El vigésimo primer problema de Hilbert

El vigésimo primer problema de los 23 problemas de Hilbert , de la célebre lista propuesta en 1900 por David Hilbert , se refiere a la existencia de una cierta clase de ecuaciones diferenciales lineales con puntos singulares y grupo monodrómico especificados .

El problema original se planteó de la siguiente manera (traducción al inglés de 1902):

Prueba de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que poseen un grupo monodrómico prescrito.

En la teoría de ecuaciones diferenciales lineales con una variable independiente z, deseo señalar un problema importante que muy probablemente el propio Riemann pudo haber tenido en mente. Este problema es el siguiente: demostrar que siempre existe una ecuación diferencial lineal de la clase fuchsiana , con puntos singulares y grupo monodrómico dados . El problema requiere la producción de n funciones de la variable z, regulares en todo el plano complejo z excepto en los puntos singulares dados; en estos puntos las funciones pueden volverse infinitas de orden finito, y cuando z describe circuitos alrededor de estos puntos las funciones deben sufrir las sustituciones lineales prescritas . Se ha demostrado que la existencia de tales ecuaciones diferenciales es probable contando las constantes , pero la prueba rigurosa se ha obtenido hasta ahora solo en el caso particular en que las ecuaciones fundamentales de las sustituciones dadas tienen raíces todas de magnitud absoluta unitaria. L. Schlesinger ( 1895 ) ha dado esta prueba, basada en la teoría de Poincaré de las funciones zeta fuchsianas . La teoría de las ecuaciones diferenciales lineales tendría, evidentemente, un aspecto más completo si el problema aquí esbozado pudiera resolverse mediante algún método perfectamente general. 

De hecho, es más apropiado hablar no de ecuaciones diferenciales sino de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales: para realizar cualquier monodromía mediante una ecuación diferencial, hay que admitir, en general, la presencia de singularidades aparentes adicionales, es decir, singularidades con monodromía local trivial. En lenguaje más moderno, las ecuaciones diferenciales en cuestión son aquellas definidas en el plano complejo , menos algunos puntos, y con una singularidad regular en esos puntos. Una versión más estricta del problema requiere que estas singularidades sean fuchsianas , es decir, polos de primer orden (polos logarítmicos), incluyendo el infinito. Se prescribe un grupo de monodromía , mediante una representación compleja de dimensión finita del grupo fundamental del complemento en la esfera de Riemann de esos puntos, más el punto en el infinito , salvo equivalencia. El grupo fundamental es en realidad un grupo libre , en «circuitos» que dan una vuelta completa a cada punto faltante, comenzando y terminando en un punto base dado . La cuestión es si el mapeo de estas ecuaciones fuchsianas a clases de representaciones es sobreyectivo .

Esto condujo a varias correspondencias biyectivas conocidas como « correspondencias de Riemann-Hilbert » , para conexiones algebraicas planas con singularidades regulares y, más generalmente, D-módulos holonómicos regulares o conexiones algebraicas planas con singularidades regulares en fibrados G principales, en todas las dimensiones. La historia de las demostraciones que involucran una sola variable compleja es complicada. Josip Plemelj publicó una solución en 1908. Este trabajo fue aceptado durante mucho tiempo como una solución definitiva; también hubo un trabajo de G. D. Birkhoff en 1913. Plemelj (1964) escribió una monografía que resumía su trabajo. Unos años más tarde, el matemático soviético Yuliy S. Il'yashenko y otros comenzaron a plantear dudas sobre el trabajo de Plemelj. De hecho, Plemelj demuestra correctamente que cualquier grupo de monodromía puede realizarse mediante un sistema lineal regular que es fuchsiano en todos los puntos singulares excepto en uno. La afirmación de Plemelj de que el sistema puede hacerse fuchsiano también en el último punto es errónea, a menos que la monodromía sea diagonalizable allí. ^{[ 1 ]}

De hecho, Andrey A. Bolibrukh ( 1990 ) encontró un contraejemplo a la afirmación de Plemelj. Esto se considera comúnmente como un contraejemplo a la pregunta precisa que Hilbert tenía en mente; Bolibrukh demostró que para una configuración de polos dada, ciertos grupos de monodromía pueden realizarse mediante sistemas regulares, pero no mediante sistemas fuchsianos. (En 1990 publicó el estudio exhaustivo del caso de sistemas regulares de tamaño 3 que exhibe todas las situaciones en las que existen tales contraejemplos. En 1978, Dekkers había demostrado que para sistemas de tamaño 2 la afirmación de Plemelj es verdadera. Andrey A. Bolibrukh ( 1992 ) e independientemente Vladimir Kostov ( 1992 ) demostraron que para cualquier tamaño, un grupo de monodromía irreducible puede realizarse mediante un sistema fuchsiano. La codimensión de la variedad de grupos de monodromía de sistemas regulares de tamaño   ${\displaystyle n}$con${\displaystyle p+1}$polos que no pueden ser realizados por sistemas fuchsianos iguales${\displaystyle 2(n-1)p}$( Vladimir Kostov ( 1992 ) ).) Paralelamente, la escuela de geometría algebraica de Grothendieck se había interesado en cuestiones de «conexiones integrables en variedades algebraicas», generalizando la teoría de ecuaciones diferenciales lineales en superficies de Riemann . Pierre Deligne demostró una correspondencia precisa de Riemann-Hilbert en este contexto general (un punto clave fue definir qué significa «fuchsiano»). Con el trabajo de Helmut Röhrl , se volvió a abordar el caso en una dimensión compleja. 

• deformación isomonodrómica

• Anosov, DV; Bolibruch, AA (1994), El problema de Riemann-Hilbert , Aspectos de las matemáticas, E22, Braunschweig: Friedr. Vieweg y Sohn, doi : 10.1007/978-3-322-92909-9 , ISBN 978-3-528-06496-9, MR 1276272 
• Bolibrukh, AA (1990), "El problema de Riemann-Hilbert", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk (en ruso), 45 (2): 3– 47, Bibcode : 1990RuMaS..45Q...1B , doi : 10.1070/RM1990v045n02ABEH002350 , ISSN 0042-1316 , MR 1069347 , S2CID 250853546   
• Deligne, Pierre (1970). Ecuaciones diferentes a puntos singulares regulares. (Francés) Apuntes de conferencias sobre matemáticas, vol. 163. Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1970. 133 págs. MR0417174
• Plemelj, Josip (1964), Radok, JRM (ed.), Problemas en el sentido de Riemann y Klein , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol.  16, Nueva York-Londres-Sídney: Interscience Publishers John Wiley & Sons Inc., ISBN 9780470691250, MR 0174815 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Bolibrukh, AA (1992), "Condiciones suficientes para la resolubilidad positiva del problema de Riemann-Hilbert", Matematicheskie Zametki (en ruso), 51 (2): 110– 117, doi : 10.1007/BF02102113 , MR 1165460 , S2CID 121743184  
• Gerard, Raymond (1969). El problema de Riemann-Hilbert sur un variété analytique complexe. (Francés) Ana. Inst. Fourier (Grenoble) 19 (1969), fasc. 2, 1--32. señor0281946
• Kostov, Vladimir Petrov (1992), "Sistemas lineales fucsianos en${\displaystyle CP^{1}}$y el problema de Riemann-Hilbert", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 315 (2): 143– 148, MR 1197226 
• Röhrl, Helmut (1957). El problema de Riemann-Hilbertsche der Theorie der linearen Differentialgleichungen. (Alemán) Matemáticas. Ana. 133, 1-25. señor0086958
• Schlesinger, L. (1895), Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen vol. 2, parte 2, núm. 366
• Treibich Kohn, Armando. (1983), "Un résultat de Plemelj.", Matemáticas y Física (París, 1979/1982) : 307– 312, Progr. Math., 37, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1983, MR 0728426 
• Katz, NM (1976), "An Overview of Deligne's work on Hilbert's Twenty-First Problem", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics , vol.  28, pp. 537–557 , doi : 10.1090/pspum/028.2/9904 , ISBN  9780821814284