Teorema de Hadwiger

En geometría integral (también llamada teoría de probabilidad geométrica), el teorema de Hadwiger caracteriza las valoraciones de los cuerpos convexos en Fue demostrado por Hugo Hadwiger . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Sea la colección de todos los conjuntos convexos compactos en Una valoración es una función tal que y para cada que satisface${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle v:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v(\varnada)=0}$${\displaystyle S,T\in \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle S\cup T\in \mathbb {K} ^{n},}$ $${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.}$$

Una valoración se denomina continua si es continua con respecto a la métrica de Hausdorff . Una valoración se denomina invariante bajo movimientos rígidos si siempre que y es una traslación o una rotación de${\displaystyle v(\varphi (S))=v(S)}$${\displaystyle S\in \mathbb {K} ^{n}}$${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Las integrales de quermasa se definen mediante la fórmula de Steiner, donde es la bola euclidiana. Por ejemplo, es el volumen, es proporcional a la medida de la superficie , es proporcional al ancho medio y es la constante${\displaystyle W_{j}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{ j}~,}$$${\estilo de visualización B}$$Estilo de visualización W_{0}$$Estilo de visualización W_{1}$$Estilo de visualización W_{n-1}}$$Estilo de visualización W_{n}$${\displaystyle \operatorname {Vol}_{n}(B).}$

$Estilo de visualización W_ {j}}$es una valoración que es homogénea de grado , es decir, ${\estilo de visualización nj,}$$${\displaystyle W_{j}(tK)=t^{nj}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.}$$

Cualquier valoración continua que sea invariante bajo movimientos rígidos puede representarse como ${\estilo de visualización v}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$$${\displaystyle v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.}$$

Cualquier valoración continua sobre que sea invariante bajo movimientos rígidos y homogénea de grado es un múltiplo de${\estilo de visualización v}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\estilo de visualización j}$${\displaystyle W_{nj}.}$

• Funcional de Minkowski  : Función formada a partir de un conjunto
• Función de conjunto  : función de conjuntos a números

Una explicación y una prueba del teorema de Hadwiger se pueden encontrar en

• Klain, DA; Rota, G.-C. (1997). Introducción a la probabilidad geométrica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X.Señor 1608265  .

Beifang Chen dio una prueba elemental y autónoma en

• Chen, B. (2004). "Una prueba elemental simplificada del teorema de volumen de Hadwiger". Geom. Dedicata . 105 : 107–120. doi :10.1023/b:geom.0000024665.02286.46. MR  2057247.