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Estructura de Hodge

En matemáticas, una estructura de Hodge , que recibe su nombre de WVD Hodge , es una estructura algebraica del nivel del álgebra lineal , similar a la que la teoría de Hodge pro...

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En matemáticas, una estructura de Hodge , que recibe su nombre de WVD Hodge , es una estructura algebraica del nivel del álgebra lineal , similar a la que la teoría de Hodge proporciona a los grupos de cohomología de una variedad de Kähler lisa y compacta . Las estructuras de Hodge se han generalizado para todas las variedades complejas (incluso si son singulares e incompletas ) en forma de estructuras de Hodge mixtas , definidas por Pierre Deligne (1970). Una variación de la estructura de Hodge es una familia de estructuras de Hodge parametrizadas por una variedad, estudiada por primera vez por Phillip Griffiths (1968). Todos estos conceptos fueron generalizados posteriormente a módulos de Hodge mixtos sobre variedades complejas por Morihiko Saito (1989).

Estructuras de Hodge

Definición de estructuras de Hodge

Una estructura de Hodge pura de peso entero n consiste en un grupo abelianoHZ{\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}y una descomposición de su complejizaciónH{\displaystyle H} en una suma directa de subespacios complejosHpag,q{\displaystyle H^{p,q}}, dóndepag+q=norte{\displaystyle p+q=n}, con la propiedad de que el conjugado complejo deHpag,q{\displaystyle H^{p,q}}esHq,pag{\displaystyle H^{q,p}}:

H:=HZ⊗Zdo=⨁pag+q=norteHpag,q,{\displaystyle H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},}
Hpag,q¯=Hq,pag.{\displaystyle {\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.}

Se obtiene una definición equivalente reemplazando la descomposición de suma directa deH{\displaystyle H}mediante la filtración de Hodge , una filtración finita decreciente deH{\displaystyle H}por subespacios complejosFpagH(pag∈Z),{\displaystyle F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),}sujeto a la condición

∀pag,q : pag+q=norte+1,FpagH∩FqH¯=0yFpagH⊕FqH¯=H.{\displaystyle \forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{y}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.}

La relación entre estas dos descripciones se presenta de la siguiente manera:

Hpag,q=FpagH∩FqH¯,{\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},}
FpagH=⨁i≥pagHi,norte−i.{\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.}

Por ejemplo, siincógnita{\displaystyle X}es un colector Kähler compacto ,HZ=Hnorte(incógnita,Z){\displaystyle H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )}es elnorte{\displaystyle n}-ésimo grupo de cohomología de X con coeficientes enteros, entoncesH=Hnorte(incógnita,do){\displaystyle H=H^{n}(X,\mathbb {C} )}es sunorte{\displaystyle n}El grupo de cohomología -ésimo con coeficientes complejos y la teoría de Hodge proporciona la descomposición deH{\displaystyle H}en una suma directa como se indicó anteriormente, de modo que estos datos definen una estructura de Hodge pura de pesonorte{\displaystyle n}Por otro lado, la secuencia espectral de Hodge-de Rham proporcionaHnorte{\displaystyle H^{n}}con la disminución de la filtración porFpagH{\displaystyle F^{p}H}como en la segunda definición. [ 1 ]

Para aplicaciones en geometría algebraica , a saber, la clasificación de variedades proyectivas complejas por sus períodos , el conjunto de todas las estructuras de Hodge de pesonorte{\displaystyle n}enHZ{\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}es demasiado grande. Usando las relaciones bilineales de Riemann , en este caso llamadas relaciones bilineales de Hodge-Riemann , se puede simplificar sustancialmente. Una estructura de Hodge polarizada de peso n consiste en una estructura de Hodge(HZ,Hpag,q){\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})}y una forma bilineal entera no degeneradaQ{\displaystyle Q}enHZ{\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}( polarización ), que se extiende aH{\displaystyle H}por linealidad y satisfaciendo las condiciones:

Q(φ,ψ)=(−1)norteQ(ψ,φ) para φ∈Hpag,q,ψ∈Hpag′,q′;Q(φ,ψ)=0 para φ∈Hpag,q,ψ∈Hpag′,q′,pag≠q′;ipag−qQ(φ,φ¯)>0 para φ∈Hpag,q, φ≠0.{\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi )&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'};\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}}

En términos de la filtración de Hodge, estas condiciones implican que

Q(Fpag,Fnorte−pag+1)=0,Q(doφ,φ¯)>0 para φ≠0,{\displaystyle {\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}}

dóndedo{\displaystyle C}es el operador de Weil enH{\displaystyle H}, dado pordo=ipag−q{\displaystyle C=i^{p-q}}enHpag,q{\displaystyle H^{p,q}}.

Otra definición de una estructura Hodge se basa en la equivalencia entre laZ{\displaystyle \mathbb {Z} }-graduación en un espacio vectorial complejo y la acción del grupo circular U(1) . En esta definición, una acción del grupo multiplicativo de números complejosdo∗{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}visto como un toro algebraico real bidimensional, se da enH{\displaystyle H}. [ 2 ] Esta acción debe tener la propiedad de que un número real a actúa por un n . El subespacioHpag,q{\displaystyle H^{p,q}}es el subespacio en el quez∈do∗{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}actúa como multiplicación porzpagz¯q.{\displaystyle z^{\,p}{\bar {z}}^{\,q}.}

Estructura A -Hodge

En la teoría de los motivos, resulta importante permitir coeficientes más generales para la cohomología. La definición de una estructura de Hodge se modifica fijando un subanillo noetheriano A del campoR{\displaystyle \mathbb {R} }de números reales , para los cualesA⊗ZR{\displaystyle \mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }es un campo. Entonces se define una estructura A de Hodge pura de peso n como antes, reemplazandoZ{\displaystyle \mathbb {Z} }con A. Hay funtores naturales de cambio de base y restricción que relacionan las estructuras de Hodge A y las estructuras B para A un subanillo de B.

Estructuras Hodge mixtas

Jean-Pierre Serre observó en la década de 1960, basándose en las conjeturas de Weil, que incluso las variedades algebraicas singulares (posiblemente reducibles) e incompletas deberían admitir "números de Betti virtuales". Más precisamente, debería ser posible asignar a cualquier variedad algebraica X un polinomio P X ( t ), llamado su polinomio de Poincaré virtual , con las propiedades

  • Si X es no singular y proyectivo (o completo)PAGincógnita(t)=∑rango⁡(Hnorte(incógnita))tnorte{\displaystyle P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank} (H^{n}(X))t^{n}}
  • Si Y es un subconjunto algebraico cerrado de X y U = X  \ Y PAGincógnita(t)=PAGY(t)+PAGU(t){\displaystyle P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)}

La existencia de tales polinomios se derivaría de la existencia de un análogo de la estructura de Hodge en las cohomologías de una variedad algebraica general (singular e incompleta). La característica novedosa es que la n -ésima cohomología de una variedad general parece contener piezas de diferentes pesos. Esto llevó a Alexander Grothendieck a su teoría conjetural de motivos y motivó la búsqueda de una extensión de la teoría de Hodge, que culminó en el trabajo de Pierre Deligne . Introdujo la noción de una estructura de Hodge mixta, desarrolló técnicas para trabajar con ellas, dio su construcción (basada en la resolución de singularidades de Heisuke Hironaka ) y las relacionó con los pesos en la cohomología l-ádica , demostrando la última parte de las conjeturas de Weil .

Ejemplo de curvas

Para motivar la definición, consideremos el caso de una curva algebraica compleja reducible X que consta de dos componentes no singulares, incógnita1{\displaystyle X_{1}}yincógnita2{\displaystyle X_{2}}, que se intersecan transversalmente en los puntosQ1{\displaystyle Q_{1}}yQ2{\displaystyle Q_{2}}Además, supongamos que los componentes no son compactos, pero pueden compactificarse agregando los puntos.PAG1,…,PAGnorte{\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}. El primer grupo de cohomología de la curva X (con soporte compacto) es dual al primer grupo de homología, que es más fácil de visualizar. Hay tres tipos de ciclos de un elemento en este grupo. Primero, hay elementosαi{\displaystyle \alpha _{i}}representando pequeños bucles alrededor de las perforacionesPAGi{\displaystyle P_{i}}. Luego hay elementosβj{\displaystyle \beta _{j}}que provienen de la primera homología de la compactificación de cada uno de los componentes. El ciclo único enincógnitak⊂incógnita{\displaystyle X_{k}\subset X}(k=1,2{\displaystyle k=1,2}) correspondiente a un ciclo en la compactificación de este componente, no es canónico: estos elementos se determinan módulo el intervalo deα1,…,αnorte{\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}. Finalmente, módulo los dos primeros tipos, el grupo se genera mediante un ciclo combinatorio.γ{\displaystyle \gamma }que va desdeQ1{\displaystyle Q_{1}}aQ2{\displaystyle Q_{2}}a lo largo de un camino en un componenteincógnita1{\displaystyle X_{1}}y regresa por un camino en el otro componente.incógnita2{\displaystyle X_{2}}Esto sugiere queH1(incógnita){\displaystyle H_{1}(X)}admite una filtración creciente

0⊂W0⊂W1⊂W2=H1(incógnita),{\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),}

cuyos cocientes sucesivos W n / W n −1 se originan a partir de la cohomología de variedades completas lisas, admiten, por lo tanto, estructuras de Hodge (puras), aunque de pesos diferentes. Se pueden encontrar más ejemplos en "Una guía ingenua de la teoría de Hodge mixta". [ 3 ]

Definición de estructura de Hodge mixta

Una estructura de Hodge mixta en un grupo abelianoHZ{\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}consiste en una filtración decreciente finita F p en el espacio vectorial complejo H (la complejización deHZ{\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}), llamada filtración de Hodge y una filtración creciente finita W i en el espacio vectorial racionalHQ=HZ⊗ZQ{\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }(obtenido al extender los escalares a números racionales), llamado filtración de peso , sujeto al requisito de que el n -ésimo cociente graduado asociado deHQ{\displaystyle H_{\mathbb {Q} }}Con respecto a la filtración de peso, junto con la filtración inducida por F en su complejización, es una estructura de Hodge pura de peso n , para todo entero n . Aquí la filtración inducida en

gramonorteW⁡H=Wnorte⊗do/Wnorte−1⊗do{\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C} }

se define por

FpaggramonorteW⁡H=(Fpag∩Wnorte⊗do+Wnorte−1⊗do)/Wnorte−1⊗do.{\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .}

Se puede definir una noción de morfismo de estructuras de Hodge mixtas, que debe ser compatible con las filtraciones F y W , y demostrar lo siguiente:

Teorema. Las estructuras de Hodge mixtas forman una categoría abeliana . Los núcleos y conúcleos de esta categoría coinciden con los núcleos y conúcleos usuales de la categoría de espacios vectoriales, con las filtraciones inducidas.

La cohomología total de una variedad de Kähler compacta tiene una estructura de Hodge mixta, donde el n -ésimo espacio de la filtración de peso W n es la suma directa de los grupos de cohomología (con coeficientes racionales) de grado menor o igual a n . Por lo tanto, se puede pensar en la teoría de Hodge clásica en el caso compacto y complejo como una doble graduación en el grupo de cohomología complejo, que define una filtración creciente F p y una filtración decreciente W n que son compatibles de cierta manera. En general, el espacio de cohomología total todavía tiene estas dos filtraciones, pero ya no provienen de una descomposición en suma directa. En relación con la tercera definición de la estructura de Hodge pura, se puede decir que una estructura de Hodge mixta no puede describirse utilizando la acción del grupo.do∗.{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}.}Una idea importante de Deligne es que, en el caso mixto, existe un grupo proalgebraico no conmutativo más complicado que puede utilizarse con el mismo efecto mediante el formalismo de Tannakian .

Además, la categoría de estructuras de Hodge (mixtas) admite una buena noción de producto tensorial, correspondiente al producto de variedades, así como conceptos relacionados de Hom interno y objeto dual , convirtiéndola en una categoría tannakiana . Según la filosofía de Tannaka-Krein , esta categoría es equivalente a la categoría de representaciones de dimensión finita de un cierto grupo, que Deligne, Milne y otros han descrito explícitamente, véase Deligne y Milne (1982) [ 4 ] y Deligne (1994) . La descripción de este grupo fue reformulada en términos más geométricos por Kapranov (2012) . El análisis correspondiente (mucho más complejo) para estructuras de Hodge polarizables puras racionales fue realizado por Patrikis (2016) .

Estructura de Hodge mixta en cohomología (teorema de Deligne)

Deligne ha demostrado que el n -ésimo grupo de cohomología de una variedad algebraica arbitraria posee una estructura de Hodge mixta canónica. Esta estructura es funtorial y compatible con los productos de variedades ( isomorfismo de Künneth ) y el producto en cohomología. Para una variedad completa no singular X, esta estructura es pura de peso n , y la filtración de Hodge puede definirse mediante la hipercohomología del complejo de De Rham truncado.

La demostración consta, a grandes rasgos, de dos partes que abordan la no compacidad y las singularidades. Ambas partes utilizan de manera fundamental la resolución de singularidades (debida a Hironaka). En el caso singular, las variedades se reemplazan por esquemas simpliciales, lo que da lugar a un álgebra homológica más compleja, y se emplea una noción técnica de estructura de Hodge en complejos (en contraposición a la cohomología).

Utilizando la teoría de motivos , es posible refinar la filtración de peso en la cohomología con coeficientes racionales a una con coeficientes enteros. [ 5 ]

Ejemplos

  • La estructura de Tate-HodgeZ(1){\displaystyle \mathbb {Z} (1)}es la estructura de Hodge con subyacenteZ{\displaystyle \mathbb {Z} }módulo dado por2πiZ{\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }(un subgrupo dedo{\displaystyle \mathbb {C} }), conZ(1)⊗do=H−1,−1.{\displaystyle \mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.}Por lo tanto, es puro de peso −2 por definición y es la única estructura de Hodge pura unidimensional de peso −2 salvo isomorfismos. De forma más general, su n- ésima potencia tensorial se denota porZ(norte);{\displaystyle \mathbb {Z} (n);}es unidimensional y puro de peso −2 n .
  • La cohomología de una variedad de Kähler compacta tiene una estructura de Hodge, y el n -ésimo grupo de cohomología es puro de peso n .
  • La cohomología de una variedad compleja (posiblemente singular o no propia) tiene una estructura de Hodge mixta. Esto fue demostrado para variedades lisas por Deligne (1971) , Deligne (1971a) y en general por Deligne (1974) .
  • Para una variedad proyectivaincógnita{\displaystyle X}Con singularidades de cruce normal, existe una secuencia espectral con una página E2 degenerada que calcula todas sus estructuras de Hodge mixtas. La página E1 tiene términos explícitos con un diferencial proveniente de un conjunto simplicial . [ 6 ]
  • Cualquier variedad lisa X admite una compactificación lisa cuyo complemento es un divisor de cruce normal. Las formas logarítmicas correspondientes pueden utilizarse para describir explícitamente la estructura de Hodge mixta en la cohomología de X. [ 7 ]
  • La estructura de Hodge para una hipersuperficie proyectiva suaveincógnita⊂PAGnorte+1{\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}de gradod{\displaystyle d}Griffiths lo desarrolló explícitamente en su artículo "Integrales de período de variedades algebraicas".F∈do[incógnita0,…,incógnitanorte+1]{\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}es el polinomio que define la hipersuperficieincógnita{\displaystyle X}luego el anillo de cociente jacobiano graduadoR(F)=do[incógnita0,…,incógnitanorte+1](∂F∂incógnita0,…,∂F∂incógnitanorte+1){\displaystyle R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}}contiene toda la información de la cohomología media deincógnita{\displaystyle X}Él demuestra queHpag,norte−pag(incógnita)remilgado≅R(F)(norte+1−pag)d−norte−2{\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}}Por ejemplo, consideremos la superficie K3 dada porgramo=incógnita04+⋯+incógnita34{\displaystyle g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}}, por esod=4{\displaystyle d=4}ynorte=2{\displaystyle n=2}. Luego, el anillo jacobiano graduado esdo[incógnita0,incógnita1,incógnita2,incógnita3](incógnita03,incógnita13,incógnita23,incógnita33){\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}}El isomorfismo para los grupos de cohomología primitivos se lee entoncesHpag,norte−pag(incógnita)pagrimetro≅R(gramo)(2+1−pag)4−2−2=R(gramo)4(3−pag)−4{\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)4-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}}por esoH0,2(incógnita)remilgado≅R(gramo)8=do⋅incógnita02incógnita12incógnita22incógnita32H1,1(incógnita)remilgado≅R(gramo)4H2,0(incógnita)remilgado≅R(gramo)0=do⋅1{\displaystyle {\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}}Observa queR(gramo)4{\displaystyle R(g)_{4}}es el espacio vectorial generado porincógnita02incógnita12,incógnita02incógnita1incógnita2,incógnita02incógnita1incógnita3,incógnita02incógnita22,incógnita02incógnita2incógnita3,incógnita02incógnita32,incógnita0incógnita12incógnita2,incógnita0incógnita12incógnita3,incógnita0incógnita1incógnita22,incógnita0incógnita1incógnita2incógnita3,incógnita0incógnita1incógnita32,incógnita0incógnita22incógnita3,incógnita0incógnita2incógnita32,incógnita12incógnita22,incógnita12incógnita2incógnita3,incógnita12incógnita32,incógnita1incógnita22incógnita3,incógnita1incógnita2incógnita32,incógnita22incógnita32{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}}que es de 19 dimensiones. Hay un vector adicional enH1,1(incógnita){\displaystyle H^{1,1}(X)}dado por la clase Lefschetz[L]{\displaystyle [L]}. A partir del teorema del hiperplano de Lefschetz y la dualidad de Hodge, el resto de la cohomología está enHk,k(incógnita){\displaystyle H^{k,k}(X)}tal como está1{\displaystyle 1}-dimensional. Por lo tanto, el diamante de Hodge se lee
  • También podemos utilizar el isomorfismo anterior para verificar el género de un grado.d{\displaystyle d}curva plana. Desdeincógnitad+yd+zd{\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}}es una curva suave y el teorema de fibración de Ehresmann garantiza que cualquier otra curva suave de génerogramo{\displaystyle g}es difeomorfo, tenemos que el género es el mismo. Entonces, usando el isomorfismo de la cohomología primitiva con la parte graduada del anillo jacobiano, vemos queH1,0≅R(F)d−3≅do[incógnita,y,z]d−3{\displaystyle H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}}Esto implica que la dimensión es(2+d−32)=(d−12)=(d−1)(d−2)2{\displaystyle {2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}como se desee.
  • Los números de Hodge para una intersección completa también son fácilmente computables: existe una fórmula combinatoria hallada por Friedrich Hirzebruch . [ 8 ]

Aplicaciones

La maquinaria basada en las nociones de estructura de Hodge y estructura de Hodge mixta forma parte de la teoría de motivos , aún en gran medida conjetural , concebida por Alexander Grothendieck . La información aritmética para la variedad algebraica no singular X , codificada por el valor propio de los elementos de Frobenius que actúan sobre su cohomología l-ádica , tiene algo en común con la estructura de Hodge que surge de X considerada como una variedad algebraica compleja. Sergei Gelfand y Yuri Manin señalaron alrededor de 1988 en sus Métodos de álgebra homológica que, a diferencia de las simetrías de Galois que actúan sobre otros grupos de cohomología, el origen de las "simetrías de Hodge" es muy misterioso, aunque formalmente se expresan a través de la acción del grupo bastante sencillo.Rdo/Rdo∗{\displaystyle R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}}sobre la cohomología de De Rham. Desde entonces, el misterio se ha profundizado con el descubrimiento y la formulación matemática de la simetría especular.

Variación de la estructura de Hodge

Una variación de la estructura de Hodge ( Griffiths (1968) , Griffiths (1968a) , Griffiths (1970) ) es una familia de estructuras de Hodge parametrizadas por una variedad compleja X. Más precisamente, una variación de la estructura de Hodge de peso n en una variedad compleja X consiste en un haz localmente constante S de grupos abelianos finitamente generados en X , junto con una filtración de Hodge decreciente F en S ⊗ O X , sujeta a las dos condiciones siguientes:

  • La filtración induce una estructura de Hodge de peso n en cada tallo del haz S.
  • ( Transversalidad de Griffiths ) La conexión natural en los mapas S ⊗ O XFnorte{\displaystyle F^{n}}enFnorte−1⊗Ωincógnita1.{\displaystyle F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.}

Aquí la conexión natural (plana) en S ⊗ O X inducida por la conexión plana en S y la conexión plana d en O X , y O X es el haz de funciones holomorfas en X , yΩincógnita1{\displaystyle \Omega _{X}^{1}}es el haz de 1-formas en X. Esta conexión plana natural es una conexión de Gauss-Manin ∇ y puede describirse mediante la ecuación de Picard-Fuchs .

Una variación de la estructura de Hodge mixta puede definirse de manera similar, agregando una gradación o filtración W a S. Ejemplos típicos pueden encontrarse en los morfismos algebraicos.F:donorte→do{\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }. Por ejemplo,

{F:do2→doF(incógnita,y)=y6−incógnita6{\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}}

tiene fibras

incógnitat=F−1({t})={(incógnita,y)∈do2:y6−incógnita6=t}{\displaystyle X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}}

que son curvas planas suaves de género 10 parat≠0{\displaystyle t\neq 0}y degenerar en una curva singular ent=0.{\displaystyle t=0.}Luego, los haces de cohomología

RF∗i(Q_do2){\displaystyle \mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)}

Proporcione variaciones de estructuras Hodge mixtas.

Módulos Hodge

Los módulos de Hodge son una generalización de las variaciones de las estructuras de Hodge en una variedad compleja. De manera informal, pueden considerarse como haces de estructuras de Hodge en una variedad; la definición precisa de Saito (1989) es bastante técnica y compleja. Existen generalizaciones a módulos de Hodge mixtos y a variedades con singularidades.

Para cada variedad compleja lisa, existe una categoría abeliana de módulos de Hodge mixtos asociada. Estas se comportan formalmente como las categorías de haces sobre las variedades; por ejemplo, los morfismos f entre variedades inducen functores f ∗ , f* , f ! , f ! entre ( categorías derivadas de) módulos de Hodge mixtos similares a los de los haces.

Véase también

Notas

  1. ↑ En términos de secuencias espectrales, véase álgebra homológica , las filtraciones de Hodge se pueden describir de la siguiente manera:
    mi1pag,q=Hpag+q(gramonorteW⁡H)⇒Hpag+q,{\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\operatorname {gr} _{n}^{W}H)\Rightarrow H^{p+q},}
    usando notaciones en #Definición de estructura de Hodge mixta . El hecho importante es que esto es degenerado en el término E 1 , lo que significa que la secuencia espectral de Hodge-de Rham, y luego la descomposición de Hodge, depende solo de la estructura compleja no de la métrica de Kähler en M.
  2. ↑ Más precisamente, sea S el grupo algebraico real conmutativo bidimensionaldefinido como la restricción de Weil del grupo multiplicativo dedo{\displaystyle \mathbb {C} }aR;{\displaystyle \mathbb {R} ;} en otras palabras, si A es un álgebra sobreR,{\displaystyle \mathbb {R} ,}entonces el grupo S ( A ) de puntos con valores en A de S es el grupo multiplicativo deA⊗do.{\displaystyle A\otimes \mathbb {C} .}EntoncesS(R){\displaystyle S(\mathbb {R} )}es el grupodo∗{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}de números complejos distintos de cero.
  3. ↑ Durfee, Alan (1981). "Una guía ingenua a la teoría mixta de Hodge". Análisis complejo de singularidades . 415 : 48–63 . hdl : 2433/102472 .
  4. ↑ El segundo artículo titulado Categorías tannakianas de Deligne y Milne se centró en este tema.
  5. ^ Gillet, Enrique ; Soulé, Christophe (1996). "Descendencia, motivos y teoría K ". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1996 (478): 127– 176. arXiv : alg-geom/9507013 . Código Bib : 1995alg.geom..7013G . doi : 10.1515/crll.1996.478.127 . SEÑOR 1409056 . S2CID 16441433 .  , sección 3.1
  6. ↑ Jones, BF, "Estructura de Hodge mixta de Deligne para variedades proyectivas con singularidades de cruce normales únicamente" (PDF) , Seminario de trabajo sobre la teoría de Hodge - Primavera de 2005
  7. ↑ Nicolaescu, Liviu, "Estructuras de Hodge mixtas en variedades algebraicas suaves" (PDF) , Seminario de trabajo sobre teoría de Hodge - Primavera de 2005
  8. ↑ "Diamante de Hodge de intersecciones completas" . Stack Exchange . 14 de diciembre de 2013.

Referencias introductorias

  • Debarre, Olivier, Periodos y módulos (PDF).
  • Arapura, Donu, Variedades algebraicas complejas y su cohomología (PDF) , págs. 120–123 , archivado del original (PDF) el 4 de enero de 2020. (Proporciona herramientas para calcular números de Hodge utilizando la cohomología de haces).
  • Una guía ingenua para la teoría mixta de Hodge.
  • Dimca, Alexandru (1992). Singularidades y topología de hipersuperficies . Universitext. Nueva York: Springer-Verlag . pp.  240, 261. doi : 10.1007/978-1-4612-4404-2 . ISBN 0-387-97709-0. MR 1194180 . S2CID 117095021 .  (Proporciona una fórmula y generadores para los números de Hodge mixtos de la fibra de Milnor afín de un polinomio homogéneo ponderado, y también una fórmula para los complementos de polinomios homogéneos ponderados en un espacio proyectivo ponderado).

Artículos de encuesta

  • Arapura, Donu (2006), Estructuras de Hodge mixtas asociadas a variaciones geométricas (PDF) , arXiv : math/0611837 , Bibcode : 2006math.....11837A

Referencias

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  • Deligne, Pierre (1974), "Théorie de Hodge. III". , Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 44 , Inst. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas. No. 44: 5– 77, doi : 10.1007/BF02685881 , SEÑOR 0498552 Esto construye una estructura de Hodge mixta sobre la cohomología de una variedad compleja.
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