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Articulo de referencia

Teorema de Seifert-Van Kampen

En matemáticas , el teorema de Seifert-Van Kampen de topología algebraica (llamado así en honor a Herbert Seifert y Egbert van Kampen ), a veces llamado simplemente teorema de V...

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En matemáticas , el teorema de Seifert-Van Kampen de topología algebraica (llamado así en honor a Herbert Seifert y Egbert van Kampen ), a veces llamado simplemente teorema de Van Kampen , expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico.incógnita{\displaystyle X}en términos de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos y conectados por caminos que cubrenincógnita{\displaystyle X}Por lo tanto, puede utilizarse para cálculos del grupo fundamental de espacios que se construyen a partir de otros más simples.

Teorema de Van Kampen para grupos fundamentales

Sea X un espacio topológico que es la unión de dos subespacios abiertos y conexos por caminos U 1 , U 2 . Supongamos que U 1 ∩ U 2 es conexo por caminos y no vacío , y sea x 0 un punto en U 1 ∩ U 2 que se utilizará como base de todos los grupos fundamentales. Las aplicaciones de inclusión de U 1 y U 2 en X inducen homomorfismos de grupo.j1:π1(U1,incógnita0)→π1(incógnita,incógnita0){\displaystyle j_{1}:\pi _{1}(U_{1},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}yj2:π1(U2,incógnita0)→π1(incógnita,incógnita0){\displaystyle j_{2}:\pi _{1}(U_{2},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}. Entonces X es un camino conectado yj1{\displaystyle j_{1}}yj2{\displaystyle j_{2}}forme un diagrama de empuje conmutativo :

El morfismo natural k es un isomorfismo . Es decir, el grupo fundamental de X es el producto libre de los grupos fundamentales de U 1 y U 2 con la fusión deπ1(U1∩U2,incógnita0){\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})}. [ 1 ]

Por lo general, los morfismos inducidos por la inclusión en este teorema no son inyectivos en sí mismos , y la versión más precisa del enunciado se expresa en términos de empujes de grupos .

Teorema de Van Kampen para grupoides fundamentales

Desafortunadamente, el teorema presentado anteriormente no calcula el grupo fundamental del círculo —que es el ejemplo básico más importante en topología algebraica— porque el círculo no puede representarse como la unión de dos conjuntos abiertos con intersección conexa . Este problema puede resolverse trabajando con el grupoide fundamental.π1(incógnita,A){\displaystyle \pi _{1}(X,A)}sobre un conjunto A de puntos base, elegidos según la geometría de la situación. Así, para el círculo, se utilizan dos puntos base. [ 2 ]

Este grupoide consta de clases de homotopía relativas a los puntos finales de caminos en X que unen puntos de A ∩ X. En particular, si X es un espacio contraíble y A consta de dos puntos distintos de X , entoncesπ1(incógnita,A){\displaystyle \pi _{1}(X,A)}es fácil ver que es isomorfo al grupoide que se escribe a menudoI{\displaystyle {\mathcal {I}}}con dos vértices y exactamente un morfismo entre cualesquiera dos vértices. Este grupoide desempeña un papel en la teoría de grupoides análogo al del grupo de enteros en la teoría de grupos. [ 3 ] El grupoideI{\displaystyle {\mathcal {I}}}También permite a los grupoides una noción de homotopía: es un objeto de intervalo unitario en la categoría de grupoides.

Una unión conexa de dos espacios no conexos, con un conjunto de puntos base.

La categoría de grupoides admite todos los colímites y, en particular, todos los empujes.

Teorema. Sea el espacio topológico X cubierto por los interiores de dos subespacios X₁ y X₂ , y sea A un conjunto que interseca cada componente de camino de X₁ y X₂ , y X₀ = X₁ ∩ X₂ . Entonces A interseca cada componente de camino de X y el diagrama P de morfismos inducidos por inclusión .
es un diagrama de empuje en la categoría de grupoides. [ 4 ]

Este teorema establece la transición de la topología al álgebra , al determinar completamente el grupoide fundamental.π1(incógnita,A){\displaystyle \pi _{1}(X,A)}; entonces hay que usar álgebra y combinatoria para determinar un grupo fundamental en algún punto base.

Una interpretación del teorema es que calcula homotopías de tipo 1. Para ver su utilidad, se pueden encontrar fácilmente casos donde X es conexo pero es la unión de los interiores de dos subespacios, cada uno con, digamos, 402 componentes de camino y cuya intersección tiene, digamos, 1004 componentes de camino. La interpretación de este teorema como una herramienta de cálculo para "grupos fundamentales" requiere cierto desarrollo de la "teoría combinatoria de grupoides". [ 5 ] [ 6 ] Este teorema implica el cálculo del grupo fundamental del círculo como el grupo de los enteros, ya que el grupo de los enteros se obtiene del grupoide.I{\displaystyle {\mathcal {I}}}identificando, en la categoría de grupoides, sus dos vértices.

Existe una versión del último teorema cuando X está cubierto por la unión de los interiores de una familia.{Uλ:λ∈Λ}{\displaystyle \{U_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}}de subconjuntos. [ 7 ] [ 8 ]

La conclusión es que si A cumple con cada componente de trayectoria de todas las intersecciones de 1, 2 y 3 pliegues de los conjuntosUλ{\displaystyle U_{\lambda }}, entonces A cumple con todos los componentes de la trayectoria de X y el diagrama

⨆(λ,μ)∈Λ2π1(Uλ∩Uμ,A)⇉⨆λ∈Λπ1(Uλ,A)→π1(incógnita,A){\displaystyle \bigsqcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda ^{2}}\pi _{1}(U_{\lambda }\cap U_{\mu },A)\rightrightarrows \bigsqcup _{\lambda \in \Lambda }\pi _{1}(U_{\lambda },A)\rightarrow \pi _{1}(X,A)}

de morfismos inducidos por inclusiones es un coecualizador en la categoría de grupoides.

[...] Al calcular con grupos fundamentales, la gente persiste obstinadamente en fijar un único punto base, en lugar de elegir inteligentemente un conjunto completo de puntos que sea invariante bajo las simetrías de la situación, las cuales, por lo tanto, se pierden en el proceso. En ciertas situaciones (como los teoremas de descenso para grupos fundamentales al estilo de Van Kampen) es mucho más elegante, incluso indispensable para comprender algo, trabajar con grupoides fundamentales con respecto a un conjunto adecuado de puntos base [...]

— Alexander Grothendieck , Programa Esquisse d'un (Sección 2, traducción al inglés )

Formulaciones equivalentes

En el lenguaje de la teoría de grupos combinatorios , siincógnita{\displaystyle X}es un espacio topológico;U{\displaystyle U}yV{\displaystyle V}son subespacios abiertos y conectados por caminos deincógnita{\displaystyle X};U∩V{\displaystyle U\cap V}es no vacío y conectado por caminos; yw∈U∩V{\displaystyle w\in U\cap V}; entoncesπ1(incógnita,w){\displaystyle \pi _{1}(X,w)}es el producto gratuito con la fusión deπ1(U,w){\displaystyle \pi _{1}(U,w)}yπ1(V,w){\displaystyle \pi _{1}(V,w)}, con respecto a los homomorfismos (no necesariamente inyectivos)I:π1(U∩V,w)→π1(U,w){\displaystyle I:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(U,w)}yJ:π1(U∩V,w)→π1(V,w){\displaystyle J:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w)}. Presentaciones grupales :

π1(U,w)=⟨tú1,…,túk∣α1,…,αl⟩π1(V,w)=⟨v1,…,vmetro∣β1,…,βnorte⟩π1(U∩V,w)=⟨w1,…,wpag∣γ1,…,γq⟩{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(U,w)&=\langle u_{1},\dots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,w)&=\langle v_{1},\dots ,v_{m}\mid \beta _{1},\dots ,\beta _{n}\rangle \\\pi _{1}(U\cap V,w)&=\langle w_{1},\dots ,w_{p}\mid \gamma _{1},\dots ,\gamma _{q}\rangle \end{aligned}}}

La fusión puede presentarse [ 9 ] como

π1(incógnita,w)=⟨tú1,…,túk,v1,…,vmetro|α1,…,αl,β1,…,βnorte,I(w1)J(w1)−1,…,I(wpag)J(wpag)−1⟩.{\displaystyle \pi _{1}(X,w)=\left\langle u_{1},\dots ,u_{k},v_{1},\dots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l},\beta _{1},\dots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\dots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .}

En la teoría de categorías ,π1(incógnita,w){\displaystyle \pi _{1}(X,w)}es el empuje hacia afuera , en la categoría de grupos , del diagrama:

π1(U,w)←π1(U∩V,w)→π1(V,w).{\displaystyle \pi _{1}(U,w)\gets \pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w).}

Ejemplos

2-esfera

Se puede utilizar el teorema de Van Kampen para calcular grupos fundamentales para espacios topológicos que se pueden descomponer en espacios más simples. Por ejemplo, consideremos la esfera.S2{\displaystyle S^{2}}. Elija conjuntos abiertosA=S2∖{norte}{\displaystyle A=S^{2}\setminus \{n\}}yB=S2∖{s}{\displaystyle B=S^{2}\setminus \{s\}}donde n y s denotan los polos norte y sur respectivamente. Entonces tenemos la propiedad de que A , B y A ∩ B son conjuntos conexos por caminos abiertos. Por lo tanto, podemos ver que hay un diagrama conmutativo que incluye A ∩ B en A y B y luego otra inclusión de A y B enS2{\displaystyle S^{2}}y que existe un diagrama correspondiente de homomorfismos entre los grupos fundamentales de cada subespacio. Aplicando el teorema de Van Kampen se obtiene el resultado

π1(S2)=π1(A)⋅π1(B)/ker⁡(Φ).{\displaystyle \pi _{1}(S^{2})=\pi _{1}(A)\cdot \pi _{1}(B)/\ker(\Phi ).}

Sin embargo, A y B son ambos homeomorfos a R 2 que es simplemente conexo , por lo que tanto A como B tienen grupos fundamentales triviales . De esto se desprende claramente que el grupo fundamental deS2{\displaystyle S^{2}}es trivial.

Suma de cuñas de espacios

Dados dos espacios con puntos(incógnita,incógnita){\displaystyle (X,x)}y(Y,y){\displaystyle (Y,y)}podemos formar su suma de cuña ,(incógnita∨Y,pag){\displaystyle (X\vee Y,p)}, tomando el cociente deincógnita∐Y{\displaystyle X\coprod Y}identificando sus dos puntos de base.

Siincógnita{\displaystyle x}admite un vecindario abierto contratableU⊂incógnita{\displaystyle U\subset X}yy{\displaystyle y}admite un vecindario abierto contratableV⊂Y{\displaystyle V\subset Y}(lo cual ocurre si, por ejemplo,incógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}son complejos CW ), entonces podemos aplicar el teorema de Van Kampen aincógnita∨Y{\displaystyle X\vee Y}tomandoincógnita∨V{\displaystyle X\vee V}yU∨Y{\displaystyle U\vee Y}como los dos conjuntos abiertos y concluimos que el grupo fundamental de la cuña es el producto libre de los grupos fundamentales de los dos espacios con los que comenzamos:

π1(incógnita∨Y,pag)≅π1(incógnita,incógnita)∗π1(Y,y){\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y,p)\cong \pi _{1}(X,x)*\pi _{1}(Y,y)}.

Superficies orientables de género g

Un ejemplo más complejo es el cálculo del grupo fundamental de una superficie orientable S de género n , también conocido como grupo de superficie de género n . Se puede construir S utilizando su polígono fundamental estándar . Para el primer conjunto abierto A , se elige un disco dentro del centro del polígono. Se elige B como el complemento en S del punto central de A. Entonces, la intersección de A y B es un anillo , que se sabe que es homotópicamente equivalente a (y por lo tanto tiene el mismo grupo fundamental que) un círculo.π1(A∩B)=π1(S1){\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)=\pi _{1}(S^{1})}, que son los números enteros, yπ1(A)=π1(D2)=1{\displaystyle \pi _{1}(A)=\pi _{1}(D^{2})={1}}. Por lo tanto, la inclusión deπ1(A∩B){\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}enπ1(A){\displaystyle \pi _{1}(A)}envía cualquier generador al elemento trivial. Sin embargo, la inclusión deπ1(A∩B){\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}enπ1(B){\displaystyle \pi _{1}(B)}no es trivial. Para entender esto, primero hay que calcularπ1(B){\displaystyle \pi _{1}(B)}Esto se hace fácilmente ya que se puede retraer por deformación B (que es S con un punto eliminado) sobre los bordes etiquetados por

A1B1A1−1B1−1A2B2A2−1B2−1⋯AnorteBnorteAnorte−1Bnorte−1.{\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}.}

Se sabe que este espacio es la suma de cuñas de 2 n círculos (también llamado ramo de círculos ), que además se sabe que tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo libre con 2 n generadores, que en este caso puede representarse mediante las aristas mismas:{A1,B1,…,Anorte,Bnorte}{\displaystyle \{A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\}}Ahora tenemos suficiente información para aplicar el teorema de Van Kampen. Los generadores son los bucles.{A1,B1,…,Anorte,Bnorte}{\displaystyle \{A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\}}( A está simplemente conectado, por lo que no aporta generadores) y hay exactamente una relación:

A1B1A1−1B1−1A2B2A2−1B2−1⋯AnorteBnorteAnorte−1Bnorte−1=1.{\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.}

Utilizando generadores y relaciones, este grupo se denota

⟨A1,B1,…,Anorte,Bnorte|A1B1A1−1B1−1⋯AnorteBnorteAnorte−1Bnorte−1⟩.{\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}

Conectividad simple

Si X es un espacio que puede escribirse como la unión de dos conjuntos abiertos simplemente conexos U y V con U ∩ V no vacío y conexo por caminos , entonces X es simplemente conexo. [ 10 ]

Generalizaciones

Como se explicó anteriormente, este teorema fue extendido por Ronald Brown al caso no conexo mediante el uso del grupoide fundamental.π1(incógnita,A){\displaystyle \pi _{1}(X,A)}en un conjunto A de puntos base. El teorema para recubrimientos arbitrarios, con la restricción de que A satisface todas las intersecciones triples de los conjuntos del recubrimiento, se da en el artículo de Brown y Abdul Razak Salleh. [ 11 ] El teorema y la demostración para el grupo fundamental, pero usando algunos métodos de grupoide, también se dan en el libro de J. Peter May . [ 12 ] La versión que permite más de dos conjuntos superpuestos pero con A como un conjunto unitario también se da en el libro de Allen Hatcher más abajo, teorema 1.20.

Las aplicaciones del grupoide fundamental sobre un conjunto de puntos base al teorema de la curva de Jordan , los espacios de recubrimiento y los espacios de órbitas se presentan en el libro de Ronald Brown. [ 13 ] En el caso de los espacios de órbitas, es conveniente tomar A para incluir todos los puntos fijos de la acción. Un ejemplo de esto es la acción de conjugación sobre el círculo.

En un artículo sobre teorías de grupos y grupoides de dimensiones superiores se incluyen referencias a versiones del teorema de dimensiones superiores que proporcionan información sobre tipos de homotopía. [ 14 ] Así , Ronald Brown y Philip J. Higgins presentaron un teorema de Van Kampen bidimensional que calcula grupos de homotopía relativa de segundo orden no abelianos. [ 15 ] Brown, Higgins y Rafael Sivera ofrecen una explicación completa y extensiones a todas las dimensiones, [ 16 ] mientras que Ronald Brown y Jean-Louis Loday presentan una extensión a n -cubos de espacios . [ 17 ]

Los grupos fundamentales también aparecen en la geometría algebraica y son el tema principal del primer Séminaire de géométrie algébrique (SGA1) de Alexander Grothendieck . Allí aparece una versión del teorema de Van Kampen, demostrada siguiendo líneas bastante diferentes a las de la topología algebraica, concretamente mediante la teoría del descenso . Una demostración similar funciona en topología algebraica. [ 18 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2.ª  ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1OCLC 697506452​​ pág. 252, Teorema 10.1.
  2. ↑ R. Brown, Grupoides y el teorema de Van Kampen, Proc. London Math. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
  3. ↑ Ronald Brown. "Grupoides en matemáticas". http://groupoids.org.uk/gpdsweb.html
  4. ↑ R. Brown. Topología y grupoides. , Booksurge PLC (2006). http://groupoids.org.uk/topgpds.html
  5. ↑ PJ Higgins, Categories and Groupoids , Van Nostrand, 1971, Reprints of Theory and Applications of Categories, No. 7 (2005), pp 1–195.
  6. ↑ R. Brown, Topología y grupoides. , Booksurge PLC (2006).
  7. ↑ Ronald Brown, Philip J. Higgins y Rafael Sivera. Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica , European Mathematical Society Tracts vol. 15, agosto de 2011.
  8. ↑ "Teoremas de Van Kampen generalizados de dimensiones superiores (HD-GVKT)" . 15 de octubre de 2024. Archivado del original el 1 de agosto de 2009.
  9. ↑ Lee 2011 , pág. 253, Teorema 10.3.
  10. ↑ Greenberg y Harper 1981
  11. ↑ Brown, Ronald; Salleh, Abdul Razak (1984). "Un teorema de Van Kampen para uniones de espacios no conexos". Archiv der Mathematik . 42 (1). Basilea: 85– 88. doi : 10.1007/BF01198133 .
  12. ↑ May, J. Peter (1999). Una introducción concisa a la topología algebraica . Capítulo 2.
  13. ↑ Brown, Ronald, "Topología y grupoides", Booksurge, (2006)
  14. ↑ Ronald Brown. "Teoría de grupos de dimensiones superiores". 2007. http://www.bangor.ac.uk/~mas010/hdaweb2.htm Archivado el 11 de mayo de 2006 en Wayback Machine.
  15. ↑ Brown, Ronald; Higgins, Philip J. (1978). "Sobre la conexión entre los segundos grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 3. 36 (2): 193– 212. doi : 10.1112/plms/s3-36.2.193 .
  16. ↑ Brown, Ronald, Higgins, Philip J., y Sivera, Rafael, «Topología algebraica nonabeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica», EMS Tracts in Mathematics vol. 15, 2011. http://groupoids.org.uk/nonab-at.html
  17. ↑ Brown, Ronald; Loday, Jean-Louis (1987). "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios". Topología . 26 (3): 311– 334. doi : 10.1016/0040-9383(87)90004-8 .
  18. ^ Douady, Adrien y Douady, Régine, "Algèbre et théories galoisiennes", Cassini (2005)

Referencias

  • Allen Hatcher, Topología algebraica. (2002) Cambridge University Press, Cambridge, xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-Xy ISBN 0-521-79540-0
  • Peter May, Un curso conciso de topología algebraica. (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9(La sección 2.7 proporciona una presentación en teoría de categorías del teorema como un colímite en la categoría de grupoides) .
  • Ronald Brown, Grupoides y el teorema de Van Kampen, Proc. London Math. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
  • Discusión en Mathoverflow sobre muchos puntos básicos
  • Ronald Brown, Topología y grupoides (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8
  • R. Brown y A. Razak, Un teorema de Van Kampen para uniones de espacios no conexos, Archiv. Math. 42 (1984) 85–88. (Este artículo ofrece probablemente la versión óptima del teorema, a saber, la versión de grupoide del teorema para una cubierta abierta arbitraria y un conjunto de puntos base que satisface cada componente de camino de cada intersección 1-2-3 de los conjuntos de la cubierta).
  • PJ Higgins, Categorías y grupoides Archivado el 7 de octubre de 2007 en Wayback Machine (1971) Van Nostrand Reinhold
  • Ronald Brown, Teoría de grupos de dimensiones superiores (2007) (Ofrece una visión amplia de los teoremas de Van Kampen de dimensiones superiores que involucran múltiples grupoides) .
  • Greenberg, Marvin J.; Harper, John R. (1981), Topología algebraica. Un primer curso , Mathematics Lecture Note Series, vol.  58, Benjamin/Cummings, ISBN 0805335579
  • Seifert, H. , Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume . Berichte Sachs. Akád. Leipzig, Matemáticas-Física. kl. (83) (1931) 26–66.
  • ER van Kampen. Sobre la conexión entre los grupos fundamentales de algunos espacios relacionados. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp.  261 – 267.
  • Brown, R., Higgins, P. J, Sobre la conexión entre los segundos grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados , Proc. London Math. Soc. (3) 36 (1978) 193–212.
  • Brown, R., Higgins, PJ y Sivera, R. 2011, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15 (2011) Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica ; (La primera de tres partes analiza las aplicaciones de las versiones unidimensional y bidimensional del teorema de Seifert-van Kampen. Este último permite calcular grupos de homotopía relativa de segundo orden no abelianos y, de hecho, grupos de homotopía de tipo 2. La segunda parte aplica un teorema de homotopía superior de van Kampen para complejos cruzados, demostrado en la Parte III).
  • "Resultado del teorema de Van Kampen" . PlanetMath .
  • R. Brown, H. Kamps, T. Porter  : Un grupoide doble homotópico de un espacio de Hausdorff II: un teorema de Van Kampen', Theory and Applications of Categories, 14 (2005) 200–220.
  • Dylan GL Allegretti, Conjuntos simpliciales y el teorema de Van Kampen (Analiza versiones generalizadas del teorema de Van Kampen aplicadas a espacios topológicos y conjuntos simpliciales).
  • R. Brown y J.-L. Loday, "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios", Topology 26 (1987) 311–334.

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