secuencia espectral de Grothendieck

En matemáticas , en el campo del álgebra homológica , la sucesión espectral de Grothendieck , introducida por Alexander Grothendieck en su artículo de Tôhoku , es una sucesión espectral que calcula los functores derivados de la composición de dos functores .${\displaystyle G\circ F}$, a partir del conocimiento de los functores derivados de${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$Muchas secuencias espectrales en geometría algebraica son ejemplos de la secuencia espectral de Grothendieck, por ejemplo la secuencia espectral de Leray .

Si${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$y${\displaystyle G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$son dos functores aditivos y exactos por la izquierda entre categorías abelianas tales que ambos${\displaystyle {\mathcal {A}}}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$tener suficientes inyecciones y${\displaystyle F}$toma objetos inyectivos a${\displaystyle G}$- objetos acíclicos , entonces para cada objeto${\displaystyle A}$de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$Hay una secuencia espectral:

${\displaystyle E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A),}$

dónde${\displaystyle {\rm {R}}^{p}G}$denota el p -ésimo functor derivado por la derecha de${\displaystyle G}$, etc., y donde la flecha '${\displaystyle \Longrightarrow }$' significa convergencia de secuencias espectrales .

Utilizaremos el siguiente lema:

Prueba: Dejemos${\displaystyle Z^{n},B^{n+1}}$ser el núcleo y la imagen de${\displaystyle d:K^{n}\to K^{n+1}}$. Tenemos

${\displaystyle 0\to Z^{n}\to K^{n}{\overset {d}{\to }}B^{n+1}\to 0,}$

que se divide. Esto implica que cada${\displaystyle B^{n+1}}$es inyectivo. A continuación, analizamos

${\displaystyle 0\to B^{n}\to Z^{n}\to H^{n}(K^{\bullet })\to 0.}$

Se divide, lo que implica la primera parte del lema, así como la exactitud de

${\displaystyle 0\to G(B^{n})\to G(Z^{n})\to G(H^{n}(K^{\bullet }))\to 0.}$

De forma similar tenemos (usando la división anterior):

${\displaystyle 0\to G(Z^{n})\to G(K^{n}){\overset {G(d)}{\to }}G(B^{n+1})\to 0.}$

A continuación, la segunda parte.${\displaystyle \square }$

Ahora construimos una secuencia espectral. Sea${\displaystyle A^{0}\to A^{1}\to \cdots }$ser una resolución inyectiva de A . Escritura${\displaystyle \phi ^{p}}$para${\displaystyle F(A^{p})\to F(A^{p+1})}$, tenemos:

${\displaystyle 0\to \operatorname {ker} \phi ^{p}\to F(A^{p}){\overset {\phi ^{p}}{\to }}\operatorname {im} \phi ^{p}\to 0.}$

Tomar resoluciones inyectables${\displaystyle J^{0}\to J^{1}\to \cdots }$y${\displaystyle K^{0}\to K^{1}\to \cdots }$del primer y tercer término no nulo. Por el lema de la herradura , su suma directa${\displaystyle I^{p,\bullet }=J\oplus K}$es una resolución inyectiva de${\displaystyle F(A^{p})}$Por lo tanto, encontramos una resolución inyectiva del complejo:

${\displaystyle 0\to F(A^{\bullet })\to I^{\bullet ,0}\to I^{\bullet ,1}\to \cdots .}$

de tal manera que cada fila${\displaystyle I^{0,q}\to I^{1,q}\to \cdots }$satisface la hipótesis del lema (véase la resolución de Cartan-Eilenberg ).

Ahora, el complejo doble${\displaystyle E_{0}^{p,q}=G(I^{p,q})}$da lugar a dos secuencias espectrales, horizontal y vertical, que vamos a examinar ahora. Por un lado, por definición,

${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{p,\bullet }))=R^{q}G(F(A^{p}))}$,

que siempre es cero a menos que q = 0 ya que${\displaystyle F(A^{p})}$es G -acíclico por hipótesis. Por lo tanto,${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{2}^{n}=R^{n}(G\circ F)(A)}$y${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{2}={}^{\prime \prime }E_{\infty }}$. Por otro lado, según la definición y el lema,

${\displaystyle {}^{\prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{\bullet ,p}))=G(H^{q}(I^{\bullet ,p})).}$

Desde${\displaystyle H^{q}(I^{\bullet ,0})\to H^{q}(I^{\bullet ,1})\to \cdots }$es una resolución inyectiva de${\displaystyle H^{q}(F(A^{\bullet }))=R^{q}F(A)}$(es una resolución puesto que su cohomología es trivial),

${\displaystyle {}^{\prime }E_{2}^{p,q}=R^{p}G(R^{q}F(A)).}$

Desde${\displaystyle {}^{\prime }E_{r}}$y${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{r}}$Si tienen el mismo término límite, la demostración está completa.${\displaystyle \square }$

• Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, MR 0345092 
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324 , OCLC 36131259