órbita de transferencia de Hohmann

En astronáutica , la órbita de transferencia de Hohmann ( / ˈ h oʊ m ə n / ) es una maniobra orbital que se utiliza para transferir una nave espacial entre dos órbitas de distinta altitud alrededor de un cuerpo central. Por ejemplo, una transferencia de Hohmann podría utilizarse para elevar la órbita de un satélite desde la órbita terrestre baja hasta la órbita geoestacionaria . En el caso ideal, las órbitas inicial y de destino son circulares y coplanares . La maniobra se realiza colocando la nave en una órbita de transferencia elíptica tangente tanto a la órbita inicial como a la de destino. La maniobra utiliza dos encendidos impulsivos de los motores: el primero establece la órbita de transferencia y el segundo la ajusta para que coincida con la de destino.

La maniobra de Hohmann suele utilizar el menor impulso posible (que consume una cantidad proporcional de delta-v y, por lo tanto, de propulsor ) para realizar la transferencia, pero requiere un tiempo de viaje relativamente mayor que las transferencias con mayor impulso. En algunos casos, cuando una órbita es mucho mayor que la otra, una transferencia bielíptica puede utilizar incluso menos impulso, a costa de un tiempo de viaje aún mayor.

La maniobra recibió su nombre de Walter Hohmann , el científico alemán que publicó una descripción de la misma en su libro de 1925 Die Erreichbarkeit der Himmelskörper ( La alcanzabilidad de los cuerpos celestes ). ^{[ 1 ]} Hohmann fue influenciado en parte por el autor alemán de ciencia ficción Kurd Lasswitz y su libro de 1897 Dos planetas .

Cuando se utiliza para viajar entre cuerpos celestes, una órbita de transferencia de Hohmann requiere que los puntos de inicio y destino se encuentren en ubicaciones específicas de sus órbitas con respecto al otro. Las misiones espaciales que utilizan una transferencia de Hohmann deben esperar a que se produzca esta alineación requerida, lo que abre una ventana de lanzamiento . Para una misión entre la Tierra y Marte , por ejemplo, estas ventanas de lanzamiento se producen cada 26 meses. Una órbita de transferencia de Hohmann también determina un tiempo fijo necesario para viajar entre los puntos de inicio y destino; para un viaje Tierra-Marte, este tiempo de viaje es de aproximadamente 9 meses. Cuando la transferencia se realiza entre órbitas cercanas a cuerpos celestes con una gravedad significativa, generalmente se requiere un delta-v mucho menor , ya que se puede emplear el efecto Oberth para las maniobras de propulsión.

También se utilizan con frecuencia para estas situaciones, pero las transferencias de baja energía que tienen en cuenta las limitaciones de empuje de los motores reales y aprovechan los pozos gravitatorios de ambos planetas pueden ser más eficientes en cuanto al consumo de combustible. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

El diagrama muestra una órbita de transferencia de Hohmann para llevar una nave espacial desde una órbita circular inferior a una superior. Se trata de una órbita elíptica tangente tanto a la órbita circular inferior que la nave debe abandonar (cian, etiquetada con el número 1 en el diagrama) como a la órbita circular superior a la que debe llegar (rojo, etiquetado con el número 3 en el diagrama). La órbita de transferencia (amarillo, etiquetado con el número 2 en el diagrama) se inicia encendiendo el motor de la nave para añadir energía y elevar el apoapsis . Cuando la nave alcanza el apoapsis, un segundo encendido del motor añade energía para elevar el periapsis, colocando así la nave en la órbita circular superior.

Debido a la reversibilidad de las órbitas , se puede utilizar una órbita de transferencia de Hohmann similar para llevar una nave espacial de una órbita superior a una inferior; en este caso, el motor de la nave se enciende en la dirección opuesta a su trayectoria actual, lo que ralentiza la nave y reduce el periapsis de la órbita de transferencia elíptica a la altitud de la órbita objetivo inferior. Luego, el motor se enciende de nuevo a menor distancia para ralentizar la nave espacial hasta la órbita circular inferior. La órbita de transferencia de Hohmann se basa en dos cambios de velocidad instantáneos . Se requiere combustible adicional para compensar el hecho de que las ráfagas toman tiempo; esto se minimiza utilizando motores de alto empuje para minimizar la duración de las ráfagas. Para transferencias en órbita terrestre, las dos ráfagas se denominan ráfaga de perigeo y ráfaga de apogeo (o impulso de apogeo ^{[ 5 ]} ); más generalmente, para cuerpos que no son la Tierra, se denominan ráfagas de periapsis y apoapsis . Alternativamente, la segunda maniobra para circularizar la órbita puede denominarse maniobra de circularización .

Para un cuerpo pequeño que orbita otro cuerpo mucho más grande, como un satélite que orbita la Tierra, la energía total del cuerpo más pequeño es la suma de su energía cinética y energía potencial , y esta energía total también es igual a la mitad de la energía potencial a la distancia promedio.${\displaystyle a}$(el semieje mayor ): $${\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {-GMm}{2a}}.}$$Al resolver esta ecuación para la velocidad se obtiene la ecuación vis viva , $${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$$ dónde:

• ${\displaystyle v}$es la velocidad de un cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle \mu =GM}$es el parámetro gravitacional estándar del cuerpo primario, suponiendo${\displaystyle M+m}$no es significativamente más grande que${\displaystyle M}$(lo que hace${\displaystyle v_{M}\ll v}$), (para la Tierra, esto es μ ~3,986E14 m ³ s ⁻² )
• ${\displaystyle r}$es la distancia del cuerpo en órbita al foco primario,
• ${\displaystyle a}$es el semieje mayor de la órbita del cuerpo.

Por lo tanto, el delta- v (Δv) requerido para la transferencia de Hohmann se puede calcular de la siguiente manera, bajo el supuesto de impulsos instantáneos: $${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right),}$$ para entrar en la órbita elíptica en${\displaystyle r=r_{1}}$desde${\displaystyle r_{1}}$órbita circular, donde${\displaystyle r_{2}}$es el apoapsis de la órbita elíptica resultante, y $${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\right),}$$ abandonar la órbita elíptica en${\displaystyle r=r_{2}}$hacia${\displaystyle r_{2}}$órbita circular, donde${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle r_{2}}$son respectivamente los radios de las órbitas circulares de salida y llegada; el menor de${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle r_{2}}$corresponde a la distancia del periapsis y el mayor de los dos radios corresponde a la distancia del apoapsis de la órbita de transferencia elíptica de Hohmann. Típicamente,${\displaystyle \mu }$se da en unidades de m ³ /s ² ; como tal, uno debe asegurarse de usar metros, no kilómetros, para${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle r_{2}}$. El total${\displaystyle \Delta v}$es entonces:$${\displaystyle \Delta v_{\text{total}}=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}.}$$Ya sea que se mueva a una órbita más alta o más baja, según la tercera ley de Kepler , el tiempo que se tarda en transferirse entre las órbitas es$${\displaystyle t_{\text{H}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{\text{H}}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}}$$ (la mitad del período orbital para toda la elipse), donde${\displaystyle a_{\text{H}}}$es la longitud del semieje mayor de la órbita de transferencia de Hohmann.

En la aplicación al viaje de un cuerpo celeste a otro, es crucial comenzar la maniobra en el momento en que los dos cuerpos estén correctamente alineados. Considerando que la velocidad angular objetivo es $${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}^{3}}}},}$$ La alineación angular α (en radianes ) en el momento del inicio entre el objeto de origen y el objeto de destino deberá ser $${\displaystyle \alpha =\pi -\omega _{2}t_{\text{H}}=\pi \left(1-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}+1\right)^{3}}}\right).}$$

Consideremos una órbita de transferencia geoestacionaria , que comienza en r ₁ = 6.678  km (altitud 300  km) y termina en una órbita geoestacionaria con r ₂ = 42.164  km (altitud 35.786  km).

En la órbita circular más pequeña, la velocidad es de 7,73  km/s; en la más grande, de 3,07  km/s. En la órbita elíptica intermedia, la velocidad varía desde 10,15  km/s en el perigeo hasta 1,61  km/s en el apogeo.

Por lo tanto, el Δv para el primer encendido es 10,15  −  7,73 = 2,42  km/s, para el segundo encendido 3,07  −  1,61 = 1,46  km/s, y para ambos juntos 3,88  km/s.

Esto es mayor que el Δv requerido para una órbita de escape : 10,93  −  7,73 = 3,20  km/s. Aplicar un Δv en la órbita terrestre baja (LEO) de solo 0,78  km/s más (3,20−2,42) daría al cohete la velocidad de escape , que es menor que el Δv de 1,46  km/s requerido para circularizar la órbita geosíncrona. Esto ilustra el efecto Oberth, que a grandes velocidades el mismo Δv proporciona más energía orbital específica , y el aumento de energía se maximiza si se gasta el Δv lo más rápido posible, en lugar de gastar parte, ser decelerado por la gravedad y luego gastar algo más para superar la desaceleración (por supuesto, el objetivo de una órbita de transferencia de Hohmann es diferente).

Como demuestra el ejemplo anterior, el Δv requerido para realizar una transferencia de Hohmann entre dos órbitas circulares no es el mayor cuando el radio de destino es infinito. (La velocidad de escape es √2 veces la velocidad orbital, por lo que el Δv requerido para escapar es √2 − 1 (41,4%) de la velocidad orbital). El Δv requerido es mayor (53,0% de la velocidad orbital menor) cuando el radio de la órbita mayor es 15,5817... veces el de la órbita menor. ^{[ 10 ]} Este número es la raíz positiva de x³ − 15 ^x² − 9 ^x − 1 = 0 , que es  ${\textstyle 5+4\,{\sqrt {7}}\cos \left({1 \over 3}\arctan {{\sqrt {3}} \over 37}\right)}$Para relaciones de órbita más altas, el Δv requerido para el segundo encendido disminuye más rápido de lo que aumenta el primero.

Cuando se utiliza para trasladar una nave espacial de la órbita de un planeta a la de otro, el efecto Oberth permite usar menos delta- v que la suma de los delta -v para maniobras separadas para escapar del primer planeta, seguidas de una transferencia de Hohmann al segundo planeta, seguida de la inserción en una órbita alrededor del otro planeta.

Por ejemplo, consideremos una nave espacial que viaja de la Tierra a Marte . Al comienzo de su viaje, la nave ya tendrá una cierta velocidad y energía cinética asociada a su órbita alrededor de la Tierra. Durante la combustión, el motor del cohete aplica su delta- v , pero la energía cinética aumenta según una ley cuadrática, hasta que es suficiente para escapar del potencial gravitatorio del planeta , y luego se quema más para ganar la energía suficiente para entrar en la órbita de transferencia de Hohmann (alrededor del Sol ). Debido a que el motor del cohete puede utilizar la energía cinética inicial del propulsor, se requiere mucho menos delta- v por encima del necesario para alcanzar la velocidad de escape, y la situación óptima es cuando la combustión de transferencia se realiza a la altitud mínima ( periapsis baja ) sobre el planeta. El delta- v necesario es de solo 3,6  km/s, solo unos 0,4  km/s más de lo necesario para escapar de la Tierra, aunque esto hace que la nave vaya 2,9  km/s más rápido que la Tierra mientras se dirige a Marte (véase la tabla a continuación).

En el otro extremo, la nave espacial debe desacelerar para que la gravedad de Marte la capture. Idealmente, esta maniobra de captura debe realizarse a baja altitud para aprovechar al máximo el efecto Oberth. Por lo tanto, se requieren cantidades relativamente pequeñas de empuje en ambos extremos del viaje para lograr la transferencia, en comparación con la situación en el espacio libre.

Sin embargo, en cualquier transferencia de Hohmann, la alineación de los dos planetas en sus órbitas es crucial: el planeta de destino y la nave espacial deben llegar al mismo punto de sus respectivas órbitas alrededor del Sol al mismo tiempo. Este requisito de alineación da origen al concepto de ventanas de lanzamiento .

El término órbita de transferencia lunar (LTO, por sus siglas en inglés) se utiliza para referirse a la Luna .

Es posible aplicar la fórmula anterior para calcular el Δv en km/s necesario para entrar en una órbita de transferencia de Hohmann y llegar a diversos destinos desde la Tierra (suponiendo órbitas circulares para los planetas). En esta tabla, la columna "Δv para entrar en órbita de Hohmann desde la órbita terrestre" muestra el cambio de la velocidad terrestre a la velocidad necesaria para entrar en una elipse de Hohmann cuyo otro extremo estará a la distancia deseada del Sol. La columna "Altura LEO" muestra la velocidad necesaria (en un sistema de referencia no giratorio centrado en la Tierra) cuando se está a 300  km sobre la superficie terrestre. Esto se obtiene sumando a la energía cinética específica el cuadrado de la velocidad de escape (10,93  km/s) desde esta altura. La columna "LEO" es simplemente la velocidad anterior menos la velocidad orbital LEO de 7,73  km/s.

Tenga en cuenta que, en la mayoría de los casos, Δv desde la órbita terrestre baja es menor que el Δv necesario para entrar en la órbita de Hohmann desde la órbita terrestre.

Para llegar al Sol, no es necesario usar un Δv de 24  km/s. Se puede usar 8,8  km/s para alejarse mucho del Sol, luego usar un Δv insignificante para reducir el momento angular a cero y, finalmente, caer hacia el Sol. Esto también se conoce como transferencia bielíptica , que es una secuencia de dos transferencias de Hohmann. Además, la tabla no proporciona los valores que se aplicarían al usar la Luna como asistencia gravitatoria . También existen posibilidades de usar un planeta, como Venus, que es el más fácil de alcanzar, para ayudar a llegar a otros planetas o al Sol.

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