espacio de Eilenberg-MacLane

Una propiedad importante de${\displaystyle K(G,n)}$es que para cualquier grupo abeliano G y cualquier complejo CW basado X , el conjunto${\displaystyle [X,K(G,n)]}$de clases de homotopía basadas de mapas basados ​​de X a${\displaystyle K(G,n)}$está en biyección natural con el n -ésimo grupo de cohomología singular${\displaystyle H^{n}(X,G)}$del espacio X. Por lo tanto, se dice que el${\displaystyle K(G,n)s}$están representando espacios para cohomología singular con coeficientes en G . Dado que

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}}$

Hay un elemento distintivo${\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n),G)}$correspondiente a la identidad. La biyección anterior viene dada por el retroceso de ese elemento.${\displaystyle f\mapsto f^{*}u}$Esto es similar al lema de Yoneda de la teoría de categorías .

Una demostración constructiva de este teorema se puede encontrar aquí, ^{[ 6 ]} otra que utiliza la relación entre los espectros omega y las teorías de cohomología reducida generalizada se puede encontrar aquí, ^{[ 7 ]} y la idea principal también se esboza más adelante.

El espacio de lazos de un espacio de Eilenberg-MacLane es de nuevo un espacio de Eilenberg-MacLane:${\displaystyle \Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)}$Además, existe una relación adjunta entre el espacio de bucle y la suspensión reducida:${\displaystyle [\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]}$, que da${\displaystyle [X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]}$la estructura de un grupo abeliano, donde la operación es la concatenación de bucles. Esto hace que la biyección${\displaystyle [X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)}$Se mencionó anteriormente un isomorfismo de grupo.

Además, esta propiedad implica que los espacios de Eilenberg-MacLane con varios n forman un espectro omega , llamado "espectro de Eilenberg-MacLane". Este espectro se define mediante${\displaystyle X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]}$una teoría de cohomología reducida en complejos CW basados ​​y para cualquier teoría de cohomología reducida${\displaystyle h^{*}}$en complejos CW con${\displaystyle h^{n}(S^{0})=0}$para${\displaystyle n\neq 0}$existe un isomorfismo natural ${\displaystyle h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0}))}$, dónde${\displaystyle {\tilde {H^{*}}}}$ denota cohomología singular reducida. Por lo tanto, estas dos teorías de cohomología coinciden.

En un contexto más general, la representabilidad de Brown dice que toda teoría de cohomología reducida en complejos CW basados ​​proviene de un espectro omega .

Para un grupo abeliano fijo${\displaystyle G}$Existen mapas sobre los grupos de homotopía estable.

${\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))}$

inducido por el mapa${\displaystyle \Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)}$Tomando el límite directo sobre estos mapas, se puede verificar que esto define una teoría de homología reducida.

${\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))}$

en complejos CW. Desde${\displaystyle h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))}$desaparece para${\displaystyle q\neq 0}$,${\displaystyle h_{*}}$ concuerda con la homología singular reducida${\displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)}$con coeficientes en G en complejos CW.

Del teorema del coeficiente universal para la cohomología se deduce que el espacio de Eilenberg-MacLane es un cuasifunctor del grupo; es decir, para cada entero positivo${\displaystyle n}$si${\displaystyle a\colon G\to G'}$es cualquier homomorfismo de grupos abelianos, entonces existe un conjunto no vacío

${\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},}$

satisfactorio${\displaystyle K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),}$ dónde${\displaystyle [f]}$denota la clase de homotopía de una aplicación continua${\displaystyle f}$y${\displaystyle S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}.}$

Cada complejo CW conectado${\displaystyle X}$ posee una torre de Postnikov , que es un sistema inverso de espacios:

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}$

de tal manera que para cada${\displaystyle n}$:

1. Hay mapas para ir al trabajo${\displaystyle X\to X_{n}}$, que inducen isomorfismo en${\displaystyle \pi _{i}}$para${\displaystyle i\leq n}$,
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$para${\displaystyle i>n}$,
3. los mapas${\displaystyle X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}}$son fibras con fibra${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$.

De forma dual, existe una torre Whitehead , que es una secuencia de complejos CW:

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$

de tal manera que para cada${\displaystyle n}$:

1. los mapas${\displaystyle X_{n}\to X}$inducir isomorfismo en${\displaystyle \pi _{i}}$para${\displaystyle i>n}$,
2. ${\displaystyle X_{n}}$es n-conectado ,
3. los mapas${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$son fibras con fibra${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$.

Con la ayuda de secuencias espectrales de Serre se pueden realizar cálculos de grupos de homotopía superiores de esferas. Por ejemplo${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})}$y${\displaystyle \pi _{5}(S^{3})}$utilizando una torre Whitehead de${\displaystyle S^{3}}$se pueden encontrar aquí, ^{[ 8 ]} más generalmente los de${\displaystyle \pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3}$El uso de sistemas Postnikov se puede encontrar aquí. ^{[ 9 ]}

Para números naturales fijos m,n y grupos abelianos G,H existe una biyección entre el conjunto de todas las operaciones de cohomología.${\displaystyle \Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)}$y${\displaystyle H^{n}(K(G,m),H)}$definido por${\displaystyle \Theta \mapsto \Theta (u)}$, dónde${\displaystyle u\in H^{m}(K(G,m),G)}$es la clase fundamental tal como se define en #Biyección entre clases de homotopía de mapas y cohomología . ^{[ 10 ]}

Como resultado, las operaciones de cohomología no pueden disminuir el grado de los grupos de cohomología y las operaciones de cohomología que preservan el grado corresponden a homomorfismos de coeficientes.${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)}$Esto se deduce del teorema del coeficiente universal para la cohomología y la (m-1)-conexidad de${\displaystyle K(G,m)}$.

Algunos ejemplos interesantes de operaciones de cohomología son los cuadrados de Steenrod y las potencias , cuando${\displaystyle G=H}$son grupos cíclicos finitos . Al estudiarlos, la importancia de la cohomología de${\displaystyle K(\mathbb {Z} /p,n)}$con coeficientes en${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$se hace evidente rápidamente; ^{[ 11 ]} aquí se pueden encontrar algunas tablas extensas de esos grupos. ^{[ 12 ]}

Se puede definir la (co)homología de grupo de G con coeficientes en el grupo A como la (co)homología singular del espacio de Eilenberg-MacLane.${\displaystyle K(G,1)}$con coeficientes en A.

La construcción del espacio de bucles descrita anteriormente se utiliza en la teoría de cuerdas para obtener, por ejemplo, el grupo de cuerdas , el grupo de cincobranas , etc., como la torre de Whitehead que surge de la secuencia exacta corta.

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,2)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$

con${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$el grupo de cadenas y${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$el grupo de espín . La relevancia de${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$radica en el hecho de que existen equivalencias homotópicas.

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

para el espacio de clasificación${\displaystyle B\mathbb {Z} }$y el hecho${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$Nótese que esto se debe a que el grupo de espín complejo es una extensión de grupo.

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$,

El grupo de cuerdas puede considerarse como una extensión de grupo de espín complejo "superior", en el sentido de la teoría de grupos superior, ya que el espacio${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$es un ejemplo de un grupo superior. Puede considerarse como la realización topológica del grupoide.${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$cuyo objeto es un único punto y cuyos morfismos son el grupo${\displaystyle U(1)}$Debido a estas propiedades homotópicas, la construcción se generaliza: cualquier espacio dado${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$puede utilizarse para iniciar una secuencia exacta corta que elimine el grupo de homotopía${\displaystyle \pi _{n+1}}$en un grupo topológico .

• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1945), "Relaciones entre grupos de homología y homotopía de espacios", Annals of Mathematics , (Segunda serie), 46 (3): 480–509 , doi : 10.2307/1969165 , JSTOR 1969165 , MR 0013312  
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1950). "Relaciones entre grupos de homología y homotopía de espacios. II". Annals of Mathematics . ( Segunda serie). 51 (3): 514– 533. doi : 10.2307/1969365 . JSTOR 1969365. MR 0035435 .  
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1954). "Sobre los grupos${\displaystyle H(\Pi ,n)}$. III . Operaciones y obstrucciones" . Anales de Matemáticas . 60 (3): 513– 557. doi : 10.2307/1969849 . JSTOR 1969849. MR 0065163 .  

El seminario Cartan contiene muchos resultados fundamentales sobre los espacios de Eilenberg-MacLane, incluyendo su homología y cohomología, y aplicaciones para el cálculo de los grupos de homotopía de esferas.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ Archivado el 25/04/2022 en Wayback Machine

• Funtores derivados de los funtores de potencia dividida
• Cohomología integral de torres de Postnikov finitas
• (Co)homología de los espacios de Eilenberg-MacLane K(G,n)

• Enciclopedia de Matemáticas
• Espacio Eilenberg-Mac Lane en el Laboratorio n