Juan R. Stallings

John Robert Stallings Jr. (22 de julio de 1935 - 24 de noviembre de 2008) fue un matemático conocido por sus contribuciones fundamentales a la teoría geométrica de grupos y la topología de 3-variedades . Stallings fue profesor emérito del Departamento de Matemáticas de la Universidad de California en Berkeley ^{[ 1 ],} donde había sido miembro del profesorado desde 1967. ^{[ 1 ]} Publicó más de 50 artículos, principalmente en las áreas de teoría geométrica de grupos y topología de 3-variedades . Las contribuciones más importantes de Stallings incluyen una demostración, en un artículo de 1960, de la Conjetura de Poincaré en dimensiones mayores que seis y una demostración, en un artículo de 1971, del teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos .

John Stallings nació el 22 de julio de 1935 en Morrilton, Arkansas . ^{[ 1 ]}

Stallings recibió su licenciatura en ciencias de la Universidad de Arkansas en 1956 (donde fue uno de los dos primeros graduados del programa de honores de la universidad) ^{[ 2 ]} y recibió un doctorado en matemáticas de la Universidad de Princeton en 1959 bajo la dirección de Ralph Fox . ^{[ 1 ]}

Después de completar su doctorado, Stallings ocupó varios puestos postdoctorales y docentes, incluyendo una beca postdoctoral de la NSF en la Universidad de Oxford , así como una docencia y un nombramiento docente en Princeton. Stallings se unió a la Universidad de California en Berkeley como miembro del profesorado en 1967, donde permaneció hasta su jubilación en 1994. ^{[ 1 ]} Incluso después de su jubilación, Stallings continuó supervisando a estudiantes de posgrado de UC Berkeley hasta 2005. ^{[ 3 ]} Stallings fue becario de investigación Alfred P. Sloan de 1962 a 1965 y becario del Instituto Miller de 1972 a 1973. ^{[ 1 ]} A lo largo de su carrera, Stallings tuvo 22 estudiantes de doctorado, incluyendo a Marc Culler , Stephen M. Gersten y J. Hyam Rubinstein , y tiene más de 140 descendientes de doctorado. Publicó más de 50 artículos, predominantemente en las áreas de teoría geométrica de grupos y topología de 3-variedades .

Stallings pronunció un discurso por invitación en el Congreso Internacional de Matemáticos en Niza en 1970 ^{[ 4 ]} y una conferencia James K. Whittemore en la Universidad de Yale en 1969. ^{[ 5 ]}

Stallings recibió el Premio Frank Nelson Cole de Álgebra de la Sociedad Matemática Estadounidense en 1970. ^{[ 6 ]}

La conferencia «Aspectos geométricos y topológicos de la teoría de grupos», celebrada en el Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas de Berkeley en mayo de 2000, estuvo dedicada al 65.º cumpleaños de Stallings. ^{[ 7 ]} En 2002, un número especial de la revista Geometriae Dedicata estuvo dedicado a Stallings con motivo de su 65.º cumpleaños. ^{[ 8 ]} Stallings falleció de cáncer de próstata el 24 de noviembre de 2008. ^{[ 3 ] [ 9 ]}

La mayoría de las contribuciones matemáticas de Stallings se encuentran en las áreas de la teoría geométrica de grupos y la topología de baja dimensión (en particular la topología de las 3-variedades ) y en la interacción entre estas dos áreas.

Un resultado significativo temprano de Stallings es su demostración de 1960 ^{[ 10 ]} de la conjetura de Poincaré en dimensiones mayores que seis . (La demostración de Stallings se obtuvo independientemente y poco después de la demostración diferente de Stephen Smale , quien estableció el mismo resultado en dimensiones mayores que cuatro ^{[ 11 ]} ).

Utilizando métodos de "envolvimiento" similares a los de su demostración de la conjetura de Poincaré para n > 6, Stallings demostró que el espacio euclidiano ordinario n- dimensional tiene una estructura lineal a trozos única, y por lo tanto también suave, si n no es igual a 4. Esto adquirió mayor importancia cuando, como consecuencia del trabajo de Michael Freedman y Simon Donaldson en 1982, se demostró que el espacio 4-dimensional tiene estructuras suaves exóticas , de hecho, una cantidad incontable de estructuras no equivalentes.

En un artículo de 1963 ^{[ 12 ]} Stallings construyó un ejemplo de un grupo finitamente presentado con un grupo de homología integral tridimensional infinitamente generado y, además, no del tipo${\displaystyle F_{3}}$, es decir, no admite un espacio clasificador con un 3-esqueleto finito. Este ejemplo llegó a llamarse grupo de Stallings y es un ejemplo clave en el estudio de las propiedades de finitud homológica de los grupos. Robert Bieri demostró más tarde ^{[ 13 ]} que el grupo de Stallings es exactamente el núcleo del homomorfismo del producto directo de tres copias del grupo libre.${\displaystyle F_{2}}$al grupo aditivo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros que envía a${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} }$los seis elementos que provienen de la elección de bases libres para las tres copias de${\displaystyle F_{2}}$. Bieri también demostró que el grupo Stallings encaja en una secuencia de ejemplos de grupos de tipo${\displaystyle F_{n}}$pero no de tipo${\displaystyle F_{n+1}}$El grupo de Stallings es un objeto clave en la versión de la teoría discreta de Morse para complejos cúbicos desarrollada por Mladen Bestvina y Noel Brady ^{[ 14 ]} y en el estudio de subgrupos de productos directos de grupos límite . ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

El teorema más famoso de Stallings en teoría de grupos es una caracterización algebraica de grupos con más de un extremo (es decir, con más de un "componente conexo en el infinito"), que ahora se conoce como el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos . Stallings demostró que un grupo finitamente generado G tiene más de un extremo si y solo si este grupo admite una escisión no trivial como un producto libre amalgamado o como una extensión HNN sobre un grupo finito (es decir, en términos de la teoría de Bass-Serre , si y solo si el grupo admite una acción no trivial sobre un árbol con estabilizadores de aristas finitos). Más precisamente, el teorema establece que un grupo finitamente generado G tiene más de un extremo si y solo si G admite una escisión como un producto libre amalgamado.${\displaystyle G=A\ast _{C}B}$, donde el grupo C es finito y${\displaystyle C\neq A}$,${\displaystyle C\neq B}$o G admite una división como una extensión HNN${\displaystyle G=\langle H,t|t^{-1}Kt=L\rangle }$dónde${\displaystyle K,L\leq H}$son subgrupos finitos de H .

Stallings demostró este resultado en una serie de trabajos, primero tratando el caso sin torsión (es decir, un grupo sin elementos no triviales de orden finito ) ^{[ 18 ]} y luego con el caso general. ^{[ 5 ] [ 19 ]} El teorema de Stallings produjo una solución positiva al problema abierto de larga data sobre la caracterización de grupos finitamente generados de dimensión cohomológica uno como exactamente los grupos libres . ^{[ 20 ]} El teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos se considera uno de los primeros resultados en la teoría geométrica de grupos propiamente dicha, ya que conecta una propiedad geométrica de un grupo (tener más de un extremo) con su estructura algebraica (admiter una escisión sobre un subgrupo finito). El teorema de Stallings generó muchas demostraciones alternativas posteriores por otros matemáticos (por ejemplo, ^{[ 21 ] [ 22 ]} ) así como muchas aplicaciones (por ejemplo, ^{[ 23 ]} ). El teorema también motivó varias generalizaciones y versiones relativas del resultado de Stallings a otros contextos, como el estudio de la noción de extremos relativos de un grupo con respecto a un subgrupo, ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]} incluyendo una conexión con los complejos cúbicos CAT(0) . ^{[ 27 ]} Un estudio exhaustivo que analiza, en particular, numerosas aplicaciones y generalizaciones del teorema de Stallings, se presenta en un artículo de CTC Wall de 2003. ^{[ 28 ]}

Otro artículo influyente de Stallings es su artículo de 1983 "Topología de grafos finitos". ^{[ 29 ]} Tradicionalmente, la estructura algebraica de los subgrupos de grupos libres se ha estudiado en la teoría de grupos combinatoria utilizando métodos combinatorios, como el método de reescritura de Schreier y las transformaciones de Nielsen . ^{[ 30 ]} El artículo de Stallings propuso un enfoque topológico basado en los métodos de la teoría de espacios de recubrimiento que también utilizaba un marco teórico de grafos simple . El artículo introdujo la noción de lo que ahora se conoce comúnmente como grafo de subgrupos de Stallings para describir subgrupos de grupos libres, y también introdujo una técnica de plegado (utilizada para aproximar y obtener algorítmicamente los grafos de subgrupos) y la noción de lo que ahora se conoce como plegado de Stallings . La mayoría de los resultados clásicos sobre subgrupos de grupos libres obtuvieron demostraciones sencillas y directas en este contexto, y el método de Stallings se ha convertido en la herramienta estándar en la teoría para estudiar la estructura de subgrupos de grupos libres, incluyendo tanto las cuestiones algebraicas como algorítmicas (véase ^{[ 31 ]} ). En particular, los grafos de subgrupos de Stallings y los plegamientos de Stallings se han utilizado como herramientas clave en muchos intentos de abordar la conjetura de Hanna Neumann . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

Los grafos de subgrupos de Stallings también pueden verse como autómatas de estados finitos ^{[ 31 ]} y también han encontrado aplicaciones en la teoría de semigrupos y en la informática . ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

El método de plegado de Stallings se ha generalizado y aplicado a otros contextos, particularmente en la teoría de Bass-Serre para aproximar acciones de grupo en árboles y estudiar la estructura de subgrupos de los grupos fundamentales de grafos de grupos . El primer artículo en esta dirección fue escrito por el propio Stallings, ^{[ 40 ]} con varias generalizaciones posteriores de los métodos de plegado de Stallings en el contexto de la teoría de Bass-Serre por otros matemáticos. ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]}

El artículo de Stallings de 1991, "Triángulos de grupos con curvatura no positiva" ^{[ 45 ]} , introdujo y estudió la noción de triángulo de grupos . Esta noción fue el punto de partida de la teoría de complejos de grupos (un análogo de dimensión superior de la teoría de Bass-Serre ), desarrollada por André Haefliger ^{[ 46 ]} y otros. ^{[ 47 ] [ 48 ]} El trabajo de Stallings señaló la importancia de imponer algún tipo de condiciones de "curvatura no positiva" a los complejos de grupos para que la teoría funcione correctamente; tales restricciones no son necesarias en el caso unidimensional de la teoría de Bass-Serre.

Entre las contribuciones de Stallings a la topología de 3-variedades , la más conocida es el teorema de fibración de Stallings . ^{[ 49 ]} El teorema establece que si M es una 3-variedad compacta irreducible cuyo grupo fundamental contiene un subgrupo normal , tal que este subgrupo es finitamente generado y tal que el grupo cociente por este subgrupo es infinitamente cíclico , entonces M se fibra sobre un círculo. Este es un resultado estructural importante en la teoría de las variedades de Haken que generó muchas demostraciones alternativas, generalizaciones y aplicaciones (por ejemplo, ^{[ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]} ), incluyendo un análogo de dimensión superior. ^{[ 54 ]}

Un artículo de Stallings de 1965, "Cómo no demostrar la conjetura de Poincaré" ^{[ 55 ],} ofreció una reformulación en teoría de grupos de la famosa conjetura de Poincaré . El artículo comenzaba con una admisión humorística: "He cometido el pecado de demostrar falsamente la conjetura de Poincaré. Pero eso fue en otro país; y además, hasta ahora, nadie lo sabía". ^{[ 1 ] [ 55 ]} A pesar de su título irónico, el artículo de Stallings influyó en gran medida en la investigación posterior sobre la exploración de los aspectos algebraicos de la conjetura de Poincaré (véase, por ejemplo, ^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]} ).

Stallings también estaba interesado en los idiomas y escribió uno de los pocos artículos de investigación matemática en el idioma construido Interlingua . ^{[ 60 ] [ 61 ]}

• Stallings, John R. (1960), "Esferas homotópicas poliédricas" , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 66 (6): 485–488 , doi : 10.1090/s0002-9904-1960-10511-3 , MR 0124905 
• Stallings, John R.; Zeeman, EC (1962), "La estructura lineal por partes del espacio euclidiano", Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 58 (3): 481–488 , Bibcode : 1962PCPS...58..481S , doi : 10.1017/S0305004100036756 , MR 0149457 , S2CID 120418488  
• Stallings, John R. (1962), "Sobre la fibración de ciertas 3-variedades", Topología de 3-variedades y temas relacionados (Actas del Instituto de la Universidad de Georgia, 1961) , Prentice Hall , págs. 95–100 , MR 0158375  
• Stallings, John R. (1965), "Homología y series centrales de grupos", Journal of Algebra , 2 (2): 170– 181, doi : 10.1016/0021-8693(65)90017-7 , MR 0175956 
• Stallings, John (1963), "Un grupo presentado finitamente cuya homología integral tridimensional no está generada finitamente", American Journal of Mathematics , 85 (4), The Johns Hopkins University Press: 541–543 , doi : 10.2307/2373106 , JSTOR 2373106 , MR 0158917  
• Stallings, John R. (1968), "Sobre grupos libres de torsión con infinitos extremos", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 88 (2), Annals of Mathematics: 312– 334, doi : 10.2307/1970577 , JSTOR 1970577 , MR 0228573  
• Stallings, John R. (1971), Teoría de grupos y variedades tridimensionales , Yale University Press , ISBN 978-0-300-01397-9, MR 0415622 
• Stallings, John R. (1978), "Construcciones de nudos y enlaces fibrados", Topología algebraica y geométrica (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Universidad de Stanford, Stanford, California, 1976), Parte 2 , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, XXXII, Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , págs. 55–60 , MR 0520522  
• Stallings, John R. (1983), "Topología de grafos finitos", Inventiones Mathematicae , 71 (3): 551– 565, Bibcode : 1983InMat..71..551S , doi : 10.1007/BF02095993 , MR 0695906 , S2CID 16643207  con más de 100 citas recientes
• Stallings, John R. (1991), "Folding G -trees", Arboreal group theory (Berkeley, CA, 1988) , Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol.  19, Nueva York: Springer, pp. 355–368 , doi : 10.1007/978-1-4612-3142-4_14 , ISBN  978-0-387-97518-4, MR 1105341 
• Stallings, John R. (1991), "Triángulos de grupos con curvatura no positiva", Teoría de grupos desde un punto de vista geométrico (Trieste, 1990) , River Edge, NJ: World Scientific, pp. 491–903 , ISBN  978-981-02-0442-6, MR 1170374 

• John R. Stallings en el Proyecto de Genealogía Matemática
• Página principal de John Stallings.
• En memoria de John Stallings , Notices of the American Mathematical Society , vol. 56 (2009), n.º 11, págs .  1410-1417