Grupo Higman-Sims

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Higman-Sims HS es un grupo simple esporádico de orden

   2 ⁹ ⋅3 ² ⋅5 ³ ⋅7⋅11 = 44352000

≈ 4 × 10⁷ .

El multiplicador de Schur tiene orden 2, el grupo de automorfismo externo tiene orden 2 y el grupo 2.HS.2 aparece como un centralizador de involución en el grupo Harada-Norton .

HS es uno de los 26 grupos esporádicos y fue encontrado por Donald G. Higman y Charles C. Sims  (1968). Estaban asistiendo a una presentación de Marshall Hall sobre el grupo Hall-Janko J ₂ . Sucede que J ₂ actúa como un grupo de permutación en el grafo Hall-Janko de 100 puntos, siendo el estabilizador de un punto un subgrupo con otras dos órbitas de longitudes 36 y 63. Inspirados por esto, decidieron buscar otros grupos de permutación de rango 3 en 100 puntos. Pronto se centraron en uno posible que contuviera el grupo de Mathieu M ₂₂ , que tiene representaciones de permutación en 22 y 77 puntos. (La última representación surge porque el sistema Steiner M ₂₂ tiene 77 bloques). Al unir estas dos representaciones, encontraron HS, con un estabilizador de un punto isomorfo a M ₂₂ .

HS es el subgrupo simple de índice dos en el grupo de automorfismos del grafo de Higman-Sims . El grafo de Higman-Sims tiene 100 nodos, por lo que el grupo de Higman-Sims HS es un grupo transitivo de permutaciones de un conjunto de 100 elementos. La representación compleja fiel más pequeña de HS tiene dimensión 22. ^[1]

Graham Higman  (1969) descubrió independientemente el grupo como un grupo de permutación doblemente transitivo que actúa sobre una determinada "geometría" en 176 puntos.

El código GAP para construir el grupo Higman-Sims se presenta como ejemplo en la propia documentación de GAP. ^[2]

El grupo Higman-Sims se puede construir con los dos generadores siguientes : ^[2]

(1,50,65) (2,89,62,52,88,25) (3,46,57,18,74,55) (4,45,10,70,56,39) (5,97 ,77) (6,84,8,48,99,67) (7,26,92,28,20,100) (9,30,79,66,49,95) (11,72) (12,94,98,27,83,93) (13,31,61,59,40,47) (14,51,68 ,44,16,34) (15,38) (17,82,87) (19,76,73,71,63,32) (21,37,58,69,75,35) (22,53,81) (23,33,54) (24,43,80,78,29,86) (42,64) (60,90, 96) (85,91)

y

(1,65,44,13,34,57) (2,10,39,54,42,84) (3,15,69,63,37,11) (5,21,79) (6,89 ,49,64,46,80) (7,70,93,29,8,38) (9,81,17,23,77,59) (12,68,66,75,96,82) (14,18,95,43,76,32) (16,33,99,26,92,48) (19,50) (20,97,83 ) (22,88,85,53,24,56) (25,62,67) (27,98) (28,55) (30,58,71,86,94,90) (31,87,52,78,100,60) (35,61,51) (36,73,72) (40,74) (41,45,47)

Conway (1968) identificó al grupo de Higman-Sims como un subgrupo del grupo de Conway Co ₀ . En Co ₀ HS surge como un estabilizador puntual de un triángulo 2-3-3 , cuyos bordes (diferencias de vértices) son vectores de tipo 2 y 3. HS es, por tanto, un subgrupo de cada uno de los grupos de Conway Co ₀ , Co ₂ y Co ₃ .

Wilson (2009) (p. 208) muestra que el grupo HS está bien definido. En la red Leech , supongamos que un punto de tipo 3 v está fijado por una instancia de Co ₃ . Cuente los puntos de tipo 2 w tales que el producto interno v · w = 2 (y por lo tanto v - w es de tipo 3). Muestra que su número es 11,178 = 2⋅3 ⁵ ⋅23 y que este Co ₃ es transitivo en estos w .

| SA | = | Co ₃ | / 11.178 = 44.352.000.

De hecho, | HS | = 100 | M ₂₂ | , y hay instancias de HS que incluyen una representación de matriz de permutación del grupo de Mathieu M ₂₂ .

Si una instancia de HS en Co ₀ fija un punto particular de tipo 3, este punto se encuentra en 276 triángulos de tipo 2-2-3 que esta copia de HS permuta en órbitas de 176 y 100. Este hecho conduce a la construcción de Graham Higman, así como al grafo de Higman-Sims. HS es doblemente transitivo en el 176 y de rango 3 en el 100.

Un triángulo 2-3-3 define un subespacio bidimensional fijado puntualmente por HS. La representación estándar de HS puede, por lo tanto, reducirse a una de 22 dimensiones.

Wilson (2009) (p. 210) da un ejemplo de un gráfico de Higman-Sims dentro de la red Leech , permutado por la representación de M ₂₂ en las últimas 22 coordenadas:

• 22 puntos de forma (1, 1, −3, 1 ²¹ )
• 77 puntos de forma (2, 2, 2 ⁶ , 0 ¹⁶ )
• Un punto 100 (4, 4, 0 ²² )

Las diferencias de puntos adyacentes son de tipo 3; las de puntos no adyacentes son de tipo 2.

Aquí, HS fija un triángulo 2-3-3 con vértices x = (5, 1 ²³ ) , y = (1, 5, 1 ²² ) , y z el origen. x e y son de tipo 3 mientras que x - y = (4, −4, 0 ²² ) es de tipo 2. Cualquier vértice del gráfico difiere de x , y y z por vectores de tipo 2.

Una involución en el subgrupo M ₂₂ transpone 8 pares de coordenadas. Como matriz de permutación en Co ₀ tiene traza 8. Se puede demostrar que desplaza 80 de los 100 vértices del grafo de Higman-Sims. Ningún par de vértices transpuestos es una arista en el grafo.

Hay otra clase de involuciones, de traza 0, que mueven los 100 vértices. ^[3] Como permutaciones en el grupo alternado A ₁₀₀ , al ser productos de un número impar (25) de transposiciones dobles, estas involuciones se elevan a elementos de orden 4 en la doble cobertura 2.A ₁₀₀ . HS tiene entonces una doble cobertura 2.HS, que no está relacionada con la doble cobertura del subgrupo M ₂₂ .

Magliveras (1971) encontró las 12 clases de conjugación de subgrupos máximos de HS de la siguiente manera:

Se muestran trazas de matrices en una representación estándar de 24 dimensiones de HS. ^[4] Se enumeran 2 representaciones de permutación: en los 100 vértices del gráfico de Higman-Sims y en los 176 puntos de la geometría de Graham Higman. ^[5]

Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que la luz de luna monstruosa no se limita al grupo de los monstruos , sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para HS, la serie de McKay-Thompson es donde se puede establecer a(0) = 4 ( OEIS : A058097 ), ${\displaystyle T_{10A}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{10A}(\tau )&=T_{10A}(\tau )+4\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )\;\eta (5\tau )}{\eta (2\tau )\;\eta (10\tau )}}\right)^{2}+2^{2}\left({\frac {\eta (2\tau )\;\eta (10\tau )}{\eta (\tau )\;\eta (5\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )\;\eta (2\tau )}{\eta (5\tau )\;\eta (10\tau )}}\right)+5\left({\frac {\eta (5\tau )\;\eta (10\tau )}{\eta (\tau )\;\eta (2\tau )}}\right)\right)^{2}-4\\&={\frac {1}{q}}+4+22q+56q^{2}+177q^{3}+352q^{4}+870q^{5}+1584q^{6}+\cdots \end{aligned}}}$

• Mundo matemático: Higman–Sims
• Atlas de representaciones de grupos finitos: grupo de Higman-Sims