esfera de homología

En topología algebraica , una esfera de homología es una n - variedad X que tiene los grupos de homología de una n - esfera , para algún entero${\displaystyle n\geq 1}$. Eso es,

${\displaystyle H_{0}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$

y

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )=\{0\}}$para todos los demás i .

Por lo tanto, X es un espacio conexo , con un número de Betti superior distinto de cero , a saber,${\displaystyle b_{n}=1}$. De ello no se deduce que X sea simplemente conexo , sino solo que su grupo fundamental es perfecto (véase el teorema de Hurewicz ).

Una esfera de homología racional se define de forma similar, pero utilizando homología con coeficientes racionales.

La esfera de homología de Poincaré (también conocida como espacio dodecaédrico de Poincaré) es un ejemplo particular de esfera de homología, construida por primera vez por Henri Poincaré . Al ser una 3-variedad esférica , es la única 3-esfera de homología (además de la propia 3-esfera ) con un grupo fundamental finito . Su grupo fundamental se conoce como grupo icosaédrico binario y tiene orden 120. Dado que el grupo fundamental de la 3-esfera es trivial, esto demuestra que existen 3-variedades con los mismos grupos de homología que la 3-esfera que no son homeomorfas a ella.

• La cirugía en un nudo en la 3-esfera S ³ con marco +1 o − 1 da como resultado una esfera homóloga.
• En términos más generales, la cirugía en un enlace produce una esfera de homología siempre que la matriz dada por los números de intersección (fuera de la diagonal) y los marcos (en la diagonal) tenga determinante +1 o − 1.
• Si p , q y r son enteros positivos primos entre sí, entonces el enlace de la singularidad x ^p + y ^q + z ^r = 0 (es decir, la intersección de una pequeña 3-esfera alrededor de 0 con esta superficie compleja) es una variedad de Brieskorn que es una 3-esfera de homología, llamada 3-esfera de Brieskorn Σ( p , q , r ). Es homeomorfa a la 3-esfera estándar si uno de p , q y r es 1, y Σ(2, 3, 5) es la esfera de Poincaré.
• La suma conexa de dos 3-esferas de homología orientadas es una 3-esfera de homología. Una 3-esfera de homología que no puede escribirse como suma conexa de dos 3-esferas de homología se denomina irreducible o prima , y ​​toda 3-esfera de homología puede escribirse como suma conexa de 3-esferas de homología primas de una manera esencialmente única. (Véase Descomposición prima (3-variedad) ).
• Supongamos que${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$son enteros todos al menos 2 tales que cualesquiera dos son coprimos. Entonces el espacio de fibra de Seifert

${\displaystyle \{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

sobre la esfera con fibras excepcionales de grados a ₁ , ..., a _r es una esfera de homología, donde los b' se eligen de modo que

${\displaystyle b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).}$

(Siempre hay una forma de elegir los b ′ s, y la esfera de homología no depende (salvo isomorfismo) de la elección de b ′ s.) Si r es como máximo 2, se trata simplemente de la 3-esfera usual; de lo contrario, son esferas de homología no triviales distintas. Si los a ′ s son 2, 3 y 5, se obtiene la esfera de Poincaré. Si hay al menos 3 a ′ s, y no 2, 3 y 5, entonces se trata de una 3-esfera de homología acíclica con grupo fundamental infinito que tiene una geometría de Thurston modelada en el recubrimiento universal de SL ₂ ( R ) .

• El invariante de Rokhlin es un${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$Invariante valorado de 3-esferas de homología.
• El invariante de Casson es un invariante de valor entero de las 3-esferas de homología, cuya reducción módulo 2 es el invariante de Rokhlin.

Si A es una 3-esfera de homología no homeomorfa a la 3-esfera estándar, entonces la suspensión de A es un ejemplo de una variedad de homología de 4 dimensiones que no es una variedad topológica . La doble suspensión de A es homeomorfa a la 5-esfera estándar, pero su triangulación (inducida por alguna triangulación de A ) no es una variedad PL . En otras palabras, esto da un ejemplo de un complejo simplicial finito que es una variedad topológica pero no una variedad PL. (No es una variedad PL porque el enlace de un punto no siempre es una 4-esfera).

Galewski y Stern demostraron que todas las variedades topológicas compactas (sin frontera) de dimensión al menos 5 son homeomorfas a complejos simpliciales si y solo si existe una esfera de homología 3 Σ con invariante de Rokhlin 1 tal que la suma conexa Σ#Σ de Σ consigo misma delimita una 4-variedad acíclica lisa. Ciprian Manolescu demostró ^{[ 5 ]} que no existe tal esfera de homología con la propiedad dada y, por lo tanto, existen 5-variedades que no son homeomorfas a complejos simpliciales. En particular, el ejemplo dado originalmente por Galewski y Stern ^{[ 6 ]} no es triangulable.

• espacio de Eilenberg-MacLane
• Espacio de Moore (topología algebraica)

• Dror, Emmanuel (1973). "Esferas homológicas". Israel Journal of Mathematics . 15 (2): 115– 129. doi : 10.1007/BF02764597 . MR 0328926 . S2CID 189796498 .  
• Galewski, David; Stern, Ronald (1980). "Clasificación de triangulaciones simpliciales de variedades topológicas". Annals of Mathematics . 111 (1): 1– 34. doi : 10.2307/1971215 . JSTOR 1971215 . MR 0558395 .  
• Robion Kirby , Martin Scharlemann, Ocho caras de la 3-esfera de homología de Poincaré . Topología geométrica (Actas de la Conferencia de Topología de Georgia, Athens, Ga., 1977), págs.  113-146 , Academic Press , Nueva York-Londres, 1979.
• Kervaire, Michel (1969). "Esferas de homología suaves y sus grupos fundamentales" . Transactions of the American Mathematical Society . 144 : 67–72 . doi : 10.1090 /S0002-9947-1969-0253347-3 . JSTOR 1995269. MR 0253347. S2CID 54063849 .   
• Nikolai Saveliev, Invariantes de las 3-esferas homológicas , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, vol. 140. Topología de baja dimensión, I. Springer-Verlag, Berlín, 2002. MR 1941324 ISBN  3-540-43796-7

• Triangulación de 16 vértices de la 3-esfera de homología de Poincaré y esferas no PL con pocos vértices por Anders Björner y Frank H. Lutz
• Conferencia de David Gillman sobre la mejor representación de la esfera de homología de Poincaré.