Teorema de Green

En cálculo vectorial , el teorema de Green relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C con una integral doble sobre la región plana D (superficie en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) delimitado por C. Es el caso especial bidimensional del teorema de Stokes (superficie en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$). En una dimensión, es equivalente al teorema fundamental del cálculo . En dos dimensiones, es equivalente al teorema de la divergencia .

Recibe su nombre del físico matemático George Green .

Sea C una curva cerrada simple , suave a trozos y orientada positivamente en un plano , y sea D la región acotada por C. Si L y M son funciones de ( x , y ) definidas en una región abierta que contiene a D y tienen derivadas parciales continuas allí, entonces

$${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA}$$

donde la trayectoria de integración a lo largo de C es en sentido antihorario . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El teorema de Green en el plano relaciona las integrales de línea alrededor de una curva cerrada simple con las integrales dobles sobre las regiones que encierra. Tiene dos formas equivalentes: la forma de circulación , que dice que la integral de línea tangencial de un campo vectorial${\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)}$alrededor de una curva cerrada simple orientada positivamente${\displaystyle C}$es igual a la integral doble del rotacional escalar${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}}$en toda la región${\displaystyle D}$delimitado por${\displaystyle C}$; y la forma de flujo ( divergencia ) , que dice que la integral de línea normal de${\displaystyle \mathbf {F} }$alrededor${\displaystyle C}$es igual a la integral doble de la divergencia${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$encima${\displaystyle D}$En las aplicaciones, la forma de circulación se utiliza para cálculos de circulación bidimensional y flujo rotacional, mientras que la forma de flujo mide el flujo neto a través de un límite cerrado. El teorema de Green también proporciona fórmulas prácticas de integral de contorno para el área y el centroide de una región plana.

_{A continuación se presenta} una demostración de la mitad del teorema para el área simplificada D , una región de tipo I donde _C₁ y C₃ son curvas conectadas por líneas verticales (posiblemente de longitud cero). Existe una demostración similar para la otra mitad del teorema cuando D es una región de tipo II donde _C₂ y C₄ son curvas conectadas por líneas horizontales (de nuevo, posiblemente de longitud cero). Al combinar estas dos partes, el teorema queda demostrado para regiones de tipo III (definidas como regiones que son tanto _de tipo I como de tipo II). El caso general se puede deducir a partir de este caso particular descomponiendo D en un conjunto de regiones de tipo III.

Si se puede demostrar que

y

Si se cumplen las condiciones, el teorema de Green se deduce inmediatamente para la región D. Podemos demostrar fácilmente ( 1 ) para regiones de tipo I y ( 2 ) para regiones de tipo II. El teorema de Green se deduce entonces para regiones de tipo III.

Supongamos que la región D es una región de tipo I y, por lo tanto, puede caracterizarse, como se muestra en la imagen de la derecha, por: $${\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$$ donde g ₁ y g ₂ son funciones continuas en [ a , b ] . Calcule la integral doble en ( 1 ):

Ahora calculamos la integral de línea en ( 1 ). C se puede reescribir como la unión de cuatro curvas: C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ .

Con C ₁ , use las ecuaciones paramétricas : x = x , y = g ₁ ( x ), a ≤ x ≤ b . Entonces $${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.}$$

Con C ₃ , use las ecuaciones paramétricas: x = x , y = g ₂ ( x ), a ≤ x ≤ b . Entonces $${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=\int _{b}^{a}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}$$

La integral sobre C3 se niega porque va en la dirección negativa de b a a , ya que _C está orientada positivamente ( _en sentido antihorario). En C2 y C4 , x permanece constante, lo que _significa$${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.}$$

Por lo tanto,

Combinando ( 3 ) con ( 4 ), obtenemos ( 1 ) para las regiones de tipo I. Un tratamiento similar utilizando los mismos puntos finales produce ( 2 ) para las regiones de tipo II. Al juntar ambos, obtenemos el resultado para las regiones de tipo III.

Vamos a demostrar lo siguiente

Necesitamos los siguientes lemas cuyas demostraciones se pueden encontrar en: ^{[ 3 ]}

Ahora estamos en condiciones de demostrar el teorema:

Demostración del teorema. Sea${\displaystyle \varepsilon }$Sea un número real positivo arbitrario . Por continuidad de${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$y compacidad de${\displaystyle {\overline {R}}}$, dado${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe${\displaystyle 0<\delta <1}$de tal manera que siempre que dos puntos de${\displaystyle {\overline {R}}}$son menos que${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$aparte, sus imágenes bajo${\displaystyle A,B}$son menos que${\displaystyle \varepsilon }$aparte. Por esto${\displaystyle \delta }$Consideremos la descomposición dada por el lema anterior. Tenemos $${\displaystyle \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.}$$

Poner${\displaystyle \varphi$ :=D_{1}B-D_{2}A} .

Para cada${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$, la curva${\displaystyle \Gamma _{i}}$es un cuadrado orientado positivamente, para el cual se cumple la fórmula de Green. Por lo tanto $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .}$$

Cada punto de una región fronteriza está a una distancia no mayor que${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$de${\displaystyle \Gamma }$. Por lo tanto, si${\displaystyle K}$es la unión de todas las regiones fronterizas, entonces${\displaystyle K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )}$; por eso${\displaystyle c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}}$, por el Lema 2. Nótese que $${\displaystyle \int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi .}$$ Esto produce $${\displaystyle \left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ for some }}M>0.}$$

Bien podríamos elegir${\displaystyle \delta }$de modo que el lado derecho de la última desigualdad sea${\displaystyle <\varepsilon .}$

La observación al comienzo de esta demostración implica que las oscilaciones de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$en cada región fronteriza es como máximo${\displaystyle \varepsilon }$. Tenemos $${\displaystyle \left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.}$$

Por el Lema 1(iii), $${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta )\,4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\leq 17\Lambda +16.}$$

Combinando estos, finalmente obtenemos $${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon ,}$$ para algunos${\displaystyle C>0}$. Dado que esto es cierto para todos${\displaystyle \varepsilon >0}$Hemos terminado.

Las hipótesis del último teorema no son las únicas bajo las cuales la fórmula de Green es verdadera. Otro conjunto común de condiciones es el siguiente:

Las funciones${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$Se sigue asumiendo que son continuas. Sin embargo, ahora requerimos que sean diferenciables en el sentido de Fréchet en cada punto de${\displaystyle R}$. Esto implica la existencia de todas las derivadas direccionales, en particular${\displaystyle D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2}$, donde, como de costumbre,${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$es la base ordenada canónica de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$Además, requerimos la función${\displaystyle D_{1}B-D_{2}A}$ser integrable de Riemann sobre${\displaystyle R}$.

Como corolario de esto, obtenemos el teorema integral de Cauchy para curvas de Jordan rectificables:

Teorema. Sea${\displaystyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}}$curvas de Jordan rectificables orientadas positivamente en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$satisfactorio $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neq j,\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle R_{i}}$es la región interior de${\displaystyle \Gamma _{i}}$. Dejar $${\displaystyle D=R_{0}\setminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}).}$$

Suponer${\displaystyle p:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$y${\displaystyle q:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$son funciones continuas cuya restricción a${\displaystyle D}$es diferenciable en el sentido de Fréchet. Si la función $${\displaystyle (x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)}$$ es integrable de Riemann sobre${\displaystyle D}$, entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}$$

El teorema de Green es un caso especial del teorema de Kelvin-Stokes , cuando se aplica a una región en el${\displaystyle xy}$-avión.

Podemos ampliar el campo bidimensional a un campo tridimensional con una componente z que siempre es 0. Escriba F para la función vectorial con valores en${\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}$Comencemos con el lado izquierdo del teorema de Green: $${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}$$

El teorema de Kelvin-Stokes: $${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}$$

La superficie${\displaystyle S}$es simplemente la región en el plano${\displaystyle D}$, con la unidad normal${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$definido (por convención) para tener un componente z positivo con el fin de coincidir con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas.

La expresión dentro de la integral se convierte en $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}$$

De esta forma obtenemos el lado derecho del teorema de Green. $${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

El teorema de Green es también un resultado directo del teorema general de Stokes utilizando formas diferenciales y derivadas exteriores : $${\displaystyle \oint _{C}L\,dx+M\,dy=\oint _{\partial D}\!\omega =\int _{D}d\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$$

Considerando únicamente campos vectoriales bidimensionales, el teorema de Green es equivalente a la versión bidimensional del teorema de la divergencia :

${\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}$

dónde${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$es la divergencia en el campo vectorial bidimensional${\displaystyle \mathbf {F} }$, y${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$es el vector normal unitario que apunta hacia afuera en el límite.

Para ver esto, consideremos la unidad normal${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$en el lado derecho de la ecuación. Dado que en el teorema de Green${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}$es un vector que apunta tangencialmente a lo largo de la curva, y la curva C es la curva orientada positivamente (es decir, en sentido antihorario) a lo largo del límite, una normal hacia afuera sería un vector que apunta 90° a la derecha de esta; una opción sería${\displaystyle (dy,-dx)}$. La longitud de este vector es${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$Entonces${\displaystyle (dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.}$

Comencemos con el lado izquierdo del teorema de Green: $${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.}$$ Aplicando el teorema de divergencia bidimensional con${\displaystyle \mathbf {F} =(M,-L)}$, obtenemos el lado derecho del teorema de Green: $${\displaystyle \oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

El teorema de Green se puede utilizar para calcular el área mediante la integral de línea. ^{[ 4 ] : 1087} El área de una región plana${\displaystyle D}$es dado por$${\displaystyle A=\iint _{D}dA.}$$

Elegir${\displaystyle L}$y${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}$El área viene dada por$${\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).}$$

Posibles fórmulas para el área de${\displaystyle D}$incluir ^{[ 4 ] : 1087}$${\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\frac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).}$$

William Thomson ( Lord Kelvin ) nombró este teorema en honor a George Green , quien enunció un resultado similar en un artículo de 1828 titulado «Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo» ^{[ 5 ]} , que quedó casi en el olvido hasta que Thomson lo redescubrió en 1845 ^{[ 6 ].} En 1846, Augustin-Louis Cauchy publicó un artículo en el que enunciaba el teorema de Green como la penúltima frase ^{[ 7 ]} . Finalmente, en 1851, Bernhard Riemann proporcionó una demostración del teorema en su tesis doctoral ^{[ 8 ] [ 9 ] : 801-5}

• Planímetro – Herramienta para medir áreas 
• Método de cargas imagen : un método utilizado en electrostática que aprovecha el teorema de unicidad (derivado del teorema de Green).
• Fórmula del cordón de zapato : un caso especial del teorema de Green para polígonos simples.
• Teorema de Bendixson-Dulac : Teorema en dinámica bidimensional que se deduce de la aplicación del teorema de Green.

• Marsden, Jerrold E .; Tromba, Anthony (2012). «Capítulo 8: Los teoremas integrales del análisis vectorial». Cálculo vectorial (6.ª  ed.). Nueva York: WH Freeman and Company. ISBN 978-1-4292-1508-4.

• El teorema de Green en MathWorld