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Articulo de referencia

Teorema de Grushko

En el campo de la teoría de grupos , el teorema de Grushko o teorema de Grushko-Neumann establece que el rango (es decir, la cardinalidad mínima de un conjunto generador ) de un...

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En el campo de la teoría de grupos , el teorema de Grushko o teorema de Grushko-Neumann establece que el rango (es decir, la cardinalidad mínima de un conjunto generador ) de un producto libre de dos grupos es igual a la suma de los rangos de sus dos factores libres. El teorema fue formulado por primera vez en un artículo de Grushko de 1940 [ 1 ] y posteriormente, de forma independiente, en un artículo de Neumann de 1943 [ 2 ] .

Enunciado del teorema

Sean A y B grupos finitamente generados y sea A ∗ B el producto libre de A y B. Entonces

rango( A ∗ B ) = rango( A ) + rango( B ).

Es obvio que rango( A ∗ B ) ≤ rango( A ) + rango( B ) ya que si X es un conjunto generador finito de A e Y es un conjunto generador finito de B , entonces X ∪ Y es un conjunto generador para A ∗ B y que | X ∪ Y | ≤ | X | + | Y |. La desigualdad opuesta, rango( A ∗ B ) ≥ rango( A ) + rango( B ), requiere demostración.

Grushko, pero no Neumann, demostró una versión más precisa del teorema de Grushko en términos de equivalencia de Nielsen . Establece que si M = ( g 1 , g 2 , ..., g n ) es una n -tupla de elementos de G = A ∗ B tal que M genera G , < g 1 , g 2 , ..., g n > = G , entonces M es equivalente de Nielsen en G a una n -tupla de la forma

M' = ( a 1 , ..., a k , b 1 , ..., b n − k ) donde { a 1 , ..., a k }⊆ A es un conjunto generador para A y donde { b 1 , ..., b n − k }⊆ B es un conjunto generador para B . En particular, rango( A ) ≤ k , rango( B ) ≤ n − k y rango( A ) + rango( B ) ≤ k + ( n − k ) = n . Si se toma M como la tupla generadora mínima para G , es decir, con n = rango( G ), esto implica que rango( A ) + rango( B ) ≤ rango( G ). Dado que la desigualdad opuesta, rango( G ) ≤ rango( A ) + rango( B ), es obvia, se deduce que rango( G )=rango( A ) + rango( B ), como se requiere.      

Historia y generalizaciones

Tras las demostraciones originales de Grushko (1940) y Neumann (1943), surgieron numerosas demostraciones alternativas, simplificaciones y generalizaciones del teorema de Grushko. Una versión cercana a la demostración original de Grushko se encuentra en el libro de Kurosh de 1955. [ 3 ]

Al igual que las demostraciones originales, la demostración de Lyndon (1965) [ 4 ] se basó en consideraciones sobre funciones de longitud, pero con simplificaciones sustanciales. Un artículo de Stallings de 1965 [ 5 ] proporcionó una demostración topológica muy simplificada del teorema de Grushko.

Un artículo de Zieschang de 1970 [ 6 ] dio una versión de equivalencia de Nielsen del teorema de Grushko (mencionado anteriormente) y proporcionó algunas generalizaciones del teorema de Grushko para productos libres amalgamados . Scott (1974) dio otra demostración topológica del teorema de Grushko, inspirada en los métodos de la topología de 3-variedades [ 7 ] Imrich (1984) [ 8 ] dio una versión del teorema de Grushko para productos libres con infinitos factores.

Un artículo de Chiswell de 1976 [ 9 ] proporcionó una demostración relativamente sencilla del teorema de Grushko, modelada a partir de la demostración de Stallings de 1965, que utilizó las técnicas de la teoría de Bass-Serre . El argumento inspiró directamente la maquinaria de plegados para acciones de grupo en árboles y para grafos de grupos y la demostración aún más sencilla de Dicks del teorema de Grushko (véase, por ejemplo, [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] ).

El teorema de Grushko es, en cierto sentido, un punto de partida en la teoría de accesibilidad de Dunwoody para grupos finitamente generados y finitamente presentados . Dado que los rangos de los factores libres son menores que el rango de un producto libre, el teorema de Grushko implica que el proceso de escisión iterada de un grupo finitamente generado G como producto libre debe terminar en un número finito de pasos (más precisamente, en como máximo rango( G ) pasos). Existe una pregunta similar natural para las escisiones iterativas de grupos finitamente generados sobre subgrupos finitos. Dunwoody demostró que dicho proceso siempre debe terminar si un grupo G es finitamente presentado [ 13 ] , pero puede continuar indefinidamente si G es finitamente generado pero no finitamente presentado [ 14 ] .

Higgins (1966) dio una demostración algebraica de una generalización sustancial del teorema de Grushko utilizando la maquinaria de grupoides . [ 15 ] El teorema de Higgins comienza con grupos G y B con descomposiciones libres G = ∗ i G i , B = ∗ i B i y f  : G → B un morfismo tal que f ( G i ) = B i para todo i . Sea H un subgrupo de G tal que f ( H ​​) = B . Entonces H tiene una descomposición H = ∗ i H i tal que f ( H ​​i ) = B i para todo i . Los detalles completos de la demostración y las aplicaciones también se pueden encontrar en . [ 10 ] [ 16 ]

Teorema de descomposición de Grushko

Una consecuencia útil del teorema original de Grushko es el llamado teorema de descomposición de Grushko. Este afirma que cualquier grupo finitamente generado no trivial G puede descomponerse como un producto libre.

G = A 1 ∗ A 2 ∗...∗ A r ∗ F s , donde s ≥ 0, r ≥ 0,

donde cada uno de los grupos A i es no trivial, libremente indescomponible (es decir, no puede descomponerse como un producto libre) y no infinitamente cíclico, y donde F s es un grupo libre de rango s ; además, para un G dado , los grupos A 1 , ..., A r son únicos salvo una permutación de sus clases de conjugación en G (y, en particular, la secuencia de tipos de isomorfismo de estos grupos es única salvo una permutación) y los números s y r también son únicos.

Más precisamente, si G = B 1 ∗...∗ B k ∗ F t es otra descomposición de este tipo, entonces k = r , s = t , y existe una permutación σ∈ S r tal que para cada i =1,..., r los subgrupos A i y B σ( i ) son conjugados en G .

La existencia de la descomposición anterior, llamada descomposición de Grushko de G , es un corolario inmediato del teorema original de Grushko, mientras que la afirmación de unicidad requiere argumentos adicionales (véase, por ejemplo, [ 17 ] ).

Calcular algorítmicamente la descomposición de Grushko para clases específicas de grupos es un problema difícil que requiere principalmente poder determinar si un grupo dado es libremente descomponible. Se han obtenido resultados positivos para algunas clases de grupos, como los grupos hiperbólicos de palabras sin torsión , ciertas clases de grupos relativamente hiperbólicos , [ 18 ] grupos fundamentales de grafos finitos de grupos libres finitamente generados [ 19 ] y otros.

El teorema de descomposición de Grushko es un análogo en teoría de grupos del teorema de descomposición prima de Kneser para 3-variedades, que establece que una 3-variedad cerrada puede descomponerse de forma única como una suma conexa de 3-variedades irreducibles. [ 20 ]

Esquema de la demostración utilizando la teoría de Bass-Serre.

A continuación se presenta un esbozo de la demostración del teorema de Grushko basado en el uso de técnicas de plegado para grupos que actúan sobre árboles (véanse [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] para demostraciones completas que utilizan este argumento).

Sea S ={ g 1 ,..., g n } un conjunto generador finito para G = A ∗ B de tamaño | S |= n =rank( G ). Realicemos G como el grupo fundamental de un grafo de grupos Y que es una única arista no cíclica con grupos de vértices A y B y con el grupo de aristas trivial. SeaY~{\displaystyle {\tilde {\mathbf {Y} }}}Sea el árbol de recubrimiento de Bass-Serre para Y. Sea F = F ( x 1 ,..., x n ) el grupo libre con base libre x 1 ,...., x n y sea φ 0 : F → G el homomorfismo tal que φ 0 ( x i )= g i para i =1,..., n . Consideremos F como el grupo fundamental de un grafo Z 0 que es la cuña de n círculos que corresponden a los elementos x 1 ,...., x n . También pensamos en Z 0 como un grafo de grupos con el grafo subyacente Z 0 y los grupos triviales de vértices y aristas. Entonces, el recubrimiento universalZ~0{\displaystyle {\tilde {Z}}_{0}}de Z 0 y el árbol de recubrimiento de Bass-Serre para Z 0 coinciden. Consideremos un mapa φ 0 -equivarianter0:Z~0→Y~{\displaystyle r_{0}:{\tilde {Z}}_{0}\to {\tilde {\mathbf {Y} }}}de modo que envía vértices a vértices y aristas a caminos de aristas. Este mapeo no es inyectivo y, dado que tanto el origen como el destino del mapeo son árboles, este mapeo "pliega" algunos pares de aristas en el origen. El grafo de grupos Z 0 sirve como una aproximación inicial para Y .

Ahora comenzamos a realizar una secuencia de "movimientos de plegado" en Z 0 (y en su árbol de recubrimiento de Bass-Serre) para construir una secuencia de grafos de grupos Z 0 , Z 1 , Z 2 , ...., que forman aproximaciones cada vez mejores para Y . Cada uno de los grafos de grupos Z j tiene grupos de aristas triviales y viene con la siguiente estructura adicional: para cada grupo de vértices no trivial de él se le asigna un conjunto generador finito de ese grupo de vértices. La complejidad c ( Z j ) de Z j es la suma de los tamaños de los conjuntos generadores de sus grupos de vértices y el rango del grupo libre π 1 ( Z j ). Para el grafo de aproximación inicial tenemos c ( Z 0 )= n .

Los movimientos de plegado que transforman Z j en Z j +1 pueden ser de dos tipos:

  • Se trata de pliegues que identifican dos aristas del grafo subyacente con un vértice inicial común pero vértices finales distintos en una sola arista; cuando se realiza dicho pliegue, los conjuntos generadores de los grupos de vértices y las aristas terminales se "unen" para formar un conjunto generador del nuevo grupo de vértices; el rango del grupo fundamental del grafo subyacente no cambia con este movimiento.
  • pliegues que identifican dos aristas, que ya tenían vértices iniciales comunes y vértices terminales comunes, en una sola arista; tal movimiento disminuye el rango del grupo fundamental del grafo subyacente en 1 y un elemento que correspondía al bucle en el grafo que se está colapsando se "agrega" al conjunto generador de uno de los grupos de vértices.

Se observa que los movimientos de plegado no aumentan la complejidad, pero sí disminuyen el número de aristas en Z j . Por lo tanto, el proceso de plegado debe terminar en un número finito de pasos con un grafo de grupos Z k que ya no se puede plegar. De las consideraciones básicas de la teoría de Bass-Serre se deduce que Z k debe ser igual a la arista de los grupos Y y que Z k viene equipado con conjuntos generadores finitos para los grupos de vértices A y B . La suma de los tamaños de estos conjuntos generadores es la complejidad de Z k que, por lo tanto, es menor o igual que c ( Z 0 )= n . Esto implica que la suma de los rangos de los grupos de vértices A y B es como máximo n , es decir, rango( A )+rango( B )≤rango( G ), como se requiere.

Bosquejo de la prueba de Stalling

La demostración del teorema de Grushko realizada por Stallings se deduce del siguiente lema.

Lema

Sea F un grupo libre finitamente generado, con n generadores. Sean G 1 y G 2 dos grupos finitamente presentados. Supongamos que existe un homomorfismo sobreyectivo.ϕ:F→GRAMO1∗GRAMO2{\displaystyle \phi :F\rightarrow G_{1}\ast G_{2}}. Entonces existen dos subgrupos F 1 y F 2 de F conϕ(F1)=GRAMO1{\displaystyle \phi (F_{1})=G_{1}}yϕ(F2)=GRAMO2{\displaystyle \phi (F_{2})=G_{2}}, de tal manera queF=F1∗F2.{\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}.}

Prueba: Damos la prueba suponiendo que F no tiene generador que se mapee a la identidad deGRAMO1∗GRAMO2{\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}, porque si existen tales generadores, se pueden agregar a cualquiera deF1{\displaystyle F_{1}}oF2{\displaystyle F_{2}}.

En la demostración se utilizan los siguientes resultados generales.

1. Existe un complejo CW unidimensional o bidimensional , Z , con grupo fundamental F. Por el teorema de Van Kampen , la cuña de n círculos es uno de esos espacios.

2. Existe un complejo de dos partesincógnita=incógnita1∪incógnita2{\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}dónde{pag}=incógnita1∩incógnita2{\displaystyle \{p\}=X_{1}\cap X_{2}}es un punto en una celda unitaria de X tal que X 1 y X 2 son dos complejos con grupos fundamentales G 1 y G 2 respectivamente. Nótese que, por el teorema de Van Kampen, esto implica que el grupo fundamental de X esGRAMO1∗GRAMO2{\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}.

3. Existe un mapaF:Z→incógnita{\displaystyle f:Z\rightarrow X}de tal manera que el mapa inducidoF∗{\displaystyle f_{\ast }}sobre los grupos fundamentales es lo mismo queϕ{\displaystyle \phi }

Para mayor comodidad, denotemosF−1(incógnita1)=:Z1{\displaystyle f^{-1}(X_{1})=:Z_{1}}y F−1(incógnita2)=:Z2{\displaystyle f^{-1}(X_{2})=:Z_{2}}. Dado que ningún generador de F se mapea a la identidad, el conjuntoZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}no tiene bucles, porque si los tiene, estos corresponderán a círculos de Z que se mapean apag∈incógnita{\displaystyle p\in X}, que a su vez corresponden a generadores de F que van a la identidad. Entonces, los componentes deZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}son contratables. En el caso dondeZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}tiene solo un componente, por el teorema de Van Kampen, hemos terminado, ya que en ese caso,  :F=Π1(Z1)∗Π1(Z2){\ Displaystyle F = \ Pi _ {1} (Z_ {1}) \ ast \ Pi _ {1} (Z_ {2})}.

La demostración general se obtiene reduciendo Z a un espacio homotópicamente equivalente a él, pero con menos componentes enZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}y por lo tanto por inducción sobre los componentes deZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}.

Dicha reducción de Z se realiza mediante la fijación de discos a lo largo de las ataduras.

A un mapa lo llamamos mapa.γ:[0,1]→Z{\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z} un vínculo vinculante si satisface las siguientes propiedades

1. Es monocromático , es decirγ([0,1])⊆Z1{\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_ {1}}oγ([0,1])⊆Z2{\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_ {2}}

2. Es un empate , es decirγ(0){\displaystyle \gamma (0)}yγ(1){\displaystyle \gamma (1)}yacen en diferentes componentes deZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}.

3. Es nulo , es decirF∘γ([0,1]){\displaystyle f\circ \gamma ([0,1])}es homotópico nulo en X.

Supongamos que existe tal vínculo vinculante.γ{\displaystyle \gamma }ser el vínculo que une.

Considere el mapagramo:[0,1]→D2{\displaystyle g:[0,1]\rightarrow D^{2}}dado porgramo(t)=miit{\displaystyle g(t)=e^{it}}Este mapa es un homeomorfismo sobre su imagen. Defina el espacio .Z′{\displaystyle Z'}como

Z′=Z∐D2/∼{\displaystyle Z'=Z\coprod \!D^{2}/\!\sim }dónde  :incógnita∼y si y solo si{incógnita=y, o incógnita=γ(t) y y=gramo(t) para algunos t∈[0,1] o incógnita=gramo(t) y y=γ(t) para algunos t∈[0,1]{\displaystyle x\!\!\sim y{\text{ si y solo si}}{\begin{cases}x=y,{\mbox{ o }}\\x=\gamma (t){\text{ y }}y=g(t){\text{ para algún }}t\in [0,1]{\mbox{ o }}\\x=g(t){\text{ y }}y=\gamma (t){\text{ para algún }}t\in [0,1]\end{cases}}}

Nótese que la deformación del espacio Z' se retrae a Z. Primero extendemos f a una función.″F″:Z∐∂D2/∼{\displaystyle ''f'':Z\coprod \partial D^{2}/\!\sim }como

F″(incógnita)={F(incógnita), incógnita∈Zpag de lo contrario.{\displaystyle f''(x)={\begin{cases}f(x),\ x\in Z\\p{\text{ en otro caso.}}\end{cases}}}

Desde elF(γ){\displaystyle f(\gamma )}es homotópico nulo,F″{\displaystyle f''}se extiende aún más al interior del disco y, por lo tanto, aZ′{\displaystyle Z'}. DejarZi′=F′−1(incógnitai){\displaystyle Z_{i}'=f'^{-1}(X_{i})}i = 1,2 . Comoγ(0){\displaystyle \gamma (0)}yγ(1){\displaystyle \gamma (1)}se encontraba en diferentes componentes deZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}},Z1′∩Z2′{\displaystyle Z_{1}'\cap Z_{2}'}tiene un componente menos queZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}.

Construcción de un nudo de amarre

La atadura se construye en dos pasos.

Paso 1: Construir un empate nulo :

Consideremos un mapaγ′:[0,1]→Z{\displaystyle \gamma ':[0,1]\rightarrow Z}conγ′(0){\displaystyle \gamma '(0)}yγ′(1){\displaystyle \gamma '(1)}en diferentes componentes deZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}. DesdeF∗{\displaystyle f_{\ast }}es sobreyectiva, existe un bucleλ{\displaystyle \!\lambda }basado en γ'(1) tal queF(γ′){\displaystyle \!f(\gamma ')}y F(λ){\displaystyle \!f(\lambda )}son homotópicamente equivalentes en X. Si definimos una curvaγ:[0,1]→Z{\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z} comoγ(t)=γ′∗λ(t){\displaystyle \gamma (t)=\gamma '\ast \lambda (t)}a pesar det∈[0,1]{\displaystyle t\in [0,1]}, entoncesγ{\displaystyle \!\gamma }es un empate nulo.

Paso 2: Hacer que la corbata nula sea monocromática :

La corbataγ{\displaystyle \!\gamma }puede escribirse comoγ1∗γ2∗⋯∗γmetro{\displaystyle \gamma _{1}\ast \gamma _{2}\ast \cdots \ast \gamma _{m}}donde cadaγi{\displaystyle \gamma _{i}}es una curva enZ1{\displaystyle Z_{1}}oZ2{\displaystyle Z_{2}}de tal manera que siγi{\displaystyle \gamma _{i}}está enZ1{\displaystyle Z_{1}}, entoncesγi+1{\displaystyle \gamma _{i+1}}está enZ2{\displaystyle Z_{2}}y viceversa. Esto también implica queF(γi){\displaystyle f(\gamma _{i})}es un bucle basado en p en X. Entonces,

[mi]=[F(γ)]=[F(γ1)]∗⋯∗[F(γmetro)]{\displaystyle [e]=[f(\gamma )]=[f(\gamma _{1})]\ast \cdots \ast [f(\gamma _{m})]}

Por eso,[F(γj)]=[mi]{\displaystyle [f(\gamma _{j})]=[e]}para algún j . Si esto γj{\displaystyle \!\gamma _{j}}es un empate, entonces tenemos un empate monocromático y nulo. Siγj{\displaystyle \!\gamma _{j}}no es un empate, entonces los puntos finales deγj{\displaystyle \!\gamma _{j}}están en el mismo componente deZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}En este caso, reemplazamosγj{\displaystyle \!\gamma _{j}}por un sendero enZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}, decirγj′{\displaystyle \!\gamma _{j}'}. Esta ruta puede añadirse aγj−1{\displaystyle \!\gamma _{j-1}}y obtenemos un nuevo empate nulo

γ″=γ1∗⋯∗γj−1′∗γj+1⋯γmetro{\displaystyle \gamma ''=\gamma _{1}\ast \cdots \ast \gamma _{j-1}'\ast \gamma _{j+1}\cdots \gamma _{m}}, dóndeγj−1′=γj−1∗γj′{\displaystyle \!\gamma _{j-1}'=\gamma _{j-1}\ast \gamma _{j}'}.

Así, por inducción sobre m , demostramos la existencia de un vínculo vinculante.

Demostración del teorema de Grushko

Supongamos queGRAMO=A∗B{\displaystyle G=A*B}es generado por{gramo1,gramo2,…,gramonorte}{\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\}}. DejarF{\displaystyle F}sé el grupo libre connorte{\displaystyle n}-generadores, a saber:{F1,F2,…,Fnorte}{\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}}. Consideremos el homomorfismoh:F→GRAMO{\displaystyle h:F\rightarrow G}dado porh(Fi)=gramoi{\displaystyle h(f_{i})=g_{i}}, dóndei=1,…,norte{\displaystyle i=1,\ldots ,n}.

Según el lema, existen grupos libres.F1{\displaystyle F_{1}}yF2{\displaystyle F_{2}}conF=F1∗F2{\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}}de tal manera queh(F1)=A{\displaystyle h(F_{1})=A}yh(F2)=B{\displaystyle h(F_{2})=B}. Por lo tanto,Rango (A)≤Rango (F1){\displaystyle {\text{Rank }}(A)\leq {\text{Rank }}(F_{1})}yRango (B)≤Rango (F2){\displaystyle {\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{2})}. Por lo tanto,Rango (A)+Rango (B)≤Rango (F1)+Rango (F2)=Rango (F)=Rango (A∗B).{\displaystyle {\text{Rank }}(A)+{\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{1})+{\text{Rank }}(F_{2})={\text{Rank }}(F)={\text{Rank }}(A\ast B).}

Véase también

Notas

  1. ↑ IA Grushko, Sobre las bases de un producto libre de grupos , Matematicheskii Sbornik, vol. 8 (1940), págs. 169-182 .
  2. ↑ BH Neumann. Sobre el número de generadores de un producto libre. Journal of the London Mathematical Society, vol. 18, (1943), pp. 12 – 20.
  3. ↑ AG Kurosh, Teoría de grupos. Vol. I. Traducido y editado por KA Hirsch. Chelsea Publishing Co., Nueva York, NY, 1955.
  4. ↑ Roger C. Lyndon , "El teorema de Grushko". Actas de la Sociedad Matemática Americana , vol. 16 (1965), págs. 822-826 .
  5. ↑ John R. Stallings. "Una demostración topológica del teorema de Grushko sobre productos libres." Mathematische Zeitschrift , vol. 90 (1965), pp. 1 – 8.
  6. ↑ Heiner Zieschang . "Über die Nielsensche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam." Invenciones Mathematicae , vol. 10 (1970), págs.4 - 37
  7. ↑ Scott, Peter . Introducción a las 3-variedades. Departamento de Matemáticas, Universidad de Maryland, Apuntes de clase, n.º 11. Departamento de Matemáticas, Universidad de Maryland, College Park, Maryland, 1974.
  8. ↑ Wilfried Imrich "El teorema de Grushko". Archiv der Mathematik (Basilea), vol. 43 (1984), núm. 5, págs. 385-387
  9. ^ IM Chiswell, El teorema de Grushko-Neumann. Proc. Matemáticas de Londres. Soc. (3) 33 (1976), núm. 3, 385–400.
  10. 1 2 3 Warren Dicks. Grupos, árboles y módulos proyectivos. Lecture Notes in Mathematics 790, Springer, 1980
  11. 1 2 John R. Stallings. «Plegamientos de árboles G». Teoría de grupos arbóreos (Berkeley, California, 1988), págs. 355-368 , Publicaciones del Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas, 19. Springer, Nueva York, 1991; ISBN 0-387-97518-7
  12. 1 2 Ilya Kapovich, Richard Weidmann y Alexei Miasnikov. Plegados, grafos de grupos y el problema de pertenencia. International Journal of Algebra and Computation, vol. 15 (2005), n.º 1, págs. 95-128
  13. ↑ Martin J. Dunwoody. "La accesibilidad de grupos finitamente presentados." Inventiones Mathematicae , vol. 81 (1985), n.º 3, págs. 449-457
  14. ↑ Martin J. Dunwoody. «Un grupo inaccesible». Teoría geométrica de grupos , vol. 1 (Sussex, 1991), págs. 75-78 , London Mathematical Society Lecture Notes Series, 181, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. ISBN 0-521-43529-3
  15. ↑ PJ Higgins. "El teorema de Grushko." Journal of Algebra , vol. 4 (1966), págs. 365-372
  16. ↑ Higgins, Philip J., Notas sobre categorías y grupoides. Van Nostrand Reinhold Mathematical Studies, No. 32. Van Nostrand Reinhold Co., Londres-Nueva York-Melbourne, 1971. Reimpreso como Theory and Applications of Categories Reprint No 7, 2005.
  17. ↑ John Stallings. Coherencia de grupos fundamentales de 3 variedades. Archivado el 5 de junio de 2011 en Wayback Machine Séminaire Bourbaki, 18 (1975-1976), Exposé No. 481.
  18. ↑ François Dahmani y Daniel Groves. «Detección de escisiones libres en grupos relativamente hiperbólicos». Transactions of the American Mathematical Society . Publicado en línea el 21 de julio de 2008.
  19. ↑ Guo-An Diao y Mark Feighn. «La descomposición de Grushko de un grafo finito de grupos libres de rango finito: un algoritmo». Geometry & Topology . vol. 9 (2005), pp. 1835 – 1880
  20. ↑ H. Kneser , Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Jahresber. Alemán. Matemáticas. Verein., vol. 38 (1929), págs. 248 - 260