Correspondencia Theta

En matemáticas , la correspondencia theta o correspondencia de Howe es una relación matemática entre representaciones de dos grupos de un par dual reductivo . La correspondencia theta local relaciona representaciones irreducibles admisibles sobre un cuerpo local , mientras que la correspondencia theta global relaciona representaciones automórficas irreducibles sobre un cuerpo global .

La correspondencia theta fue introducida por Roger Howe en Howe (1979) . Su nombre proviene de su origen en la formulación teórica de la representación de la teoría de las series theta de André Weil en Weil (1964) . La correspondencia de Shimura , construida por Jean-Loup Waldspurger en Waldspurger (1980) y Waldspurger (1991), puede considerarse un ejemplo de la correspondencia theta.

Declaración

Configuración

Dejar $F$ ser un campo local o global, no de características $2$ . Dejar $W$ sea un espacio vectorial simpléctico sobre $F$ , y $Sp(W)$ el grupo simpléctico .

Reparar un par doble reductivo $(G,H)$ en $Sp(W)$ . Existe una clasificación de pares duales reductivos. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Correspondencia theta local

$F$ ahora es un campo local. Corrija un carácter aditivo no trivial $\psi$ de $F$ Existe una representación de Weil del grupo metapléctico . $Mp(W)$ asociado a $\psi$ , que escribimos como $\omega _ {\psi }$ .

Dado el par dual reductivo $(G,H)$ en $Sp(W)$ , se obtiene un par de subgrupos conmutativos $({\widetilde {G}},{\widetilde {H}})$ en $Mp(W)$ retirando el mapa de proyección de $Mp(W)$ a $Sp(W)$ .

La correspondencia theta local es una correspondencia 1-1 entre ciertas representaciones irreductibles admisibles de ${\widetilde {G}}$ y ciertas representaciones irreductibles admisibles de ${\widetilde {H}}$ , obtenido al restringir la representación de Weil $\omega _ {\psi }$ de $Mp(W)$ al subgrupo ${\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}}$ La correspondencia fue definida por Roger Howe en Howe (1979) . La afirmación de que se trata de una correspondencia uno a uno se denomina conjetura de dualidad de Howe .

Las propiedades clave de la correspondencia theta local incluyen su compatibilidad con la inducción de Bernstein-Zelevinsky ^{[ 3 ]} y las relaciones de conservación relativas a los índices de primera ocurrencia a lo largo de las torres de Witt. ^{[ 4 ]}

Correspondencia theta global

Stephen Rallis mostró una versión de la conjetura de dualidad global de Howe para representaciones automórficas cuspidales sobre un campo global, asumiendo la validez de la conjetura de dualidad de Howe para todos los lugares locales. ^{[ 5 ]}

Conjetura de dualidad de Howe

Definir ${\mathcal {R}}({\widetilde {G}},\omega _ {\psi })$ el conjunto de representaciones irreducibles admisibles de ${\widetilde {G}}$ , que pueden realizarse como cocientes de $\omega _ {\psi }$ . Definir ${\mathcal {R}}({\widetilde {H}},\omega _ {\psi })$ y ${\mathcal {R}}({\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}},\omega _{\psi })$ , asimismo.

La conjetura de dualidad de Howe afirma que ${\mathcal {R}}({\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}},\omega _{\psi })$ es la gráfica de una biyección entre ${\mathcal {R}}({\widetilde {G}},\omega _ {\psi })$ y ${\mathcal {R}}({\widetilde {H}},\omega _ {\psi })$ .

La conjetura de dualidad de Howe para campos locales arquimedianos fue demostrada por Roger Howe . ^{[ 6 ]} Para $p$ -campos locales ádicos con $p$ Curiosamente, fue demostrado por Jean-Loup Waldspurger . ^{[ 7 ]} Alberto Mínguez posteriormente dio una demostración para pares duales de grupos lineales generales , que funciona para características de residuos arbitrarias. ^{[ 8 ]} Para pares duales ortogonales-simplécticos o unitarios, fue demostrado por Wee Teck Gan y Shuichiro Takeda. ^{[ 9 ]} El caso final de pares duales cuaterniónicos fue completado por Wee Teck Gan y Binyong Sun. ^{[ 10 ]}

Véase también

Referencias

Bibliografía

Gan, Wee Teck ; Takeda, Shuichiro (2016), "Una demostración de la conjetura de dualidad de Howe", J. Amer. Math. Soc. , 29 (2): 473–493 , arXiv : 1407.1995 , doi : 10.1090/jams/839 , S2CID 942882
Gan, Wee Teck ; Sun, Binyong (2017), "La conjetura de dualidad de Howe: caso cuaterniónico", en Cogdell, J.; Kim, J.-L.; Zhu, C.-B. (eds.), Teoría de la representación, teoría de números y teoría de invariantes , Progr. Math., 323, Birkhäuser/Springer, pp . 175–192
Howe, Roger E. (1979), "Series θ y teoría de invariantes", en Borel, A .; Casselman, W. (eds.), Formas automórficas, representaciones y funciones L (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Universidad Estatal de Oregón, Corvallis, Oregón, 1977), Parte 1 , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, XXXIII, Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , pp. 275–285 , ISBN 978-0-8218-1435-2, MR 0546602
Howe, Roger E. (1989), "Trascendiendo la teoría clásica de invariantes", J. Amer. Math. Soc. , 2 (3): 535– 552, doi : 10.2307/1990942 , JSTOR 1990942
Kudla, Stephen S. (1986), "Sobre la correspondencia theta local", Invent. Math. , 83 (2): 229– 255, Bibcode : 1986InMat..83..229K , doi : 10.1007/BF01388961 , S2CID 122106772
Mínguez, Alberto (2008), "Correspondance de Howe explicite: paires duales de type II", Ann. Ciencia. CE. Norma. Súper. , 4, 41 (5): 717– 741, doi : 10.24033/asens.2080
Moeglin, Colette ; Vignéras, Marie-France ; Waldspurger, Jean-Loup (1987), Correspondances de Howe sur un corps p-adique , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1291, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0082712 , ISBN 978-3-540-18699-1, MR 1041060
Rallis, Stephen (1984), "Sobre la conjetura de dualidad de Howe", Compositio Math. , 51 (3): 333– 399
Sun, Binyong ; Zhu, Chen-Bo (2015), "Relaciones de conservación para la correspondencia theta local", J. Amer. Math. Soc. , 28 (4): 939–983 , arXiv : 1204.2969 , doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00817-1 , S2CID 5936119
Waldspurger, Jean-Loup (1980), "Correspondance de Shimura", J. Math. Pures Appl. , 59 ( 9): 1-132
Waldspurger, Jean-Loup (1990), "Démonstration d'une conjecture de dualité de Howe dans le cas p-adique, p ≠ 2", Festschrift en honor a II Piatetski-Shapiro con motivo de su sexagésimo cumpleaños, Parte I , Israel Math. Conf. Proc., 2 : 267– 324
Waldspurger, Jean-Loup (1991), "Correspondances de Shimura et quaternions", Forum Math. , 3 (3): 219– 307, doi : 10.1515/form.1991.3.219 , S2CID 123512840
Weil, André (1964), "Sur ciertos grupos de operadores unitarios", Acta Math. , 111 : 143– 211, doi : 10.1007/BF02391012

[FOOTNOTEHowe1979-1] Howe 1979 .

[FOOTNOTEMœglinVignérasWaldspurger1987-2] Moeglin, Vignéras y Waldspurger 1987 .

[FOOTNOTEKudla1986-3] Kudla 1986 .

[FOOTNOTESunZhu2015-4] Sol y Zhu 2015 .

[FOOTNOTERallis1984-5] Rallis 1984 .

[FOOTNOTEHowe1989-6] Howe 1989 .

[FOOTNOTEWaldspurger1990-7] Waldspurger 1990 .

[FOOTNOTEMínguez2008-8] Mínguez 2008 .

[FOOTNOTEGanTakeda2016-9] Gan y Takeda 2016 .

[FOOTNOTEGanSun2017-10] Gan y Sun 2017 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]