bifurcación de Hopf

Las bifurcaciones de Hopf ocurren en una gran variedad de sistemas dinámicos descritos por ecuaciones diferenciales. Cerca de una de estas bifurcaciones, un subconjunto bidimensional del sistema dinámico se aproxima mediante una forma normal , expresada canónicamente como la siguiente ecuación diferencial dependiente del tiempo:

$${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=z\left((\lambda +i)+b|z|^{2}\right)}$$

Aquí${\displaystyle z}$es la variable dinámica; es un número complejo . El parámetro${\displaystyle \lambda }$es real y${\displaystyle b=\alpha +i\beta }$es un parámetro complejo. El número${\displaystyle \alpha }$se denomina primer coeficiente de Lyapunov . Lo anterior tiene una solución exacta simple, que se muestra a continuación. Esta solución exhibe dos comportamientos distintos, dependiendo de si${\displaystyle \lambda >0}$o${\displaystyle \lambda <0}$. Este cambio de comportamiento, en función de${\displaystyle \lambda ,}$Se denomina "bifurcación de Hopf".

El estudio de las bifurcaciones de Hopf no se centra tanto en el problema en sí y su solución, sino en cómo identificar y mapear subespacios bidimensionales sobre esta forma normal. Un método consiste en examinar los autovalores de la matriz jacobiana de las ecuaciones diferenciales al variar un parámetro cerca del punto de bifurcación.

Por ejemplo, si analizamos el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias que dependen de un parámetro${\displaystyle \alpha }$,$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {dt} }}=\alpha x_{1}-x_{2}-x_{1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\\{\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {dt} }}=x_{1}+\alpha x_{2}-x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\end{cases}}\ ,}$$y examinar la matriz jacobiana${\displaystyle J}$de la solución de equilibrio${\displaystyle (x_{1},x_{2})=(0,0)}$, encontramos que es de la forma$${\displaystyle J={\begin{pmatrix}\alpha &-1\\1&\alpha \end{pmatrix}},}$$con valores propios${\displaystyle \lambda _{1;2}=\alpha \pm \mathrm {i} }$(dónde${\displaystyle \mathrm {i} }$es la unidad imaginaria). Esto nos permite reescribir el sistema introduciendo una nueva variable compleja.${\displaystyle z=x_{1}+\mathrm {i} x_{2}}$de tal manera que${\displaystyle {\overline {z}}=x_{1}-\mathrm {i} x_{2}}$y, en consecuencia,${\displaystyle |{\overline {z}}|^{2}=z{\overline {z}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$Debido a la linealidad de la diferenciación,$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {dt} }}={\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {dt} }}+\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {dt} }}=\alpha (x_{1}+\mathrm {i} x_{2})+\mathrm {i} (x_{1}+\mathrm {i} x_{2})-(x_{1}+\mathrm {i} x_{2})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=(\alpha +\mathrm {i} )zz|z|^{2},}$$que es la forma normal deseada, con parámetros${\displaystyle \lambda =\alpha }$y${\displaystyle b=-z}$. ^{[ 4 ]}

La forma normal es, en efecto, la ecuación de Stuart-Landau , escrita con una parametrización diferente. Tiene una solución exacta simple en coordenadas polares. Escribiendo${\displaystyle z=re^{i\theta }}$y considerando las partes real e imaginaria como distintas, se obtiene un par de ecuaciones diferenciales ordinarias: $${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=1+\beta r^{2}}$$ y $${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=r\left(\lambda +\alpha r^{2}\right).}$$ La segunda ecuación se puede resolver observando que es lineal en${\displaystyle 1/r^{2}}$. Eso es, $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)=-2\left({\frac {\lambda }{r^{2}}}+\alpha \right)}$$que es simplemente la ecuación exponencial desplazada . Reordenando se obtiene la solución genérica. $${\displaystyle r(t)=r_{0}{\sqrt {\frac {\lambda }{\left(\lambda +\alpha r_{0}^{2}\right)e^{-2\lambda t}-\alpha r_{0}^{2}}}}}$$

Dependiendo del signo de${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \alpha }$, la trayectoria de un punto puede verse como una espiral que se acerca al origen, se aleja en espiral hacia el infinito o se aproxima a un ciclo límite .

El ciclo límite es orbitalmente estable si el primer coeficiente de Lyapunov${\displaystyle \alpha }$es negativo, y si${\displaystyle \lambda >0.}$En ese caso, se dice que la bifurcación es supercrítica . De lo contrario, es inestable y la bifurcación es subcrítica .

Si${\displaystyle \alpha }$es negativo entonces hay un ciclo límite estable para${\displaystyle \lambda >0:}$$${\displaystyle z(t)=re^{i\omega t}}$$ dónde $${\displaystyle r={\sqrt {-\lambda /\alpha }}\quad {\text{ and }}\quad \omega =1+\beta r^{2}.}$$ Este es el régimen supercrítico.

Si${\displaystyle \alpha }$es positivo entonces hay un ciclo límite inestable para${\displaystyle \lambda <0.}$ Se dice que la bifurcación es subcrítica. Esta clasificación en bifurcaciones subcríticas y supercríticas es análoga a la de la bifurcación de horquilla .

La bifurcación de Hopf se puede comprender examinando los valores propios de la matriz jacobiana para la forma normal. Esto se logra más fácilmente reescribiendo la forma normal en coordenadas cartesianas.${\displaystyle z=x+iy}$Entonces tiene la forma $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=\lambda x-y+\left(\alpha x-\beta y\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)\\{\dot {y}}&=x+\lambda y+\left(\beta x+\alpha y\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)\\\end{aligned}}}$$ donde la taquigrafía${\displaystyle {\dot {x}}=dx/dt}$y${\displaystyle {\dot {y}}=dy/dt}$se utiliza. El jacobiano es $${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{cc}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial x}}&{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial y}}\\{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial x}}&{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial y}}\end{array}}\right]}$$ Esto es un poco tedioso de calcular: $${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{cc}\lambda +3\alpha x^{2}-2\beta xy+\alpha y^{2}\quad &-1-3\beta y^{2}+2\alpha xy-\beta x^{2}\\1+3\beta x^{2}+2\alpha xy+\beta y^{2}\quad &\lambda +3\alpha y^{2}+2\beta xy+\alpha x^{2}\end{array}}\right]}$$ El punto fijo se identificó previamente como ubicado en${\displaystyle x=y=0}$, en cuyo lugar el jacobiano adopta la forma particularmente simple: $${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{cc}\lambda &-1\\1&\lambda \end{array}}\right]}$$ El polinomio característico correspondiente es $${\displaystyle 0=\det[J-wI]=\left(\lambda -w\right)^{2}+1}$$ que tiene soluciones $${\displaystyle w=\lambda \pm i}$$ Aquí,${\displaystyle w}$es un par de autovalores complejos conjugados del jacobiano. Cuando el parámetro${\displaystyle \lambda }$es negativo, la parte real de los autovalores es (obviamente) negativa. Cuando el parámetro cruza cero, la parte real se anula: esta es la bifurcación de Hopf. Como se vio anteriormente, el ciclo límite surge como${\displaystyle \lambda }$se vuelve positivo si${\displaystyle \alpha <0}$.

Todas las bifurcaciones de Hopf tienen esta forma general: la matriz jacobiana tiene un par de valores propios complejos conjugados que cruzan el eje imaginario a medida que se varía el parámetro pertinente.

El cálculo anterior del jacobiano se puede simplificar significativamente trabajando en el plano tangente , tangente al punto fijo. El punto fijo se encuentra en${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$y así se puede "linealizar" la ecuación diferencial eliminando todos los términos de orden superior al lineal. Esto da como resultado

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=\lambda x-y\\{\dot {y}}&=x+\lambda y\\\end{aligned}}}$$

El jacobiano se calcula exactamente igual que antes; nada ha cambiado, salvo que se han simplificado los cálculos. La ecuación diferencial linealizada puede reconocerse como dada por una derivada de Lie definida en el fibrado tangente . Dado que todos los fibrados cotangentes son siempre variedades simplécticas , es común formular la teoría de bifurcaciones en términos de geometría simpléctica . ^{[ 6 ]}

Las bifurcaciones de Hopf ocurren en el modelo de Lotka-Volterra de interacción depredador-presa (conocido como paradoja del enriquecimiento ), el modelo de Hodgkin-Huxley para el potencial de membrana nerviosa , ^{[ 7 ]} el modelo de Selkov de la glucólisis , ^{[ 8 ]} la reacción de Belousov-Zhabotinsky , el atractor de Lorenz , el Brusselator , la ecuación diferencial con retardo y en el electromagnetismo clásico . ^{[ 9 ]} También se ha demostrado que las bifurcaciones de Hopf ocurren en las ondas de fisión. ^{[ 10 ]}

El modelo de Selkov es

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-x+ay+x^{2}y,~~{\frac {dy}{dt}}=b-ay-x^{2}y.}$$

La figura muestra un retrato de fase que ilustra la bifurcación de Hopf en el modelo de Selkov. ^{[ 11 ]}

En los sistemas de vehículos ferroviarios, el análisis de bifurcación de Hopf es de particular importancia. Convencionalmente, el movimiento estable de un vehículo ferroviario a bajas velocidades se vuelve inestable a altas velocidades. Uno de los objetivos del análisis no lineal de estos sistemas es realizar una investigación analítica de la bifurcación, la estabilidad lateral no lineal y el comportamiento oscilatorio de los vehículos ferroviarios en una vía recta, utilizando el método de Bogoliubov . ^{[ 2 ]}

La ventaja de la formulación abstracta en términos de geometría simpléctica es que permite una intuición geométrica sobre lo que de otro modo parecerían ser sistemas dinámicos complicados.

Consideremos el espacio de todas las posibles soluciones (trayectorias puntuales) de un sistema de ecuaciones diferenciales. Los vectores tangentes a estas soluciones se encuentran en el espacio de fases de dicho sistema; más formalmente, en el fibrado tangente. El espacio de fases se puede dividir en tres partes: la variedad estable , la variedad inestable y la variedad central . La variedad estable consta de todos los campos vectoriales tangentes que, al integrarse, se aproximan al punto límite o ciclo límite. La variedad inestable consta de aquellos campos vectoriales que se alejan del punto límite o ciclo límite. La variedad central consta de los puntos en el límite, junto con sus vectores tangentes.

La bifurcación de Hopf es una reorganización de estas variedades, a medida que se varían los parámetros. Para la forma normal, el espacio de fases es de cuatro dimensiones: las dos coordenadas${\displaystyle x,y}$y las dos velocidades${\displaystyle {\dot {x}},{\dot {y}}.}$Cuando${\displaystyle \lambda <0}$(y${\displaystyle \alpha <0}$) todo el espacio (cuatridimensional) de soluciones pertenece a la variedad estable. Como${\displaystyle \lambda }$es variado, la variedad central cambia de un punto a un círculo. Como${\displaystyle \alpha }$es variable, el colector estable se vuelve inestable.

En términos generales, la abstracción permite aislar un subespacio de cuatro dimensiones del sistema completo y, a medida que se varían los parámetros, todos los cambios en la geometría general se limitan a ese subespacio de cuatro dimensiones.

Dejar${\displaystyle p_{0},~p_{1},~\dots ~,~p_{k}}$ser una serie de Sturm asociada a un polinomio característico${\displaystyle P}$Pueden escribirse de la siguiente forma: $${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }$$ Los coeficientes${\displaystyle c_{i,0}}$para${\displaystyle i}$en${\displaystyle \{1,~\dots ~,~k\}}$corresponden a lo que se denomina determinantes de Hurwitz . ^{[ 14 ]} Su definición está relacionada con la matriz de Hurwitz asociada .

Proposición 1. Si todos los determinantes de Hurwitz${\displaystyle c_{i,0}}$son positivos, aparte quizás${\displaystyle c_{k,0}}$entonces el jacobiano asociado no tiene valores propios puramente imaginarios.

Proposición 2. Si todos los determinantes de Hurwitz${\displaystyle c_{i,0}}$(a pesar de${\displaystyle i}$en${\displaystyle \{0,~\dots ~,~k-2\}}$son positivos,${\displaystyle c_{k-1,0}=0}$y${\displaystyle c_{k-2,1}<0}$Entonces, todos los autovalores del jacobiano asociado tienen partes reales negativas, excepto un par conjugado puramente imaginario.

Las condiciones que buscamos para que se produzca una bifurcación de Hopf (véase el teorema anterior) en un sistema dinámico continuo paramétrico vienen dadas por esta última proposición.

Consideremos el oscilador clásico de Van der Pol escrito mediante ecuaciones diferenciales ordinarias: $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx}{dt}}=\mu (1-y^{2})x-y,\\{\dfrac {dy}{dt}}=x.\end{array}}\right.}$$

La matriz jacobiana asociada a este sistema es $${\displaystyle J={\begin{bmatrix}-\mu (-1+y^{2})&-2\mu yx-1\\1&0\end{bmatrix}}.}$$

El polinomio característico (en${\displaystyle \lambda }$) del jacobiano en el punto fijo${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$es $${\displaystyle P(\lambda )=\lambda ^{2}-\mu \lambda +1.}$$La serie Sturm asociada es $${\displaystyle {\begin{array}{l}p_{0}(\lambda )=a_{0}\lambda ^{2}-a_{2}\\p_{1}(\lambda )=a_{1}\lambda \end{array}}}$$ con coeficientes${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=-\mu ,a_{2}=1.}$

Los polinomios de Sturm se pueden escribir como (aquí)${\displaystyle i=0,1}$): $${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }$$ Para el oscilador de Van der Pol, los coeficientes son $${\displaystyle c_{0,0}=1,\qquad c_{1,0}=-\mu ,\qquad c_{0,1}=-1.}$$

Una bifurcación de Hopf puede ocurrir cuando se satisface la proposición 2; en el presente caso, la proposición 2 requiere que $${\displaystyle c_{0,0}>0,\qquad c_{1,0}=0,\qquad c_{0,1}<0.}$$

Claramente, se cumplen la primera y la tercera condición; la segunda condición establece que se produce una bifurcación de Hopf para el oscilador de Van der Pol cuando${\displaystyle \mu =0}$.

Consideremos el sistema definido por $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}&=\mu x+y-x^{2}\\{\dot {y}}&=-x+\mu y+2x^{2}\\\end{array}}\right.}$$

Este sistema tiene un punto de equilibrio en el origen. Cuando${\displaystyle \mu }$aumenta de negativo a positivo, el origen pasa de un punto espiral estable a un punto espiral inestable. Eliminando${\displaystyle y}$A partir de las ecuaciones se obtiene una única ecuación diferencial de segundo orden. $${\displaystyle {\ddot {x}}-2\mu {\dot {x}}+(1+\mu ^{2})x+2x{\dot {x}}-(2+\mu )x^{2}=0.}$$

La expansión perturbativa que se realizará es $${\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\cdots }$$ con $${\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},\qquad T=\mu t.}$$ Ampliando hasta el pedido${\displaystyle \epsilon ^{3}}$resultados en $${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{tt}x_{1}+x_{1}=0\\\partial _{tt}x_{2}+x_{2}=2x_{1}^{2}-2x_{1}\partial _{t}x_{1}\\\partial _{tt}x_{3}+x_{3}=4x_{1}x_{2}+2\partial _{t}(x_{1}-x_{1}x_{2}-\partial _{T}x_{1})\end{cases}}}$$

La primera ecuación tiene la solución $${\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(t+\phi (T)).}$$ Aquí${\displaystyle A(T),\phi (T)}$son respectivamente la "amplitud de variación lenta" y la "fase de variación lenta" de la oscilación simple. La segunda ecuación tiene solución $${\displaystyle x_{2}(t,T)=B\cos(t+\theta )+A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi )),}$$ dónde${\displaystyle B,\theta }$También presentan amplitud y fase de variación lenta.${\displaystyle B}$y${\displaystyle \theta }$Los términos pueden ser absorbidos${\displaystyle A}$y${\displaystyle \phi$ ;} equivalentemente,${\displaystyle B=0}$puede establecerse sin pérdida de generalidad . Para demostrar esto, la expansión perturbativa se escribe como

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+\cdots \\&=\epsilon (A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta ))+\cdots \\\end{aligned}}}$$

La trigonometría básica permite combinar los dos cosenos en uno solo: $${\displaystyle A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta )=C\cos(t+\xi )}$$

para algunos${\displaystyle C}$y${\displaystyle \xi .}$Pero esto tiene exactamente la misma forma que${\displaystyle x_{1}.}$Por lo tanto, el${\displaystyle B}$El término puede eliminarse redefiniéndolo${\displaystyle A}$ser${\displaystyle C}$y${\displaystyle \xi }$ser${\displaystyle \phi .}$La solución a la segunda ecuación es, por lo tanto,

$${\displaystyle x_{2}(t,T)=A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}$$

Sustituyendo en la tercera ecuación se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{tt}x_{3}+x_{3}&=(2A-A^{3}-2A')\sin(t+\phi )\\&\quad -(2A\phi '+11A^{3}/3)\cos(t+\phi )\\&\quad +{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))\end{aligned}}}$$

Eliminar el término de resonancia da como resultado $${\displaystyle A'=A-A^{3}/2,\quad \phi '=-{\frac {11}{6}}A^{2}}$$

donde la prima denota la diferenciación por el tiempo lento.${\displaystyle T.}$La primera ecuación muestra que${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$es un equilibrio estable. La bifurcación de Hopf crea un ciclo límite atractivo (en lugar de repulsivo).

Conectando${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$da${\displaystyle \phi =-{\frac {11}{3}}T+\phi _{0}}$. La coordenada temporal se puede desplazar de modo que${\displaystyle \phi _{0}=0}$La tercera ecuación se convierte en:

$${\displaystyle \partial _{tt}x_{3}+x_{3}={\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}$$

dar una solución

$${\displaystyle x_{3}={\frac {\sqrt {2}}{12}}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}$$

Conectando${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$volver a las expresiones para${\displaystyle x_{1},x_{2}}$da

$${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}\cos(t+\phi ),\quad x_{2}=2-{\frac {2}{3}}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}$$

Conectando estos de nuevo a${\displaystyle y=x^{2}+{\dot {x}}-\mu x}$produce la expansión en serie de${\displaystyle y}$Asimismo, hasta pedido${\displaystyle \mu ^{3/2}}$.

Después de escribir${\displaystyle \theta$ :=t+\phi } la solución es

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\cos \theta +\mu \left(-{\frac {2}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {2}{3}}\cos(2\theta )+2\right)\\&\qquad +\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}\left(5\sin(3\theta )-\cos(3\theta )\right)+{\mathcal {O}}(\mu ^{2})\\\end{aligned}}}$$ y $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=-\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\sin \theta +\mu \left(+{\frac {4}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {1}{3}}\cos(2\theta )+1\right)\\&\qquad +\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}\left(-5\sin(3\theta )+7\cos(3\theta )+36\sin \theta +28\cos \theta \right)+{\mathcal {O}}(\mu ^{2})\end{aligned}}}$$

Esto proporciona una ecuación paramétrica para el ciclo límite. Esta ecuación se muestra en la ilustración de la derecha.

• Ejemplos de bifurcaciones
• 
  En el sistema se produce una bifurcación de Hopf.${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}}$y${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}$, cuando${\displaystyle \mu =0}$, alrededor del origen. Se produce una bifurcación homoclinica alrededor${\displaystyle \mu =0.06605695}$.
• 
  Una visión detallada de la bifurcación homoclinica.
• 
  Como${\displaystyle \mu }$A medida que aumenta desde cero, emerge un ciclo límite estable desde el origen mediante una bifurcación de Hopf. El ciclo límite se representa gráficamente de forma paramétrica, hasta el orden${\displaystyle \mu ^{3/2}}$.