panal tetraédrico-octaédrico

El panal tetraédrico-octaédrico , o panal cúbico alternado , es una teselación (o panal ) cuasirregular que llena el espacio euclidiano tridimensional . Está compuesto por octaedros y tetraedros regulares alternados en una proporción de 1:2.

Otros nombres incluyen panal semicúbico , celulación semicúbica o celulación disfenoidal tetragonal . John Horton Conway llamó a este panal tetroctaedril y a su dual dodecaedril .

R. Buckminster Fuller combinó las palabras octahedron y tetrahedron para formar octet truss, un romboedro que consta de un octaedro (o dos pirámides cuadradas) y dos tetraedros opuestos.

Es transitiva en los vértices, con 8 tetraedros y 6 octaedros alrededor de cada vértice . Es transitiva en las aristas , con 2 tetraedros y 2 octaedros alternados en cada arista. La ubicación de los vértices del panal tetraédrico-octaédrico produce la red cúbica centrada en las caras (FCC) en los cristales .

Un panal geométrico es un relleno espacial de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , sin dejar huecos. Es un ejemplo del recubrimiento matemático o teselación más general en cualquier número de dimensiones.

Los panales de abeja se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse sobre su esfera circunscrita para formar un panal uniforme en el espacio esférico.

Forma parte de una familia infinita de panales uniformes llamados panales hipercúbicos alternados , formados por la alternancia de un panal hipercúbico y compuestos por facetas de semihipercubo y politopo cruzado . También forma parte de otra familia infinita de panales uniformes llamados panales simplécticos .

En este caso de espacio tridimensional, el panal cúbico se alterna, reduciendo las celdas cúbicas a tetraedros, y los vértices eliminados crean huecos octaédricos. Por lo tanto, puede representarse mediante un símbolo de Schläfli extendido h{4,3,4} que contiene la mitad de los vértices del panal cúbico {4,3,4}.

Existe una estructura de panal similar llamada panal tetraédrico-octaédrico girado , cuyas capas están rotadas 60 grados, de modo que la mitad de los bordes tienen tetraedros y octaedros vecinos en lugar de alternados.

La estructura de panal tetraédrica-octaédrica puede duplicar su simetría colocando tetraedros sobre las celdas octaédricas, creando así una estructura de panal no uniforme compuesta por tetraedros y octaedros (como antiprismas triangulares). Su figura de vértice es un tetraedro triakis truncado de orden 3. Esta estructura de panal es la dual de la estructura de panal tetraédrica triakis truncada , con celdas tetraédricas triakis truncadas .

Para un panal cúbico alternado , con aristas paralelas a los ejes y con una longitud de arista de 1, las coordenadas cartesianas de los vértices son: (Para todos los valores enteros: i , j , k con i + j + k pares )

(i, j, k)

Hay dos construcciones reflectantes y muchas con estructura de panal cúbica alternada ; ejemplos:

Su disposición de vértices representa una red A ₃ o ^una red D _3. ^{[ 2 ] [ 3} ] Esta red se conoce como red cúbica centrada en las caras en cristalografía y también se denomina red cúbica compacta ya que sus vértices son los centros de un empaquetamiento compacto con esferas iguales que alcanza la mayor densidad media posible. El panal tetraédrico-octaédrico es el caso tridimensional de un panal simplectico . Su celda de Voronoi es un dodecaedro rómbico , el dual de la figura de vértice cuboctaédrica para el panal tet-oct.

El empaquetamiento D ⁺ ₃ se puede construir mediante la unión de dos redes D ₃ (o A ₃ ). El empaquetamiento D ⁺ _n ^{es una red solo para dimensiones pares. El número de contacto es 2 2} =4, (2 ⁿ⁻¹ para n<8, 240 para n=8 y 2n(n−1) para n>8). ^{[ 4 ]}

∪

La red A ^* ₃ o D ^* ₃ (también llamada A ⁴ ₃ o D ⁴ ₃ ) se puede construir mediante la unión de las cuatro redes A ₃ , y es idéntica a la disposición de vértices del panal tetraédrico disfenoidal , panal dual del panal cúbico bitruncado uniforme : ^{[ 5 ]} También es el cúbico centrado en el cuerpo , la unión de dos panales cúbicos en posiciones duales.

∪ ∪ ∪ = dual de = ∪ .

El número de besos de la red D ^* ₃ es 8 ^{[ 6 ]} y su teselación de Voronoi es un panal cúbico bitruncado , , que contiene todas las celdas de Voronoi octaédricas truncadas , . ^{[ 7 ]}

• Teselación arquitectónica y catóptrica
• panal cúbico
• Estructura espacial
• panal disfenoidal tetragonal
• panal de abeja de 16 celdas
• Panal de abeja de 24 celdas

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