Tronco

La fórmula para el volumen de un tronco de pirámide cuadrada fue introducida por los antiguos matemáticos egipcios en lo que se conoce como el Papiro Matemático de Moscú , escrito en la dinastía XIII ( c. 1850 a. C. ):

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),}$

donde a y b son las longitudes de la base y del lado superior, y h es la altura.

Los egipcios conocían la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide cuadrada truncada de este tipo, pero en el papiro de Moscú no se ofrece ninguna prueba de dicha ecuación.

El volumen de un tronco de cono o pirámide es el volumen del sólido antes de cortar su "ápice", menos el volumen de dicho "ápice":

${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},}$

donde B ₁ y B ₂ son las áreas de la base y la parte superior, y h ₁ y h ₂ son las alturas perpendiculares desde el vértice hasta los planos de la base y la parte superior.

Considerando que

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,}$

La fórmula para el volumen se puede expresar como el tercio del producto de esta proporcionalidad,${\displaystyle \alpha }$y de la diferencia de los cubos de las alturas h ₁ y h ₂ solamente:

${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}=\alpha {\frac {h_{1}^{3}-h_{2}^{3}}{3}}.}$

Utilizando la identidad a³ − b³ = ⁽ a − b ) ⁽ a² + ab ⁺ b² ) , ^se obtiene :

${\displaystyle V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{3}},}$

donde h ₁ − h ₂ = h es la altura del tronco de pirámide.

Distribuido${\displaystyle \alpha }$y sustituyendo a partir de su definición, se obtiene la media heroniana de las áreas B ₁ y B _{2 :}

${\displaystyle {\frac {B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}}{3}};}$

Por lo tanto, la fórmula alternativa es:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right).}$

Herón de Alejandría es conocido por derivar esta fórmula y, con ella, encontrar la unidad imaginaria : la raíz cuadrada de menos uno. ^{[ 2 ]}

En particular:

• El volumen de un cono truncado circular es:

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right),}$

donde r ₁ y r ₂ son los radios de la base y la parte superior .

• El volumen de un tronco de pirámide cuyas bases son n -gonos regulares es:

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}},}$

donde 1 y 2 son las longitudes de la base y del lado _{superior .}

Para un tronco de cono circular recto ^{[ 3 ] [ 4 ]} la altura inclinada${\displaystyle s}$es

${\displaystyle \displaystyle s={\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}},}$

El área de la superficie lateral es

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s,}$

y la superficie total es

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right),}$

donde r ₁ y r ₂ son los radios de la base y la parte superior, respectivamente.