La paradoja de Hilbert del Grand Hotel

La paradoja de Hilbert del Gran Hotel ( coloquialmente : Paradoja del Hotel Infinito u Hotel de Hilbert ) es un experimento mental que ilustra una propiedad contraintuitiva de los conjuntos infinitos . Se demuestra que un hotel completamente ocupado con infinitas habitaciones puede alojar huéspedes adicionales, incluso infinitos, y este proceso puede repetirse infinitas veces. La idea fue introducida por David Hilbert en una conferencia de 1925 " Über das Unendliche ", reimpresa en (Hilbert 2013, p.730), y se popularizó a través del libro de George Gamow de 1947 One Two Three... Infinity . ^{[1] [2]}

Hilbert imagina un hotel hipotético con habitaciones numeradas 1, 2, 3, etc., sin límite superior. Esto se llama un número infinito de habitaciones. Inicialmente, todas las habitaciones están ocupadas, pero llegan nuevos visitantes, cada uno esperando su propia habitación. Un hotel normal y finito no podría alojar nuevos huéspedes una vez que todas las habitaciones estén ocupadas. Sin embargo, se puede demostrar que los huéspedes existentes y los recién llegados, incluso un número infinito de ellos, pueden tener cada uno su propia habitación en el hotel infinito.

Con un huésped adicional, el hotel puede alojarlo a él o ella y a los huéspedes existentes si una cantidad infinita de huéspedes se mudan de habitación simultáneamente. El huésped que se encuentra actualmente en la habitación 1 se muda a la habitación 2, el huésped que se encuentra actualmente en la habitación 2 a la habitación 3, y así sucesivamente, moviendo a cada huésped de su habitación actual n a la habitación n + 1. El hotel infinito no tiene una habitación final, por lo que cada huésped tiene una habitación a la que ir. Después de esto, la habitación 1 está vacía y el nuevo huésped puede mudarse a esa habitación. Al repetir este procedimiento, es posible hacer espacio para cualquier número finito de nuevos huéspedes. En general, cuando k huéspedes buscan una habitación, el hotel puede aplicar el mismo procedimiento y mover a cada huésped de la habitación n a la habitación n + k .

También es posible acomodar un número infinito contable de nuevos huéspedes: simplemente mueva a la persona que ocupa la habitación 1 a la habitación 2, al huésped que ocupa la habitación 2 a la habitación 4 y, en general, al huésped que ocupa la habitación n a la habitación 2 n (2 veces n ), y todas las habitaciones impares (que son infinitas contablemente) estarán libres para los nuevos huéspedes.

Es posible acomodar una cantidad infinita de vagones de pasajeros cada uno, mediante varios métodos diferentes. La mayoría de los métodos dependen de que los asientos de los vagones ya estén numerados (o utilizan el axioma de elección contable ). En general, se puede utilizar cualquier función de emparejamiento para resolver este problema. Para cada uno de estos métodos, considere que el número de asiento de un pasajero en un vagón es , y su número de vagón es , y los números y se introducen luego en los dos argumentos de la función de emparejamiento . ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización c}$

Envía al huésped de la habitación a la habitación , luego coloca la carga del primer vagón en habitaciones , la carga del segundo vagón en habitaciones ; en general, para el vagón número usamos las habitaciones donde es el número primo impar . Esta solución deja ciertas habitaciones vacías (que pueden o no ser útiles para el hotel); específicamente, todos los números que no sean potencias primos , como 15 u 847, ya no estarán ocupados. (Por lo tanto, estrictamente hablando, esto muestra que el número de llegadas es menor o igual que el número de vacantes creadas. Es más fácil mostrar, por un medio independiente, que el número de llegadas también es mayor o igual que el número de vacantes y, por lo tanto, que son iguales , que modificar el algoritmo para que se ajuste exactamente). (El algoritmo funciona igualmente bien si uno intercambia y , pero cualquiera que sea la elección que se haga, debe aplicarse uniformemente en todo momento). ${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización 2^{i}}$${\estilo de visualización 3^{n}}$${\estilo de visualización 5^{n}}$${\estilo de visualización c}$$estilo de visualización p_{c}^{n}}$$estilo de visualización p_{c}}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización c}$

Cada persona de un determinado asiento y vagón puede ser colocada en una habitación (suponiendo que c = 0 para las personas que ya están en el hotel, 1 para el primer vagón, etc.). Debido a que cada número tiene una factorización prima única , es fácil ver que todas las personas tendrán una habitación, mientras que no habrá dos personas en la misma habitación. Por ejemplo, la persona en la habitación 2592 ( ) estaba sentada en el cuarto vagón, en el quinto asiento. Al igual que el método de potencias primas, esta solución deja algunas habitaciones vacías. ${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización c}$$Estilo de visualización 2^{s}3^{c}}$${\estilo de visualización 2^{5}3^{4}}$

Este método también se puede ampliar fácilmente para noches infinitas, entradas infinitas, etc. ( ) ${\displaystyle 2^{s}3^{c}5^{n}7^{e}...}$

Para cada pasajero, compare las longitudes de y como están escritas en cualquier sistema de numeración posicional , como el decimal . (Trate a cada residente del hotel como si estuviera en el vagón n.º 0). Si alguno de los números es más corto, agréguele ceros a la izquierda hasta que ambos valores tengan la misma cantidad de dígitos. Intercale los dígitos para producir un número de habitación: sus dígitos serán [primer dígito del número de vagón]-[primer dígito del número de asiento]-[segundo dígito del número de vagón]-[segundo dígito del número de asiento]-etc. El huésped del hotel (vagón n.º 0) en la habitación número 1729 se muda a la habitación 01070209 (es decir, la habitación 1.070.209). El pasajero en el asiento 1234 del vagón 789 va a la habitación 01728394 (es decir, la habitación 1.728.394). ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización c}$

A diferencia de la solución de potencias principales, esta llena el hotel por completo y podemos reconstruir el asiento y el vagón originales de un huésped invirtiendo el proceso de intercalación. Primero, se agrega un cero inicial si la habitación tiene un número impar de dígitos. Luego, se desintercala el número en dos números: el número del vagón consta de los dígitos impares y el número del asiento son los pares. Por supuesto, la codificación original es arbitraria y los roles de los dos números se pueden invertir (asiento impar y vagón par), siempre que se aplique de manera consistente.

Los que ya se encuentren en el hotel serán trasladados a la habitación , o número triangular . Los que se encuentren en un autobús serán trasladados a la habitación , o número triangular plus . De esta manera todas las habitaciones serán ocupadas por un, y sólo un, huésped. ${\displaystyle (n^{2}+n)/2}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle ((c+n-1)^{2}+c+n-1)/2+n}$${\estilo de visualización (c+n-1)}$${\estilo de visualización n}$

Esta función de emparejamiento se puede demostrar visualmente estructurando el hotel como una pirámide de una habitación de profundidad e infinitamente alta . La fila superior de la pirámide es una sola habitación: la habitación 1; su segunda fila son las habitaciones 2 y 3; y así sucesivamente. La columna formada por el conjunto de habitaciones más a la derecha corresponderá a los números triangulares. Una vez que se llenan (por los ocupantes redistribuidos del hotel), las habitaciones vacías restantes forman la forma de una pirámide exactamente idéntica a la forma original. Por lo tanto, el proceso se puede repetir para cada conjunto infinito. Hacer esto uno a la vez para cada vagón requeriría un número infinito de pasos, pero al usar las fórmulas anteriores, un huésped puede determinar cuál "será" su habitación una vez que haya llegado a su vagón en el proceso, y puede simplemente ir allí de inmediato.

Sea . contable ya que es contable, por lo tanto podemos enumerar sus elementos . Ahora bien, si , asignamos al huésped n del vagón n a la habitación n (consideramos a los huéspedes que ya están en el hotel como huéspedes del vagón n). Por lo tanto, tenemos una función que asigna a cada persona a una habitación; además, esta asignación no omite ninguna habitación. ${\displaystyle S:=\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb {N} \}}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \mathbb {N}}$${\displaystyle s_{1},s_{2},\puntos}$${\displaystyle s_{n}=(a,b)}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización 0}$

Supongamos que el hotel está junto al océano y llega una cantidad infinita de transbordadores , cada uno con una cantidad infinita de autobuses y una cantidad infinita de pasajeros. Esta es una situación que involucra tres "niveles" de infinito y se puede resolver mediante extensiones de cualquiera de las soluciones anteriores.

El método de factorización prima se puede aplicar añadiendo un nuevo número primo por cada capa adicional de infinito ( , con el ferry). $Estilo de visualización 2^{s}3^{c}5^{f}}$${\estilo de visualización f}$

La solución de potencias primos se puede aplicar con una mayor exponenciación de números primos, lo que da como resultado números de habitaciones muy grandes incluso con entradas pequeñas. Por ejemplo, el pasajero en el segundo asiento del tercer autobús en el segundo ferry (dirección 2-3-2) elevaría el segundo primo impar (5) a 49, que es el resultado de elevar el tercer primo impar (7) a la potencia de su número de asiento (2). Este número de habitación tendría más de treinta dígitos decimales.

El método de intercalación se puede utilizar con tres "hebras" intercaladas en lugar de dos. El pasajero con la dirección 2-3-2 iría a la habitación 232, mientras que el que tiene la dirección 4935-198-82217 iría a la habitación n.° 008.402.912.391.587 (se pueden eliminar los ceros iniciales).

Previendo la posibilidad de cualquier número de capas de huéspedes infinitos, el hotel puede desear asignar habitaciones de tal manera que ningún huésped necesite mudarse, sin importar cuántos huéspedes lleguen después. Una solución es convertir la dirección de cada llegada en un número binario en el que se utilizan unos como separadores al comienzo de cada capa, mientras que un número dentro de una capa dada (como el número de autobús de un huésped) se representa con esa cantidad de ceros. Por lo tanto, un huésped con la dirección anterior 2-5-1-3-1 (cinco capas infinitas) iría a la habitación 10010000010100010 (decimal 295458).

Como paso adicional en este proceso, se puede quitar un cero de cada sección del número; en este ejemplo, la nueva habitación del huésped es 101000011001 (decimal 2585). Esto garantiza que cada habitación pueda ser ocupada por un huésped hipotético. Si no llegan conjuntos infinitos de huéspedes, entonces solo se ocuparán habitaciones que sean una potencia de dos.

La paradoja de Hilbert es una paradoja verídica : conduce a un resultado contra-intuitivo que es demostrablemente verdadero. Las afirmaciones "hay un huésped en cada habitación" y "no se pueden alojar más huéspedes" no son equivalentes cuando hay infinitas habitaciones.

Inicialmente, este estado de cosas puede parecer contra-intuitivo. Las propiedades de colecciones infinitas de cosas son bastante diferentes de las de colecciones finitas de cosas. La paradoja del Gran Hotel de Hilbert puede entenderse utilizando la teoría de Cantor de los números transfinitos . Así, en un hotel ordinario (finito) con más de una habitación, el número de habitaciones impares es obviamente menor que el número total de habitaciones. Sin embargo, en el Gran Hotel de Hilbert, la cantidad de habitaciones impares no es menor que el "número" total de habitaciones. En términos matemáticos, la cardinalidad del subconjunto que contiene las habitaciones impares es la misma que la cardinalidad del conjunto de todas las habitaciones. De hecho, los conjuntos infinitos se caracterizan como conjuntos que tienen subconjuntos propios de la misma cardinalidad. Para los conjuntos contables (conjuntos con la misma cardinalidad que los números naturales ) esta cardinalidad es . ^[3]$estilo de visualización {\aleph _{0}}$

Parafraseando, para cualquier conjunto infinito numerable, existe una función biyectiva que asigna el conjunto infinito numerable al conjunto de números naturales, incluso si el conjunto infinito numerable contiene los números naturales. Por ejemplo, el conjunto de números racionales (aquellos números que pueden escribirse como cociente de números enteros) contiene los números naturales como subconjunto, pero no es mayor que el conjunto de números naturales ya que los racionales son numerables: hay una biyección de los naturales a los racionales.

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• La paradoja de Galileo  – Paradoja en la teoría de conjuntos
• Paradojas de la teoría de conjuntos
• Principio del casillero  : si hay más artículos que cajas que los contienen, una caja debe contener al menos dos artículos.

• Hilbert, David (2013), Ewald, William; Sieg, Wilfried (eds.), Lecciones de David Hilbert sobre los fundamentos de la aritmética y la lógica 1917-1933 , Heidelberg: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-540-69444-1, ISBN 978-3-540-20578-4