Integral de Henstock-Kurzweil

En matemáticas , la integral de Henstock-Kurzweil o integral de Riemann generalizada o integral de gauge – también conocida como integral de Denjoy (estrecha) ( pronunciada [ dɑ̃ʒwa ] ), integral de Luzin o integral de Perron , pero que no debe confundirse con la integral de Denjoy más general – es una de varias definiciones no equivalentes de la integral de una función . Es una generalización de la integral de Riemann y, en algunas situaciones, es más general que la integral de Lebesgue . En particular, una función es integrable de Lebesgue sobre un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$si y solo si la función y su valor absoluto son integrables de Henstock-Kurzweil.

Esta integral fue definida por primera vez por Arnaud Denjoy (1912). Denjoy estaba interesado en una definición que permitiera integrar funciones como:

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right).}$$

Esta función tiene una singularidad en 0 y no es integrable según Lebesgue. Sin embargo, parece natural calcular su integral excepto en el intervalo${\displaystyle [-\varepsilon ,\delta ]}$y luego dejar${\displaystyle \varepsilon ,\delta \rightarrow 0}$.

En su intento por crear una teoría general, Denjoy empleó la inducción transfinita sobre los posibles tipos de singularidades, lo que complicó considerablemente la definición. Nikolai Luzin (utilizando variaciones de la noción de continuidad absoluta ) y Oskar Perron , interesado en funciones mayores y menores continuas , ofrecieron otras definiciones . Se tardó un tiempo en comprender que las integrales de Perron y Denjoy son, en realidad, idénticas.

Más tarde, en 1957, el matemático checo Jaroslav Kurzweil descubrió una nueva definición de esta integral, elegantemente similar a la definición original de Riemann , a la que Kurzweil denominó integral de gauge . En 1961, Ralph Henstock introdujo de forma independiente una integral similar que extendía la teoría, citando sus investigaciones sobre las extensiones de Ward a la integral de Perron. ^{[ 1 ]} Debido a estas dos importantes contribuciones, ahora se la conoce comúnmente como la integral de Henstock-Kurzweil . La simplicidad de la definición de Kurzweil llevó a algunos educadores a abogar por que esta integral debería reemplazar a la integral de Riemann en los cursos introductorios de cálculo . ^{[ 2 ]}

Siguiendo a Bartle (2001) , dada una partición etiquetada${\displaystyle {\mathcal {P}}}$de${\displaystyle [a,b]}$, eso es,$${\displaystyle a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b}$$ junto con la etiqueta de cada subintervalo definida como un punto $${\displaystyle t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],}$$ definimos la suma de Riemann para una función${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ser $${\displaystyle \sum _{P}f=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta u_{i}.}$$ dónde${\displaystyle \Delta u_{i}:=u_{i}-u_{i-1}.}$Esta es la suma de la longitud de cada subintervalo (${\displaystyle \Delta u_{i}}$) multiplicado por la función evaluada en la etiqueta de ese subintervalo (${\displaystyle f(t_{i})}$) .

Dada una función positiva $${\displaystyle \delta \colon [a,b]\to (0,\infty ),}$$ que llamamos calibre , decimos que una partición etiquetada P es${\displaystyle \delta }$-bien si $${\displaystyle (\forall i\in \{1,\dots ,n\})\ (\ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})]).}$$

Ahora definimos un número I como la integral de Henstock-Kurzweil de f si para cada ε > 0 existe un calibre${\displaystyle \delta }$de tal manera que siempre que P sea${\displaystyle \delta }$-bien, tenemos $${\displaystyle \left\vert I-\sum _{P}f\right\vert <\varepsilon .}$$

Si existe tal I , decimos que f es integrable de Henstock-Kurzweil en${\displaystyle [a,b]}$.

El teorema de Cousin establece que para cada calibre${\displaystyle \delta }$, tal un${\displaystyle \delta }$La partición fina P sí existe, por lo que esta condición no puede satisfacerse trivialmente . La integral de Riemann puede considerarse como el caso especial en el que solo permitimos calibres constantes .

Dejar${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ser cualquier función.

Dado${\displaystyle a<c<b}$,${\displaystyle f}$¿Es integrable Henstock-Kurzweil en${\displaystyle [a,b]}$si y solo si es integrable de Henstock-Kurzweil en ambos${\displaystyle [a,c]}$y${\displaystyle [c,b]}$; en cuyo caso ( Bartle 2001 , 3.7) ,$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$$

Las integrales de Henstock-Kurzweil son lineales : dadas funciones integrables${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$y números reales${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$, la expresión${\displaystyle \alpha f+\beta g}$es integrable ( Bartle 2001 , 3.1) ; por ejemplo,$${\displaystyle \int _{a}^{b}\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

Si f es integrable de Riemann o Lebesgue, entonces también es integrable de Henstock-Kurzweil, y el cálculo de esa integral da el mismo resultado en las tres formulaciones. El importante teorema de Hake ( Bartle 2001 , 12.8) establece que$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx}$$

siempre que exista cualquiera de los lados de la ecuación, y de igual manera simétrica para el límite inferior de integración. Esto significa que si${\displaystyle f}$es " impropiamente integrable de Henstock-Kurzweil", entonces es propiamente integrable de Henstock-Kurzweil; en particular, las integrales de Riemann o Lebesgue impropias de tipos como$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\sin(1/x)}{x}}\,dx}$$

También son integrales de Henstock-Kurzweil propias. Estudiar una "integral de Henstock-Kurzweil impropia" con límites finitos no tendría sentido. Sin embargo, sí tiene sentido considerar integrales de Henstock-Kurzweil impropias con límites infinitos, como $${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx:=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Para muchos tipos de funciones, la integral de Henstock-Kurzweil no es más general que la integral de Lebesgue. Por ejemplo, si f es acotada con soporte compacto , las siguientes son equivalentes:

• f es integrable de Henstock-Kurzweil,
• f es integrable de Lebesgue,
• f es medible según Lebesgue .

En general, toda función integrable de Henstock-Kurzweil es medible y${\displaystyle f}$es integrable de Lebesgue si y solo si ambos${\displaystyle f}$y${\displaystyle |f|}$son integrables de Henstock-Kurzweil. Esto significa que la integral de Henstock-Kurzweil puede pensarse como una " versión no absolutamente convergente de la integral de Lebesgue". También implica que la integral de Henstock-Kurzweil satisface versiones apropiadas del teorema de convergencia monótona (sin requerir que las funciones sean no negativas) y del teorema de convergencia dominada (donde la condición de dominancia se relaja a g ( x ) ≤ f _n ( x ) ≤ h ( x ) para algunos g , h integrables ).

Si${\displaystyle F}$es diferenciable en todas partes (o continua en todas partes y diferenciable con un número numerable de excepciones), la derivada${\displaystyle F'}$es integrable de Henstock-Kurzweil, y su integral indefinida de Henstock-Kurzweil es${\displaystyle F}$. (Tenga en cuenta que${\displaystyle F'}$(no es necesario que sea integrable en el sentido de Lebesgue). En otras palabras, obtenemos una versión más simple y satisfactoria del segundo teorema fundamental del cálculo : toda función diferenciable es, salvo una constante, la integral de su derivada:$${\displaystyle F(x)-F(a)=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt.}$$

Por el contrario , el teorema de diferenciación de Lebesgue sigue siendo válido para la integral de Henstock-Kurzweil: si${\displaystyle f}$¿Es integrable Henstock-Kurzweil en${\displaystyle [a,b]}$, y

$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt,}$$

entonces${\displaystyle F'(x)=f(x)}$casi en todas partes${\displaystyle [a,b]}$(En particular,${\displaystyle F}$es diferenciable en casi todas partes).

El espacio de todas las funciones integrables de Henstock-Kurzweil a menudo está dotado de la norma de Alexiewicz , con respecto a la cual es barrilado pero incompleto .

La integral de calibre tiene mayor utilidad en comparación con la integral de Riemann, ya que la integral de calibre de cualquier función${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$que tiene un valor constante c excepto posiblemente en un número contable de puntos${\displaystyle C=\{c_{i}:i\in \mathbb {N} \}}$se puede calcular. Consideremos, por ejemplo, la función por partes$${\displaystyle f(t)={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\in [0,1]{\text{ and rational,}}\\1,&{\text{if }}t\in [0,1]{\text{ and irrational}}\end{cases}}}$$ lo cual es igual a uno menos la función de Dirichlet en el intervalo.

Esta función es imposible de integrar usando una integral de Riemann porque es imposible hacer intervalos.${\displaystyle [u_{i-1},u_{i}]}$lo suficientemente pequeño como para encapsular los valores cambiantes de f ( x ) con la naturaleza de mapeo de${\displaystyle \delta }$-Particiones etiquetadas finas.

El valor del tipo de integral descrito anteriormente es igual a${\displaystyle c(b-a)}$donde c es el valor constante de la función, y a, b son los extremos de la función. Para demostrar esto, sea${\displaystyle \varepsilon >0}$sea ​​dado y deje${\displaystyle D=\{(z_{j},J_{j}):1\leq j\leq n\}}$ser un${\displaystyle \delta }$-partición etiquetada fina de${\displaystyle [0,1]}$con etiquetas${\displaystyle z_{j}}$y intervalos${\displaystyle J_{j}}$y dejar${\displaystyle f(t)}$Sea la función definida a trozos descrita anteriormente. Considere que $${\displaystyle \left|\sum f(z_{j})l(J_{j})-1(1-0)\right|=\left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|}$$ dónde${\displaystyle l(J_{j})}$representa la longitud del intervalo${\displaystyle J_{j}}$. Nótese que esta equivalencia se establece porque la suma de las diferencias consecutivas en longitud de todos los intervalos${\displaystyle J_{j}}$es igual a la longitud del intervalo (o${\displaystyle (1-0)}$).

Por definición de la integral de calibre, queremos demostrar que la ecuación anterior es menor que cualquier valor dado.${\displaystyle \varepsilon }$Esto produce dos casos:

Caso 1:${\displaystyle z_{j}\notin C}$(Todas las etiquetas de${\displaystyle D}$son irracionales ):

Si ninguna de las etiquetas de la partición etiquetada${\displaystyle D}$son racionales , entonces${\displaystyle f(z_{j})}$siempre será 1 por definición de${\displaystyle f(t)}$, significado${\displaystyle f(z_{j})-1=0}$Si este término es cero, entonces para cualquier longitud de intervalo, se cumplirá la siguiente desigualdad: $${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq \varepsilon ,}$$

Entonces, para este caso, 1 es la integral de${\displaystyle f(t)}$.

Caso 2:${\displaystyle z_{k}=c_{k}}$(Alguna etiqueta de${\displaystyle D}$es racional):

Si una etiqueta de${\displaystyle D}$es racional, entonces la función evaluada en ese punto será 0, lo cual es un problema. Dado que sabemos${\displaystyle D}$es${\displaystyle \delta }$-Bien, la desigualdad $${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq \left|\sum [f(z_{j})-1]l(\delta (c_{k}))\right|}$$ se cumple porque la longitud de cualquier intervalo${\displaystyle J_{j}}$es más corto que su cobertura por la definición de ser${\displaystyle \delta }$-Bien. Si podemos construir un medidor${\displaystyle \delta }$Si tomamos como referencia el lado derecho de la desigualdad, podemos demostrar que se cumplen los criterios para que exista una integral.

Para ello, deja${\displaystyle \gamma _{k}=\varepsilon /[f(c_{k})-c]2^{k+2}}$y ajustar nuestros calibres de cobertura${\displaystyle \delta (c_{k})=(c_{k}-\gamma _{k},c_{k}+\gamma _{k})}$, lo que hace $${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-c]l(J_{j})\right|<\varepsilon /2^{k+1}.}$$

De esto, tenemos que $${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq 2\sum \varepsilon /2^{k+1}=\varepsilon }$$

Porque $${\displaystyle 2\sum 1/2^{k+1}=1}$$ como una serie geométrica . Esto indica que, en este caso, 1 es la integral de${\displaystyle f(t)}$.

Dado que los casos 1 y 2 son exhaustivos, esto demuestra que la integral de${\displaystyle f(t)}$es 1 y se cumplen todas las propiedades de la sección anterior.

La integral de Lebesgue sobre una línea también se puede presentar de forma similar.

Si tomamos la definición de la integral de Henstock-Kurzweil de arriba y eliminamos la condición

$${\displaystyle t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],}$$

Entonces obtenemos una definición de la integral de McShane , que es equivalente a la integral de Lebesgue. Nótese que la condición

$${\displaystyle \forall i\ \ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})]}$$

sigue siendo aplicable y técnicamente también lo requerimos.${\textstyle t_{i}\in [a,b]}$para${\textstyle f(t_{i})}$por definir.

• Integral de Pfeffer
• Valor principal de Cauchy
• Integral de parte finita de Hadamard

A continuación se presentan recursos adicionales en la web para obtener más información:

• "Integral de Kurzweil-Henstock" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Introducción a la integral de calibre
• Una sugerencia abierta: Reemplazar la integral de Riemann por la integral de gauge en los libros de texto de cálculo firmados por Bartle, Henstock, Kurzweil, Schechter, Schwabik y Výborný.