Teoría de categorías superiores

En matemáticas , la teoría de categorías superiores es la parte de la teoría de categorías de orden superior , lo que significa que algunas igualdades se reemplazan por flechas explícitas para poder estudiar explícitamente la estructura que subyace a esas igualdades. La teoría de categorías superiores se aplica a menudo en topología algebraica (especialmente en teoría de homotopía ), donde se estudian invariantes algebraicos de espacios , como el ∞-grupoide débil fundamental .

En la teoría de categorías superiores, el concepto de estructuras categóricas superiores, como las ( ∞-categorías ), permite un tratamiento más robusto de la teoría de la homotopía , lo que permite capturar distinciones homotópicas más finas, como diferenciar dos espacios topológicos que tienen el mismo grupo fundamental pero difieren en sus grupos de homotopía superiores . Este enfoque es particularmente valioso cuando se trata de espacios con características topológicas intrincadas, ^{[ 1 ]} como el espacio de Eilenberg-MacLane .

Una categoría ordinaria tiene objetos y morfismos , que se denominan 1-morfismos en el contexto de la teoría de categorías superiores. Una 2-categoría generaliza esto al incluir también 2-morfismos entre los 1-morfismos . Si se continúa esto hasta n- morfismos entre ( n  - 1)-morfismos, se obtiene una n -categoría .

Así como la categoría conocida como Cat , que es la categoría de categorías pequeñas y functores , es en realidad una 2-categoría con transformaciones naturales como sus 2-morfismos , la categoría n - Cat de n- categorías (pequeñas) es en realidad una ( n  + 1)-categoría.

Una n -categoría se define por inducción sobre n mediante:

• Una categoría 0 es un conjunto ,
• Una ( n  + 1)-categoría es una categoría enriquecida sobre la categoría n - Cat .

Entonces, una categoría 1 es simplemente una categoría ( localmente pequeña ).

La estructura monoidal de Set es aquella definida por el producto cartesiano como tensor y un singleton como unidad. De hecho, cualquier categoría con productos finitos puede tener una estructura monoidal. La construcción recursiva de n - Cat funciona correctamente porque si una categoría C tiene productos finitos, la categoría de categorías enriquecidas con C también los tiene.

Si bien este concepto es demasiado estricto para algunos propósitos, por ejemplo, en la teoría de la homotopía , donde surgen estructuras "débiles" en forma de categorías superiores, ^{[ 2 ]} también han surgido grupos de homotopía superior cúbicos estrictos que proporcionan una nueva base para la topología algebraica en la frontera entre la homología y la teoría de la homotopía ; véase el artículo Topología algebraica no abeliana , referenciado en el libro a continuación.

En las n -categorías débiles , las condiciones de asociatividad e identidad ya no son estrictas (es decir, no vienen dadas por igualdades), sino que se satisfacen salvo un isomorfismo del siguiente nivel. Un ejemplo en topología es la composición de caminos , donde las condiciones de identidad y asociación se cumplen solo hasta la reparametrización y, por lo tanto, hasta la homotopía , que es el 2-isomorfismo para esta 2-categoría . Estos n- isomorfismos deben comportarse bien entre conjuntos de hom , y expresar esto es la dificultad en la definición de las n -categorías débiles. Las 2-categorías débiles , también llamadas bicategorías , fueron las primeras en definirse explícitamente. Una particularidad de estas es que una bicategoría con un objeto es exactamente una categoría monoidal , de modo que se puede decir que las bicategorías son "categorías monoidales con muchos objetos". Las 3-categorías débiles , también llamadas tricategorías , y las generalizaciones de nivel superior son cada vez más difíciles de definir explícitamente. Se han propuesto varias definiciones, y determinar cuándo son equivalentes y en qué sentido se ha convertido en un nuevo objeto de estudio en la teoría de categorías.

Los complejos de Kan débiles, o cuasicategorías, son conjuntos simpliciales que satisfacen una versión débil de la condición de Kan. André Joyal demostró que constituyen una buena base para la teoría de categorías superiores mediante la construcción de la estructura del modelo de Joyal sobre la categoría de conjuntos simpliciales , cuyos objetos fibrantes son precisamente cuasicategorías. Recientemente, en 2009, la teoría fue sistematizada aún más por Jacob Lurie, quien simplemente las denomina categorías infinito, aunque este último término también es un término genérico para todos los modelos de categorías (infinito, k ) para cualquier k .

Las categorías enriquecidas simplicialmente, o categorías simpliciales, son categorías enriquecidas sobre conjuntos simpliciales. Sin embargo, cuando las consideramos como un modelo para categorías (infinito, 1) , muchas nociones categóricas (por ejemplo, límites ) no coinciden con las nociones correspondientes en el sentido de categorías enriquecidas. Lo mismo ocurre con otros modelos enriquecidos, como las categorías enriquecidas topológicamente.

Las categorías topológicamente enriquecidas (a veces llamadas simplemente categorías topológicas) son categorías enriquecidas sobre alguna categoría conveniente de espacios topológicos, por ejemplo, la categoría de espacios de Hausdorff generados de forma compacta .

Estos son modelos de categorías superiores introducidos por Hirschowitz y Simpson en 1998, ^{[ 3 ]} inspirados en parte por los resultados de Graeme Segal en 1974.

• Álgebra de dimensiones superiores
• Disparates abstractos generales
• Categorización
• Coherencia (teoría de la homotopía)

• Baez, John C. ; Dolan, James (1998). "Categorificación". arXiv : math/9802029 .
• Leinster, Tom (2004). Higher Operads, Higher Categories . Cambridge University Press. arXiv : math.CT/0305049 . ISBN 0-521-53215-9.
• Simpson, Carlos (2010). "Teoría de la homotopía de categorías superiores". arXiv : 1001.4071 [ math.CT ].Borrador de un libro. (PDF alternativo con hipervínculos )

• Lurie, Jacob (2009). Teoría de topos superiores . Princeton University Press. arXiv : math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14048-3.Como PDF .
• nLab , el proyecto colectivo y abierto de cuadernos wiki sobre teoría de categorías superiores y aplicaciones en física, matemáticas y filosofía.
• Joyal's Catlab , una wiki dedicada a exposiciones elaboradas de matemáticas categóricas y categóricas superiores con demostraciones.
• Brown, Ronald ; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011). Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica . Tracts in Mathematics. Vol.  15. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-083-8.

• John C. Baez y Michael Shulman, Lecciones sobre n-categorías y cohomología, Hacia categorías superiores, IMA Vol. Math. Appl., vol. 152, Springer, Nueva York, 2010, pp. 1–68. MR2664619
• Trimble, Todd. "Notas sobre tetracategorías" .
• https://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory
• https://ncatlab.org/nlab/show/geometric+shape+for+higher+structures
• https://ncatlab.org/nlab/show/Trimble+n-category

• Baez, John (24 de febrero de 1996). "Semana 73: Historia de n -categorías" .
• El n-Category Cafe : un blog colectivo dedicado a la teoría de categorías superiores.
• Leinster, Tom (8 de marzo de 2010). "Una perspectiva sobre la teoría de categorías superiores" .