Modelo Heston

En finanzas, el modelo Heston , que lleva el nombre de Steven L. Heston , es un modelo matemático que describe la evolución de la volatilidad de un activo subyacente . ^{[ 1 ]} Es un modelo de volatilidad estocástica : este modelo supone que la volatilidad del activo no es constante, ni siquiera determinista, sino que sigue un proceso aleatorio .

El modelo de Heston supone que S _t , el precio del activo, está determinado por un proceso estocástico, ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S},}$

donde la volatilidad${\displaystyle {\sqrt {\nu _ {t}}}}$se da mediante un proceso de raíz cuadrada de Feller o CIR ,

${\displaystyle d\nu _{t}=\kappa (\theta -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\nu },}$

y${\displaystyle W_{t}^{S},W_{t}^{\nu }}$son procesos de Wiener (es decir, caminatas aleatorias continuas) con correlación ρ. El valor${\displaystyle \nu _{t}}$, al ser el cuadrado de la volatilidad, se denomina varianza instantánea.

El modelo tiene cinco parámetros:

• ${\displaystyle \nu _{0}}$, la varianza inicial.
• ${\displaystyle \theta }$, la varianza a largo plazo, o varianza media a largo plazo del precio; a medida que t tiende a infinito, el valor esperado de ν _t tiende a θ.
• ${\displaystyle \rho }$, la correlación de los dos procesos de Wiener .
• ${\displaystyle \kappa }$, la tasa a la que ν _t vuelve a θ.
• ${\displaystyle \xi }$, la volatilidad de la volatilidad, o 'vol de vol', que determina la varianza de ν _t .

Si los parámetros cumplen la siguiente condición (conocida como condición de Feller), entonces el proceso${\displaystyle \nu _{t}}$es estrictamente positivo ^{[ 2 ]}

${\displaystyle 2\kappa \theta >\xi ^{2}.}$

Consulte la sección "Medida neutral al riesgo" para leer el artículo completo.

Un concepto fundamental en la valoración de derivados es la medida neutral al riesgo ; esto se explica con mayor detalle en el artículo anterior. Para nuestros propósitos, basta con señalar lo siguiente:

1. Para valorar un derivado cuyo rendimiento depende de uno o más activos subyacentes, evaluamos el valor esperado de su rendimiento descontado bajo una medida neutral al riesgo.
2. Una medida neutral al riesgo, también conocida como medida de martingala equivalente, es aquella que es equivalente a la medida del mundo real y que está libre de arbitraje: bajo dicha medida, el precio descontado de cada uno de los activos subyacentes es una martingala. Véase el teorema de Girsanov .
3. En los marcos de Black-Scholes y Heston (donde las filtraciones se generan a partir de un conjunto linealmente independiente de procesos de Wiener), cualquier medida equivalente puede describirse, en un sentido muy amplio, añadiendo una deriva a cada uno de los procesos de Wiener.
4. Al seleccionar ciertos valores para las desviaciones descritas anteriormente, podemos obtener una medida equivalente que cumpla la condición de ausencia de arbitraje.

Consideremos una situación general en la que tenemos${\displaystyle n}$activos subyacentes y un conjunto linealmente independiente de${\displaystyle m}$Procesos de Wiener. El conjunto de medidas equivalentes es isomorfo a R ^m , el espacio de derivas posibles. Consideremos que el conjunto de medidas de martingala equivalentes es isomorfo a una variedad.${\displaystyle M}$integrado en R ^m ; inicialmente, consideremos la situación en la que no tenemos activos y${\displaystyle M}$es isomorfo a R ^m .

Ahora consideremos cada uno de los activos subyacentes como una restricción en el conjunto de medidas equivalentes, ya que su proceso de descuento esperado debe ser igual a una constante (es decir, su valor inicial). Al agregar un activo a la vez, podemos considerar cada restricción adicional como una reducción de la dimensión de${\displaystyle M}$por una dimensión. Por lo tanto, podemos ver que en la situación general descrita anteriormente, la dimensión del conjunto de medidas de martingala equivalentes es${\displaystyle mn}$.

En el modelo Black-Scholes , tenemos un activo y un proceso de Wiener. La dimensión del conjunto de medidas de martingala equivalentes es cero; por lo tanto, se puede demostrar que hay un único valor para la deriva y, por consiguiente, una única medida neutral al riesgo, bajo la cual el activo descontado${\displaystyle e^{-\rho t}S_{t}}$será una martingala.

En el modelo de Heston, seguimos teniendo un único activo (la volatilidad no se considera directamente observable ni negociable en el mercado), pero ahora contamos con dos procesos de Wiener: el primero en la ecuación diferencial estocástica (EDE) para el precio de las acciones y el segundo en la EDE para la varianza del precio de las acciones. En este caso, la dimensión del conjunto de medidas de martingala equivalentes es uno; no existe una única medida libre de riesgo.

Esto, por supuesto, resulta problemático; si bien cualquiera de las medidas libres de riesgo podría utilizarse teóricamente para valorar un derivado, es probable que cada una arroje un precio diferente. En teoría, sin embargo, solo una de estas medidas libres de riesgo sería compatible con los precios de mercado de las opciones dependientes de la volatilidad (por ejemplo, las opciones de compra europeas o, más explícitamente, los swaps de varianza ). Por lo tanto, podríamos añadir un activo dependiente de la volatilidad; al hacerlo, añadimos una restricción adicional y, por consiguiente, elegimos una única medida libre de riesgo que sea compatible con el mercado. Esta medida podría utilizarse para la valoración.

• Carr y Madan demostraron el uso de la transformada de Fourier para valorar opciones . ^{[ 4 ]}

• Kahl y Jäckel presentaron una discusión sobre la implementación del modelo Heston. ^{[ 5 ]}

• ^{Benhamou et al. [ 6 ]} presentaron una derivación de precios de opciones en forma cerrada para el modelo de Heston dependiente del tiempo.

• ^{Christoffersen et al. [ 7 ]} y Gauthier y Possamai ^{[ 8 ]} proporcionaron una derivación de precios de opciones en forma cerrada para el modelo de doble Heston.

• Grzelak y Oosterlee presentaron una extensión del modelo de Heston con tasas de interés estocásticas. ^{[ 9 ]}

• ^{Cui et al. [ 10 ]} introdujeron una expresión de la función característica del modelo de Heston que es numéricamente continua y fácilmente diferenciable con respecto a los parámetros.

• El uso del modelo en un contexto de volatilidad estocástica local fue presentado por Van Der Weijst. ^{[ 11 ]}

• Kouritzin desarrolló una solución explícita de la ecuación de precios de Heston en términos de volatilidad. ^{[ 12 ]} Esta solución puede combinarse con soluciones débiles conocidas para la ecuación de volatilidad y el teorema de Girsanov para obtener soluciones débiles explícitas del modelo de Heston. Dichas soluciones son útiles para una simulación eficiente.

• Los precios de referencia de alta precisión están disponibles en una entrada de blog de Alan Lewis. ^{[ 13 ]}
• Existen pocas parametrizaciones conocidas de la superficie de volatilidad basadas en el modelo de Heston (Schonbusher, SVI y gSVI).

La calibración del modelo de Heston se formula a menudo como un problema de mínimos cuadrados , cuya función objetivo minimiza la diferencia al cuadrado entre los precios observados en el mercado y los calculados a partir del modelo.

Los precios suelen ser los de las opciones vanilla . A veces, el modelo también se calibra a la estructura temporal del swap de varianza como en Guillaume y Schoutens. ^{[ 14 ]} Otro enfoque consiste en incluir opciones forward start , u opciones barrera también, para capturar la sonrisa forward .

Según el modelo de Heston, el precio de las opciones vanilla se da analíticamente, pero requiere un método numérico para calcular la integral. Le Floc'h ^{[ 15 ]} resumió las diversas cuadraturas aplicadas y propuso una cuadratura de Filon adaptativa eficiente .

La calibración generalmente requiere el gradiente de la función objetivo con respecto a los parámetros del modelo. Este se solía calcular con una aproximación de diferencias finitas, aunque es menos precisa, menos eficiente y menos elegante que un gradiente analítico, ya que una expresión clara de este último solo estuvo disponible cuando Cui et al. introdujeron una nueva representación de la función característica en 2017 ^{[ 10 ]} . Otra posibilidad es recurrir a la diferenciación automática . Por ejemplo, el modo tangente de diferenciación algorítmica se puede aplicar utilizando números duales de manera directa.

• volatilidad estocástica
• Medida neutral al riesgo (otro nombre para la medida de martingala equivalente)
• Teorema de Girsanov
• Martingala (teoría de la probabilidad)
• Modelo de volatilidad SABR
• Código MATLAB para implementación por Kahl, Jäckel y Lord

• Damghani, Babak Mahdavi; Kos, Andrew (2013). "Desarbitraje con una sonrisa débil: Aplicación al riesgo de sesgo". Wilmott . 2013 (1): 40– 49. doi : 10.1002/wilm.10201 . S2CID 154646708 . 
• Mario, Dell'Era (2014). "SOLUCIÓN EN FORMA CERRADA PARA LA EDP DE HESTON MEDIANTE TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS" . 4 (6): 793– 807.{{cite journal}}: Para citar una revista se requiere |journal=( ayuda )