una variedad Solv, una variedad que solo tiene piezas de Seifert en su descomposición JSJ , o bien sumas conexas de las dos categorías anteriores. Desde esta perspectiva, el artículo de Waldhausen puede considerarse el primer avance hacia el descubrimiento de la descomposición JSJ.

Una de las numerosas consecuencias del teorema de geometrización de Thurston-Perelman es que las variedades gráficas son precisamente las 3-variedades cuya norma de Gromov se anula.

• Waldhausen, Friedhelm (1967), "Eine Klasse von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. I" , Inventiones Mathematicae , 3 (4): 308– 333, doi : 10.1007/BF01402956 , ISSN 0020-9910 , MR 0235576  
• Waldhausen, Friedhelm (1967), "Eine Klasse von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. II" , Inventiones Mathematicae , 4 (2): 87– 117, doi : 10.1007/BF01425244 , ISSN 0020-9910 , SEÑOR 0235576