Supergravedad de dimensiones superiores

La supergravedad de dimensiones superiores es la generalización supersimétrica de la relatividad general en dimensiones superiores. La supergravedad puede formularse en cualquier número de dimensiones hasta once. Este artículo se centra en la supergravedad (SUGRA) en más de cuatro dimensiones.

Los campos relacionados por transformaciones de supersimetría forman un supermultiplete ; el que contiene un gravitón se denomina multiplete de supergravedad .

El nombre de una teoría de supergravedad generalmente incluye el número de dimensiones del espacio-tiempo que habita, y también el número${\displaystyle {\mathcal {N}}}$de gravitinos que posee. A veces también se incluyen las elecciones de supermultipletes en nombre de la teoría. Por ejemplo, un${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$La supergravedad (9  +  1)-dimensional disfruta de 9 dimensiones espaciales, un tiempo y 2 gravitinos . Si bien el contenido de campos de las diferentes teorías de supergravedad varía considerablemente, todas contienen al menos un gravitino y un único gravitón . Por lo tanto, cada teoría de supergravedad contiene un único supermultiplete de supergravedad. Aún se desconoce si se pueden construir teorías con múltiples gravitones que no sean equivalentes a múltiples teorías desacopladas con un único gravitón en cada una. En las teorías de supergravedad máximas (véase más adelante), todos los campos están relacionados por transformaciones de supersimetría de modo que solo hay un supermultiplete: el multiplete de supergravedad.

A menudo se abusa de la nomenclatura cuando "supergravedad gauge" se refiere a una teoría de supergravedad en la que los campos de la teoría se cargan con respecto a los campos vectoriales de la misma. Sin embargo, cuando la distinción es importante, la nomenclatura correcta es la siguiente: si una simetría R global (es decir, rígida) se calibra, el gravitino se carga con respecto a ciertos campos vectoriales, y la teoría se denomina supergravedad calibrada . Cuando otras simetrías globales (rígidas) (por ejemplo, si la teoría es un modelo sigma no lineal ) de la teoría se calibran de tal manera que algunos campos (que no son gravitinos) se cargan con respecto a vectores, se la conoce como teoría de supergravedad de Yang-Mills-Einstein. Por supuesto, se puede imaginar una teoría de "Yang-Mills-Einstein calibrada" utilizando una combinación de las calibraciones anteriores.

Los gravitinos son fermiones, lo que significa que, según el teorema de espín-estadística, deben tener un número impar de índices espinoriales. De hecho, el campo gravitino tiene un índice espinorial y un índice vectorial , lo que significa que los gravitinos se transforman como un producto tensorial de una representación espinorial y la representación vectorial del grupo de Lorentz . Este es un espinor de Rarita-Schwinger .

Si bien solo existe una representación vectorial para cada grupo de Lorentz, en general hay varias representaciones espinoriales diferentes. Técnicamente, estas son representaciones de la doble cubierta del grupo de Lorentz, denominada grupo de espín .

El ejemplo canónico de una representación espinorial es el espinor de Dirac , que existe en cualquier número de dimensiones espacio-temporales. Sin embargo, la representación del espinor de Dirac no siempre es irreducible. Al calcular el número${\displaystyle {\mathcal {N}}}$Siempre se cuenta el número de representaciones irreducibles reales . Los espinores con espines menores que 3/2 que existen en cada número de dimensiones se clasificarán en la siguiente subsección.

Las representaciones espinoriales disponibles dependen de k ; el subgrupo compacto máximo del grupo pequeño del grupo de Lorentz que conserva el momento de una partícula sin masa es Spin( d − 1) × Spin( d − k − 1), donde k es igual al número d de dimensiones espaciales menos el número d − k de dimensiones temporales. (Véase helicidad (física de partículas) ). Por ejemplo, en nuestro mundo, esto es 3 − 1 = 2. Debido a la periodicidad de Bott módulo 8 de los grupos de homotopía del grupo de Lorentz, en realidad solo necesitamos considerar k módulo 8.                

Para cualquier valor de k existe una representación de Dirac, que siempre es de dimensión real.${\displaystyle 2^{1+\lfloor {\frac {2d-k}{2}}\rfloor }}$dónde${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$es el mayor entero menor o igual que x. Cuando${\displaystyle -2\leq k\leq 2{\pmod {8}}}$Existe una representación de espinor de Majorana real , cuya dimensión es la mitad de la de la representación de Dirac. Cuando k es par, existe una representación de espinor de Weyl , cuya dimensión real es nuevamente la mitad de la del espinor de Dirac. Finalmente, cuando k es divisible por ocho, es decir, cuando k es cero módulo ocho, existe un espinor de Majorana-Weyl , cuya dimensión real es un cuarto de la del espinor de Dirac.

Ocasionalmente también se considera el espinor de Majorana simpléctico que existe cuando${\displaystyle 3\leq k\leq 5}$, que tienen la mitad de componentes que los espinores de Dirac. Cuando k = 4, estos también pueden ser de Weyl, dando lugar a espinores de Majorana simplécticos de Weyl que tienen una cuarta parte de componentes que los espinores de Dirac.

Los espinores en n dimensiones son representaciones (en realidad módulos ) no solo del grupo de Lorentz n- dimensional, sino también de un álgebra de Lie llamada álgebra de Clifford n- dimensional . La base más comúnmente utilizada del complejo${\displaystyle 2^{\lfloor n\rfloor }}$La representación -dimensional del álgebra de Clifford, la representación que actúa sobre los espinores de Dirac, consiste en las matrices gamma .

Cuando n es par el producto de todas las matrices gamma, que a menudo se denomina${\displaystyle \Gamma _{5}}$Tal como se consideró inicialmente en el caso n  =  4, no pertenece al álgebra de Clifford. Sin embargo, al ser producto de elementos del álgebra de Clifford, se encuentra en la cubierta universal del álgebra y, por lo tanto, actúa sobre los espinores de Dirac.

En particular, los espinores de Dirac pueden descomponerse en autoespacios de${\displaystyle \Gamma _{5}}$con valores propios iguales a${\displaystyle \pm (-1)^{-k/2}}$donde k es el número de dimensiones espaciales menos temporales en el espaciotiempo. Los espinores en estos dos autoespacios forman cada uno representaciones proyectivas del grupo de Lorentz, conocidas como espinores de Weyl . El autovalor bajo${\displaystyle \Gamma _{5}}$Se conoce como la quiralidad del espinor, que puede ser levógira o dextrógira.

Se dice que una partícula que se transforma en un único espinor de Weyl es quiral. El teorema CPT , requerido por la invariancia de Lorentz en el espacio de Minkowski , implica que cuando existe una única dirección temporal, dichas partículas tienen antipartículas de quiralidad opuesta.

Recordemos que los valores propios de${\displaystyle \Gamma _{5}}$, cuyos autoespacios son las dos quiralidades, son${\displaystyle \pm (-1)^{-k/2}}$. En particular, cuando k es igual a dos módulo cuatro, los dos autovalores son conjugados complejos y, por lo tanto, las dos quiralidades de las representaciones de Weyl son representaciones conjugadas complejas.

La conjugación compleja en las teorías cuánticas corresponde a la inversión temporal. Por lo tanto, el teorema CPT implica que cuando el número de dimensiones de Minkowski es divisible por cuatro (de modo que k es igual a 2 módulo 4) existe un número igual de supercargas levógiras y dextrógiras. Por otro lado, si la dimensión es igual a 2 módulo 4, puede haber diferentes números de supercargas levógiras y dextrógiras, y por eso a menudo se etiqueta la teoría con un doblete.${\displaystyle {\mathcal {N}}=({\mathcal {N}}_{L},{\mathcal {N}}_{R})}$dónde${\displaystyle {\mathcal {N}}_{L}}$y${\displaystyle {\mathcal {N}}_{R}}$son el número de sobrealimentaciones zurdas y diestras respectivamente.

Todas las teorías de supergravedad son invariantes bajo transformaciones en el álgebra super-Poincaré , aunque las configuraciones individuales no son en general invariantes bajo todas las transformaciones en este grupo. El grupo super-Poincaré está generado por el álgebra super-Poincaré , que es una superálgebra de Lie . Una superálgebra de Lie es una${\displaystyle \mathbf {Z} _ {2}}$Álgebra graduada en la que los elementos de grado cero se denominan bosónicos y los de grado uno, fermiónicos. Entre cada par de generadores de grado fijo se define un conmutador, es decir, un corchete antisimétrico que satisface la identidad de Jacobi, excepto para los pares de generadores fermiónicos, para los cuales se define un corchete simétrico llamado anticonmutador.

Los generadores fermiónicos también se denominan supercargas . Cualquier configuración que sea invariante bajo cualquiera de las supercargas se denomina BPS , y a menudo los teoremas de no renormalización demuestran que tales estados son particularmente fáciles de tratar porque no se ven afectados por muchas correcciones cuánticas.

Las supercargas se transforman en espinores, y el número de espinores irreducibles de estos generadores fermiónicos es igual al número de gravitinos.${\displaystyle {\mathcal {N}}}$definido anteriormente. A menudo${\displaystyle {\mathcal {N}}}$se define como el número de generadores fermiónicos, en lugar del número de gravitinos, porque esta definición se extiende a teorías supersimétricas sin gravedad.

A veces resulta conveniente caracterizar las teorías no por el número${\displaystyle {\mathcal {N}}}$de representaciones irreducibles de gravitinos o supercargas, sino por el Q total de sus dimensiones. Esto se debe a que algunas características de la teoría tienen la misma dependencia de Q en cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, a menudo solo interesan las teorías en las que todas las partículas tienen espín menor o igual a dos. Esto requiere que Q no exceda 32, excepto posiblemente en casos especiales en los que la supersimetría se realiza de una manera no convencional y no lineal con productos de generadores bosónicos en los anticonmutadores de los generadores fermiónicos.

El lagrangiano para la supergravedad de 11 dimensiones hallado por fuerza bruta por Cremmer, Julia y Scherk ^{[ 1 ]} es:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}L&=&+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}eR-{\frac {1}{2}}e{\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNP}D_{N}[{\frac {1}{2}}(\omega -{\overline {\omega }})]\psi _{P}\\&&+{\frac {1}{48}}eF_{MNPQ}^{2}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{384}}e({\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNPQRS}\psi _{S}\\&&+12{\overline {\psi }}^{N}\Gamma ^{PQ}\psi ^{R})(F+{\overline {F}})_{NPQR}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{3456}}\varepsilon ^{M_{1}\dots M_{11}}F_{M_{1}\dots M_{4}}F_{M_{5}\dots M_{8}}A_{M_{9}M_{10}M_{11}}\end{array}}}$

que contiene los tres tipos de campo:

${\displaystyle e_{M}^{A},\psi _{M},A_{MNP}}$

La simetría de esta teoría de supergravedad viene dada por el supergrupo OSp(1|32), que da los subgrupos O(1) para la simetría bosónica y Sp(32) para la simetría fermiónica. Esto se debe a que los espinores necesitan 32 componentes en 11 dimensiones. La supergravedad de 11D se puede compactificar a 4 dimensiones, que entonces tiene simetría OSp(8|4). (Seguimos teniendo 8 × 4 = 32, así que sigue habiendo el mismo número de componentes). Los espinores necesitan 4 componentes en 4 dimensiones. Esto da O(8) para el grupo de gauge, que es demasiado pequeño para contener el grupo de gauge del Modelo Estándar U(1) × SU(2) × SU(3), que necesitaría al menos O(10).