Brana

En la teoría de cuerdas y teorías afines (como la supergravedad ), una brana es un objeto físico que generaliza la noción de partícula puntual cero- dimensional , cuerda unidimensional o membrana bidimensional a objetos de dimensiones superiores. Las branas son objetos dinámicos que pueden propagarse a través del espacio-tiempo según las reglas de la mecánica cuántica . Tienen masa y pueden tener otros atributos, como carga .

Matemáticamente, las branas pueden representarse dentro de categorías y se estudian en matemáticas puras para comprender la simetría especular homológica y la geometría no conmutativa .

La palabra "brana" se originó en 1987 como una contracción de " membrana ". ^{[ 1 ]}

Una partícula puntual es una 0-brana, de dimensión cero; una cuerda, llamada así por las cuerdas musicales vibrantes , es una 1-brana; una membrana, llamada así por las membranas vibrantes como los parches de tambor , es una 2-brana. ^{[ 2 ]} El objeto correspondiente de dimensión arbitraria p se llama p -brana, término acuñado por MJ Duff et al. en 1988. ^{[ 3 ]}

Una p -brana barre un volumen ( p +1)-dimensional en el espaciotiempo llamado su volumen de mundo . Los físicos a menudo estudian campos análogos al campo electromagnético , que residen en el volumen de mundo de una brana. ^{[ 4 ]}

En la teoría de cuerdas , una cuerda puede ser abierta (formando un segmento con dos extremos) o cerrada (formando un bucle cerrado). Las D-branas son una clase importante de branas que surgen al considerar cuerdas abiertas. A medida que una cuerda abierta se propaga a través del espacio-tiempo, sus extremos deben estar sobre una D-brana. La letra "D" en D-brana se refiere a la condición de contorno de Dirichlet , que la D-brana satisface. ^{[ 5 ]}

Un punto crucial sobre las D-branas es que la dinámica en el volumen de mundo de la D-brana se describe mediante una teoría de gauge , un tipo de teoría física altamente simétrica que también se utiliza para describir el comportamiento de las partículas elementales en el Modelo Estándar de la física de partículas . Esta conexión ha dado lugar a importantes avances en la teoría de gauge y la teoría cuántica de campos . Por ejemplo, condujo al descubrimiento de la correspondencia AdS/CFT , una herramienta teórica que los físicos utilizan para traducir problemas difíciles de la teoría de gauge en problemas matemáticamente más manejables de la teoría de cuerdas. ^{[ 6 ]}

Matemáticamente, las branas se pueden describir utilizando la noción de categoría . ^{[ 7 ]} Esta es una estructura matemática que consta de objetos y, para cualquier par de objetos, un conjunto de morfismos entre ellos. En la mayoría de los ejemplos, los objetos son estructuras matemáticas (como conjuntos , espacios vectoriales o espacios topológicos ) y los morfismos son funciones entre estas estructuras. ^{[ 8 ]} De igual manera, se pueden considerar categorías donde los objetos son D-branas y los morfismos entre dos branas${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son estados de cuerdas abiertas estiradas entre${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$. ^{[ 9 ]}

En una versión de la teoría de cuerdas conocida como el modelo topológico B , las D-branas son subvariedades complejas de ciertas formas de seis dimensiones llamadas variedades de Calabi-Yau , junto con datos adicionales que surgen físicamente de tener cargas en los extremos de las cuerdas. ^{[ 10 ]} Intuitivamente, se puede pensar en una subvariedad como una superficie incrustada dentro de una variedad de Calabi-Yau, aunque las subvariedades también pueden existir en dimensiones distintas de dos. ^{[ 11 ]} En lenguaje matemático, la categoría que tiene estas branas como sus objetos se conoce como la categoría derivada de haces coherentes en la variedad de Calabi-Yau. ^{[ 12 ]} En otra versión de la teoría de cuerdas llamada el modelo topológico A , las D-branas pueden verse nuevamente como subvariedades de una variedad de Calabi-Yau. En términos generales, son lo que los matemáticos llaman subvariedades lagrangianas especiales . ^{[ 13 ]} Esto significa, entre otras cosas, que tienen la mitad de la dimensión del espacio en el que se encuentran, y que minimizan la longitud, el área o el volumen. ^{[ 14 ]} La categoría que tiene estas branas como objetos se llama categoría de Fukaya . ^{[ 15 ]}

La categoría derivada de haces coherentes se construye utilizando herramientas de la geometría compleja , una rama de las matemáticas que describe formas geométricas en términos algebraicos y resuelve problemas geométricos mediante ecuaciones algebraicas . ^{[ 16 ]} Por otro lado, la categoría de Fukaya se construye utilizando la geometría simpléctica , una rama de las matemáticas que surgió de los estudios de la física clásica . La geometría simpléctica estudia espacios equipados con una forma simpléctica , una herramienta matemática que puede utilizarse para calcular el área en ejemplos bidimensionales. ^{[ 17 ]}

La conjetura de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich afirma que la categoría derivada de haces coherentes en una variedad de Calabi-Yau es equivalente, en cierto sentido, a la categoría de Fukaya de una variedad de Calabi-Yau completamente diferente. ^{[ 18 ]} Esta equivalencia proporciona un puente inesperado entre dos ramas de la geometría: la geometría compleja y la geometría simpléctica. ^{[ 19 ]}

• brasa negra
• cosmología de branas
• membrana de Dirac
• Subvariedad lagrangiana
• M2-brana
• M5-brana
• Brana NS5

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, PMH, eds. (2009). Branas de Dirichlet y simetría especular . Clay Mathematics Monographs . Vol.  4. American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático profesional . ISBN 978-0-387-98403-2.
• Moore, Gregory (2005). "¿Qué es  ... una brana?" (PDF) . Notices of the AMS . 52 : 214. Recuperado el 7 de junio de 2018 .
• Yau, Shing-Tung ; Nadis, Steve (2010). La forma del espacio interior: la teoría de cuerdas y la geometría de las dimensiones ocultas del universo . Basic Books . ISBN 978-0-465-02023-2.
• Zaslow, Eric (2008). «Simetría especular». En Gowers, Timothy (ed.). The Princeton Companion to Mathematics . ISBN 978-0-691-11880-2.